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Soit f la fonction définie pour tout réel x par ( )2f x = x − 46 E( x) + 13 .L’objet de cet exercice est la résolution de l’équation f ( x ) = 0 notée (1).1. Déterminer la partie entière de 2057 puis vérifier que ce réel est solution de l’équation f ( x ) = 0 .2. a. Montrer que le réel 1 n’est pas solution de l’équation f ( x ) = 0 .b. Montrer que si x 0 , alors le réel x n’est pas solution de l’équation f ( x ) = 0 .4. Pour tout réel x, donner sous forme de tableau le signe de p ( x ) .En déduire que toute solution de f ( x ) = 0 est strictement inférieure à 46.5. a. Déduire de l’inégalité x − 1 < E ( x ) que, pour tout réel x, f ( x ) p( x ) 46< + .b. Montrer alors que toute solution de l’équation f ( x ) = 0 est strictement supérieure à 44 .6. a. Quelles sont les valeurs possibles pour la partie entière des solutions de l’équation f ( x ) = 0 ?b. En déduire que l’équation f ( x ) = 0 admet deux solutions, 2057 et une autre α dont on précisera la valeurexacte.9. Dijonhttp://mathematiques.ac-dijon.fr/9-a : Des complices (tous)On dit que deux entiers naturels a et b sont complices s’il existe un entier naturel n tel que ab + 1 = n 2 .Dans ce cas, on dit que l’entier n est associé au couple de complices (a, b).1. Complices d’un entier.a. Déterminer tous les couples d’entiers complices compris, au sens large, entre 0 et 10.b. L'entier 2011 admet 2009 comme complice. Citer deux autres complices de 2011.c. Démontrer que tout entier naturel supérieur ou égal à 3 admet au moins trois complices.2. Couples de complices associés à un entier donné.L’entier 100 admet plusieurs couples d’entiers complices qui lui sont associés.Ainsi, les couples (9 ; 1111) et (11 ; 909) sont des couples d'entiers complices associés au nombre 100.a. Démontrer que tout entier naturel n non nul admet au moins un couple de complices (a ; b) associé, c'est-à-dire telque ab + 1 = n 2 .b. Déterminer tous les couples d'entiers complices associés au nombre 2011.9-b : Théorème de Pick - Polygones entiers (S)Dans le plan rapporté à un repère orthonormal d'unité 1 cm, on dit qu'un point est entier si ses coordonnées sont desnombres entiers ; on dit qu'un polygone est entier si ce polygone est convexe (c'est-à-dire « sans creux ») et si tous sessommets sont des points entiers.Pour un polygone entier (P) on note A l'aire en cm 2 de ce polygone, C le nombre de points entiers situés sur les côtés dupolygone (sommets compris), et I le nombre de points entiers situés strictement à l'intérieur du polygone.Le but de l'exercice est de déterminer une relation entre les nombres A, C et I.1. Déterminer les nombres A, C et I dans les cas suivants :a. (P) est le rectangle de sommet les points (0 ; 0), (10 ; 0), (10 ; 7), (0 ; 7).b. (P) est le triangle de sommets les points (0 ; 0), (5 ; 2), (2 ; 4).c. (P) est le pentagone de sommets les points (2 ; 0), (7 ; 1), (5 ; 5), (2 ; 5), (1 ; 4).Première S 21 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr