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2-b : La famille Dupont (non S)Au trente-septième étage d’une tour vivent vingt personnes réparties danshuit appartements disposés comme ci-contre :Les heureux élus qui ont vue à l’Est, sur le stade, sont, hélas deux foismoins nombreux que ceux dont la vue, au sud, donne sur l’usined’incinération, mais deux fois plus nombreux que ceux qui, au nord, fontface à la prison.Quant à ceux qui regardent à l’ouest, exactement le tiers de ceux qui fontface au sud, ils peuvent se distraire avec l’animation du centre commercial.Aucun appartement n’est vide ; en revanche, les Dupont, qui sont l’unique famille nombreuse de l’étage, se trouvent àl’étroit dans leur F4.Au fait, quel appartement habitent les Dupont et combien sont-ils ?2-c : On dérive, on dérive … (S)Combien de solutions réelles négatives l’équation4 3 2x − 5x − 4x − 7x+ 4 = 0 possède-t-elle ?On pourra étudier les variations d’une certaine fonction … et utiliser la calculatrice.2-d : La cigale et la fourmi (S)La Cigale, chantant tout l’été, part tous les matins dusommet A d’un cube (où elle habite) et se déplace d’unsommet à l’autre, en empruntant à chaque sommet, uneautre arête au hasard.Pour varier ses inspirations musicales, la Cigale ne repassejamais par une arête déjà empruntée (même dans le sensinverse), mais peut repasser par un sommet déjàemprunté.Partie I : Une courte promenade d’étéOn étudie le cheminement de la Cigale sur 4 sommetsconsécutifs.Une promenade est codée par la donnée dans l’ordre dessommets atteints : ABCD, ADCG, …1. Déterminer toutes les promenades possibles de la Cigale (on pourra s’aider d’un arbre).PromenadeCB F …D ------- ABCD…A…2. a. Quelle est la probabilité qu’elle finisse sa promenade chez elle en A ?…b. Quelle est la probabilité qu’elle finisse sa promenade chez sa voisine la Fourmi en G ?Partie II : « La Cigale, ayant chanté tout l’été, se trouva fort dépourvue quand la bise fut venue :Pas un seul petit morceau de mouche ou de vermisseau.Elle alla crier famine chez la fourmi sa voisine (en G),la priant de lui prêter quelque grain pour subsister jusqu’à la saison nouvelle … »La Cigale (qui part de A) n’a pas le sens de l’orientation et se déplace toujours au hasard sur les arêtes du cube commeen été, sans emprunter un chemin par lequel elle est déjà passée.Elle continue ainsi son chemin jusqu’à ce qu’elle arrive chez la Fourmi ou qu’elle se trouve bloquée …1. Lors de son excursion sur le cube, la Cigale peut-elle passer trois fois par un même sommet ?Première S 10 mars 2011Olympiades académiques de mathématiqueshttp://laroche.lycee.free.fr