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3. a. N est un entier naturel dont l’écriture en base 8 est 12345676543210 . N est-il divisible par 8 ?b. Soit x un entier naturel et x = anan−1 ... a2 a1 a0son écriture en base 8.Quelles sont les valeurs possibles de a 0 pour que x soit divisible par 4 ?c. Le nombre N défini à la question 3. a. est-il divisible par 4 ?4. a. En remarquant que pour tout entier k ≥ 1 , le reste dans la division par 7 de 8 k est toujours 1, déterminer un critèrede divisibilité par 7 d’un entier naturel x écrit en base 8.b. Le nombre N défini à la question 3. a. est-il divisible par 7 ?5-b : Le réseau informatique (autres que S) +Inspiré de « Graphes à deux voix », APMEP.Le plan d'un bâtiment comportant douze salles se présente de la façon suivante :Le réseau informatique existant est quelque peu désordonné et, de ce fait, nécessite de relier les ordinateurs en unétrange « poste à poste ». Il a les caractéristiques suivantes :- Des prises (symbolisées par des lettres) sont installées dans toutes les salles et toutes les prises sont opérationnellessauf les prises B et H que l’on vient d’installer respectivement dans les salles 2 et 8, salles que l’on souhaite connecterentre elles.- Des gaines contenant des câbles relient entre elles certaines salles de classes par les faux-plafonds ou par le sous-sol.Dans l’état actuel des choses, les salles 1 et 3 sont reliées et on note AC (ou bien CA) la liaison existante. De même,existent et fonctionnent les liaisons AD, AF, CD, CF, DE, DI, EF, EK, GI, GL, IJ, JK, KL.- Pour l'instant, les salles 2 et 8 ne sont connectées à aucune autre. Afin de les connecter entre elles, on va devoir fairepasser de nouveaux câbles dans des gaines existantes. De plus, on ne peut raccorder directement la prise B qu’à la priseA ou bien à la prise C. De même, on ne peut raccorder la prise H qu’à la prise G ou bien à la prise I.Une entreprise a évalué le coût (main d'oeuvre et fourniture) de chaque liaison intermédiaire pour le passage denouveaux câbles :Liaison AB AC AD AF BC CD CF DE DICoût 1000 € 800 € 1200 € 700 € 1300 € 600 € 500 € 800 € 1900 €Liaison EF EK GH GI GL HI IJ JK KLCoût 400 € 1100 € 900 € 1000 € 500 € 1500 € 700 € 300 € 500 €Comment l’entreprise doit-elle procéder pour relier les salles 2 et 8 afin d’effectuer les travaux à moindre coût ?5-c : Mélange de cartes (tous)Le principe du « mélange parfait », en magie des cartes, consiste tout d’abord à couper le jeu en 2 paquets contenant lemême nombre de cartes ; on procède ensuite au mélange en intercalant exactement les cartes de chacun des paquets(c’est un geste extrêmement difficile qui nécessite, bien évidemment, beaucoup de pratique...).Exemple de « mélange parfait » avec un jeu de 6 cartes ( la 1 ère est l'as de pique et la 6 ème est le 6 de pique ) :Première S 15 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr