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2. Dans la suite de l’exercice, on suppose que la Cigale commence par se rendre en B. Déterminer alors tous les cheminspossibles de la Cigale.3. La Cigale a-t-elle plus de chance de se retrouver bloquée sans pouvoir avancer ou de trouver la maison de la Fourmien G ?4. La bise soufflant, il faut une heure à la Cigale pour parcourir une arête d’un sommet à l’autre. Elle est donc arrivée enB en 1 heure. Quelle est la probabilité qu’elle arrive chez sa voisine :a. en 4h exactement ?b. en 5h exactement ?c. en 6 heures ou plus ?d. sans repasser par un sommet déjà emprunté ?3. Besançonhttp://artic.ac-besancon.fr/mathematiques/Olympiades-1S/index.htm3-a : L’énigme du puzzle (S)Dans un carré de côté c, on construit un puzzle de quatre piècescomme tracé ci-dessus.On a donc c = a + b .On essaie alors d’assembler les quatre pièces en un rectanglecomme tracé ci-dessous.Le rectangle souhaité aura donc pour longueur L = 2a + b etpour largeur l = a .baPièce n°3bPièce n° 1a + baaPièce n° 4Pièce n° 1Pièce n°3Pièce n° 2aPièce n° 4Pièce n° 2aa + b1. a. Reproduire les deux dessins avec a = 5 cm et b = 3 cm .b. Le puzzle est-il exact (c’est-à-dire à l’aide des pièces du carré initial, assemble-t-on exactement un rectangle) ?Justifiez votre réponse.2. On suppose dans cette question que le puzzle est exact.a. Trouver une relation liant a et b. On pourra raisonner sur l’aire du rectangle à reconstituer.b. Déterminer quelle(s) valeur(s) peut alors prendre le quotient a b .Les mathématiciens ont montré qu’il n’existe pas de solution exacte au puzzle si on veut que les côtés soient tous des nombresentiers.3. On recherche donc des couples ( a,b ) d’entiers pour lesquels le puzzle est satisfaisant visuellement sans êtreparfaitement exact.Une solution ( a,b ) est dite « presque exacte » sia. Le puzzle réalisé en question 1.a. est-il presque exact ?2 2a − ab − b vaut 1 ou –1.b. Démontrer que si ( a,b ) est une solution presque exacte, alors ( a b,a )c. Trouver ainsi quelques solutions presque exactes.+ est aussi une solution presque exacte.Première S 11 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr