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8. Créteilhttp://maths.ac-creteil.fr/spip/spip.php?rubrique598-a : Partages quasi-équitables (non S)Adrien veut partager ses billes entre plusieurs de ses amis (au moins deux), lui n’en gardant aucune. Il considère qu’unpartage est quasi équitable si les nombres de billes reçus par deux amis quelconques ne diffèrent jamais de plus d’uneunité. On appellera de tels partages des partages quasi équitables.Ainsi, s’il a sept billes et les partage entre deux de ses amis, le partage quasi équitable se fera obligatoirement en 3 + 4.S’il les partage entre trois amis, le partage quasi équitable se fera en 2 + 2 + 3.On considère comme identiques les partages 3+2+2 ; 2+3+2 et 2+2+3 et on écrira désormais chaque partage sous laforme d’une somme dont les termes sont rangés en ordre croissant.1. Écrivez les partages quasi équitables possibles des sept billes entre quatre amis, cinq amis, six amis, sept amis.2. Combien existe-t-il de partages quasi équitables possibles s’il veut donner 8 billes, 9 billes, 10 billes ?3. Combien existe-t-il de partages quasi équitables possibles pour 2011 billes ? Justifier votre réponse par unedémonstration précise.8-b : Les trois dés (tous)On lance trois fois de suite un dé non truqué dont les six faces sont numérotées 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 et 6.Une issue de cette expérience aléatoire est donc un triplet ( a, b,c ) où a est le résultat obtenu au premier lancer, b lerésultat obtenu au second lancer et c le résultat obtenu au troisième lancer.1. Déterminer le nombre d’issues possibles pour cette expérience aléatoire.2. Si le résultat des trois lancers est le triplet ( , , )a b c , on considère l’équation ax² + bx + c = 0 , d’inconnue x.Par exemple, si le résultat des trois lancers est (3, 5, 3), on considère l’équation 3 x² + 5x+ 3 = 0 .a. 0 peut-il être une solution d’une équation ax² + bx + c = 0 ?b. Justifier que quelque soit le triplet ( , , )pour solution.c. Existe-t-il un triplet ( , , )donner un tel triplet ( a, b,c ) .a b c , l’équation ax² + bx + c = 0 n’admet aucun nombre réel positif ou nula b c pour lequel le nombre –1 soit une solution de l’équation ax² + bx + c = 0 ? Si ouiQuelle est la probabilité de l’événement « –1 est solution de l’équation obtenue après le lancer des trois dés » ?3. On souhaite construire maintenant avec le triplet ( a, b,c ) obtenu le triangle (éventuellement aplati) dont les troiscôtés ont pour mesures respectives a, b et c (le triplet ( b, c,a ) donne un autre triangle).a. Parmi les résultats suivants, indiquer dans chaque cas si une telle construction est possible :1. (3,5,3)2. (2,5,2)3. (4,2,6)4. (6,3,5)5. (6,1, 4)On admet qu’il y a 156 triplets ( a, b,c ) permettant de réaliser la construction d’un triangle, et on suppose par la suitecette condition réalisée.b. Quelle est la probabilité que le triangle construit soit équilatéral ?c. Quelle est la probabilité que le triangle construit soit rectangle ?d. Pierre pense qu’il est plus probable que le triangle obtenu soit isocèle plutôt que non isocèle. A-t-il raison ?8-c : Racines millésimées (S)On appelle partie entière d’un réel x, notée E ( x ) , le plus grand entier inférieur ou égal à x, c’est-à-dire que l’on a :Par exemple : E ( 2, 4 ) = 2 ; ( )pour tout réel x, E ( x ) ≤ x < E ( x ) + 1 .E − 2, 4 = − 3 ; ( 2 ) 1E = ; E ( 5 ) = 5 et E ( π ) 4− = − .Première S 20 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr