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2. Dans cette question (P) est un rectangle entier dont les côtés sont parallèles aux axes de coordonnées, et dont lesdimensions (en cm) sont notées n et p ( n ≥ 1 et p ≥ 1 ).Exprimer les nombres A, C et I en fonction de n et p.En déduire une relation entre A, C et I indépendante de n et p.3. Dans cette question (P) est un triangle rectangle entier dont les côtés de l'angle droit sont parallèles aux axes decoordonnées.Démontrer que la relation entre A, C et I trouvée à la question 2. est encore valable pour ce triangle.4. Montrer que si la formule précédente est valable pour deux polygones entiers ayant une frontière commune, elle estencore valable pour le polygone obtenu en éliminant entre eux cette frontière commune, à condition que ce nouveaupolygone soit lui aussi convexe.5. En déduire que la relation trouvée à la question 2 demeure vraie pour tout polygone entier.9-c : Jardin à la française (autres que S)La figure ci -contre représente le plan d’un jardin ABCDde forme carrée.24 arbustes sont plantés sur le pourtour, un en chaquesommet, cinq autres sur chaque côté, régulièrementespacés.Chaque ligne du plan est rectiligne, et a pour extrémitédeux arbustes, comme sur le dessin.Les zones blanches sont les allées, les zones sablées sontdes parterres de fleurs, le quadrilatère central EFGH (engrisé) représente un bassin.1. Les lignes (AX) et (JT) qui bordent l’une des alléessont-elles parallèles ?2. Le bassin EFGH est il carré ?3. Les points K, E, M sont-ils alignés ?10. Grenoblehttp://www.ac-grenoble.fr/maths/10-a : Promenade dans les aires (tous)Une formule simple était utilisée par les arpenteurs Egyptiens pour évaluer l’aire d’un quadrilatère :Une autre formule demande de« calculer le produit des moyennes des longueurs des côtés opposés » (formule A).Première S 22 mars 2011Olympiades académiques de mathématiques« calculer le demi produit des longueurs des diagonales » (formule B).Il s’agit dans cet exercice d’étudier la validité de ces formules.1. Pensez-vous qu’il soit possible de calculer la valeur exacte de l’aire d’un quadrilatère quelconque à l’aide des seulesmesures de ses côtés ? Justifier.2. Trouver un quadrilatère pour lequel la formule A est exacte et un quadrilatère pour lequel elle ne l’est pas. Justifierles réponses.3. Même question pour la formule B.4. Quels sont les rectangles pour lesquels les deux formules donnent le même résultat ?5. Montrer que l’aire du quadrilatère est toujours inférieure ou égale au résultat trouvé à l’aide de la formule B. Dansquels cas l’égalité a-t-elle lieu ?6. Soient Q un quadrilatère quelconque et Q’ le quadrilatère dont les sommets sont les milieux des côtés de Q.a. Quelle est la nature du quadrilatère Q’ ? Démontrer ce résultat.b. Comparer l’aire du quadrilatère Q’ à celle de Q.c. En déduire que l’aire du quadrilatère Q est toujours inférieure ou égale au résultat trouvé à l’aide de la formule A.Dans quels cas l’égalité a-t-elle lieu ?10-b : Quel dé choisir ? (non S)Dans ce jeu, qui se joue à deux, les joueurs choisissent à tour de rôle un dé à six faces parmi les trois dés proposés cidessouspuis les lancent en même temps.http://laroche.lycee.free.fr