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4-c : Viva la Geometria… (S)ABC est un triangle équilatéral.On se propose de construire P intérieur au triangle tel quePremière partie1 3PB= PA et PC= PA .2 2On suppose que le point P placé sur la figure satisfait à ces deuxconditions.On désigne par r la rotation de centre C et d’angle 60°. Q estl’image de P par r.1. Démontrer que le triangle BPQ est rectangle en P. En déduireque le triangle BQC est rectangle en Q, puis que le point P est surle cercle de diamètre [AC].2. I est le milieu de [BQ], J celui de [AB].a. Démontrer que le triangle PIC est rectangle en P. En déduirel’alignement des points A, P et I.b. Justifier que P est le centre de gravité du triangle ABQ. En déduire l’alignement des points Q, P et J.c. Justifier que le point P est sur le cercle de diamètre [BJ].Deuxième partieACB triangle équilatéral.J est le milieu de [AB] ; P le point d’intersection, autreque J, des cercles de diamètre [AC] et [BJ]. Q est l’imagede P par la rotation r de centre C et d’angle 60°.On se propose de prouver que P vérifie bien les deux1 3conditions PB= PA et PC= PA .2 21. Montrer que JPA = 30° ; en déduire BPA et BPC . Endéduire la nature du triangle BPQ.2. Justifier que le triangle BQC est rectangle en Q. Endéduire BQP .3. En déduire que le point P vérifie les deux conditionsrequises.5. Caenhttp://maths.discip.ac-caen.fr/spip.php?rubrique245-a : Calculs en base 8 (S) +Yohann , d’un naturel original, aime écrire les entiers sans utiliser les chiffres 8 et 9. Pour cela, il a l’habitude dedécomposer un nombre en utilisant les puissances de 8.Exemple : 1659 = 3×8 3 + 1×8 2 + 7×8 + 3.On dit que le nombre 1659 a pour écriture 3173 en base 8 (1659 est son écriture en base 10).De même 508 = 7×8 2 + 7×8 + 4 donc le nombre 508 a pour écriture 774 en base 8.Réciproquement le nombre 131 écrit en base 8 devient 1×8 2 + 3×8 + 1 = 89 en base 10.D’une manière générale, dire que l’entier x a pour écriture anan− 1...a2 a1 a0en base 8 signifie que2 n−10 1 2 n−1nx = a + a × 8 + a × 8 + ... + a × 8 + a × 8 où a 0 , a 1 , …, a n sont des entiers naturels strictement inférieurs à 8.1. a. Déterminer l’écriture en base 8 du nombre 1044.b. Déterminer l’écriture en base 10 du nombre 5432 .n2. A la manière de Yohann, poser et effectuer les calculs suivants en base 8 : 131 + 774 , 131 − 774 , 131 × 774 .Première S 14 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr