sphère sous pression - mms2

ENVELOPPE SPHÉRIQUE SOUMISE À UNE PRESSION INTÉRIEURE1On considère une enveloppe sphérique, homogène, de rayon intérieur a,de rayon extérieur b. Le matériau qui la constitue est élastique parfaitementplastique, à élasticité linéaire isotrope, ayant pour critère de plasticité lecritère de von Mises ou celui de Tresca.Partant de l’état initial naturel, on soumet cette sphère à une pressionintérieure normale uniforme p que l’on fait croître à partir de 0 (Fig.1).PaFigure 1 : Géométrie et chargement appliqué à la sphère sous pressionb1 Analyse élastique1.1 Donner la solution (champs des contraintes et des déplacements) enélasticité.Le volume étudié est à symétrie sphérique, constitué d’un matériauhomogène et isotrope ; les conditions aux limites possèdent aussi lasymétrie sphérique. On est donc amené à chercher une solution duproblème dans un système de coordonnées sphériques r, θ, φ, tel queles champs de déplacement, de contrainte et de déformation soientrespectivement de la forme :u r = h(r) u θ = u φ = 0σ rr = f 1 (r) σ θθ = σ φφ = g 1 (r) σ rθ = σ rφ = σ φθ = 0ε rr = f 2 (r) ε θθ = ε φφ = g 2 (r) ε rθ = ε rφ = ε φθ = 0Les équations d’équilibre se réduisent à : dσ rrdr + 2 r (σ rr − σ θθ ) = 0Les conditions aux limites statiques ont la forme :σ rr (r = a) = −p, σ rr (r = b) = 0Les équations cinématiques ont la forme : ε rr = du rdr ,La loi d’élasticité de Hooke donne :ε θθ = u rracEε rr = [σ rr − 2νσ θθ ] Eε θθ = [σ θθ (1 − ν) − νσ rr ]Figure 2 : Progression de la zone plastique à partir de la surface intérieurebEn remplaçant les déformations par leur expression en fonction desdéplacements, on obtient pour les contraintes les relations suivantes,λ désignant le coefficient de Lamé (λ = Eν/(1 − 2ν)/(1 + ν)) :σ rr = λ ν[(1 − ν) du ]rdr + 2νu rrσ θθ = λ ν[ν du rdr + u ]rrEn substituant ces deux relations dans les équations d’équilibre, on

obtient l’équation différentielle suivante :d 2 u rdr 2 + 2 du rr dr − 2 r 2 u r = 0soit ( 1r 2 (r 2 u r),r),r= 0La solution de cette équation est : u r = C 1 r + C 2r 2En remplaçant la valeur de u r dans les expressions précédentes, onobtient :σ rr = λ [(1 + ν)C 1 − 2(1 − 2ν) C ]2νr 3σ θθ = λ [(1 + ν)C 1 + (1 − 2ν) C ]2νr 3Les constantes C 1 et C 2 s’obtiennent à partir des conditions auxlimites :σ rr (r = b) = 0 ⇒ C 2 =1 + ν2(1 − 2ν) b3 C 1Finalement, on obtient :σ rr (r = a) = −p ⇒ C 1 = 1 − 2νEu r =[ ]σ rr = −a3 b3b 3 − a 3 r 3 − 1 pσ θθ = σ φφ =[ ]a3 b3b 3 − a 3 2r 3 + 1 pa 3b 3 − a 3 p[] a3b 3 − a 3 (1 − 2ν)r + (1 + ν) b3 p2r 2 E21.2 Déterminer la charge limite d’élasticité P e de la sphère sous pressionpour les critères de von Mises et Tresca.Le critère de plasticité de Tresca, comme celui de von Mises, estindépendant de la pression moyenne. On peut donc l’écrire enremplaçant le tenseur σ ∼par la somme de σ ∼et d’un tenseur sphérique.Ici, si l’on ajoute à σ ∼le tenseur −σ θθ I ∼, on obtient un tenseur uniaxial,d’unique composante non nulle σ rr − σ θθ . D’après les formulesprécédentes, tant que l’enveloppe sphérique reste élastique, on a :σ rr − σ θθ = − 3 a 3 b 32 b 3 − a 3 r 3 pLe critère de plasticité est atteint lorsque (σ rr − σ θθ ), fonctiondécroissante de p, devient égale à la limite d’élasticité −σ y encompression simple. Le premier point plastique apparaît donc enr = a et lorsque la pression p atteint la valeur P e , limite d’élasticitéinitiale de la sphère sous pression :P e = 2 ) (1 − a33 b 3 σ y2 Analyse élasto-plastique2.1 Donner la solution (champs des contraintes et des déplacements) enélasto-plasticité. Vérifier que la zone plastique se développe à partirde la face interne de la sphère creuse (Fig.2). Donner la relationentre le rayon de la zone plastique c et la pression p. Déterminer lapression limite conduisant à la rupture par déformation excessive,P p .Lorsque la pression interne p croît au-delà de la valeur P e , commele premier point plastique est apparu sur la face intérieure del’enveloppe, il est normal de supposer qu’une zone plastique sedéveloppe à partir de cette face, et occupe un volume a < r < c, où cest une fonction de p. La zone c < r < b est alors élastique. Le vecteur

contrainte sur une facette normale à l’axe r prend la même valeurFinalement, dans la zone plastique, on trouve :dans la zone élastique et dans la zone plastique, à la traversée de lasurface r = c. Sur cette surface la contrainte normale est alors égaleen valeur absolue à la limite d’élasticité initiale d’une sphère creuseσ rr = − 2 3 σ y[1 + 3ln( c ]r ) − c3b 3de rayon intérieur c, de rayon extérieur b, soumise à une pressioninterne, soit :σ rr (c) = − 2 ) (1 − c33 b 3 σ yσ θθ = 2 [ ]13 σ y2 − 3ln(c r ) + c3b 3Les contraintes dans la zone élastique sont donc données par leséquations précédentes dans lesquelles on remplace a par c et p par−σ rr (c) ; dans cette zone :σ rr = − 2 c 3 ( ) b33 b 3 r 3 − 1 σ yσ θθ = 2 c 3 ( )σ rr (r = a) = −p ⇒ p = 23 b 3 1 + b33 σ y2r 3 σ yu r = 2 c 3 []3E b 3 (1 − 2ν)r + (1 + ν) b3σ y2rEtudions maintenant la zone plastique a < r < c. Pour y déterminerles contraintes, on dispose des équations d’équilibre et du critère ded pplasticité, vérifiés en tout point, soit :dc = 2σ ]y[1 − c3c b 3dσ rrdr + 2 r (σ rr − σ θθ ) = 0σ rr − σ θθ = −σ yEn combinant ces deux équations, on obtient successivement :dσ rrdr − 2 r σ y = 0, , σ rr = 2σ y ln(r) +C 3La détermination de la constante d’intégration C 3 s’effectue en r = c,(en utilisant la continuité de la composante σ rr :bP p = 2σ y ln2σ y ln(c) +C 3 = − 2 )a)(1 − c33 b 3 σ yCes contraintes dépendent du paramètre c, dont il faut doncdéterminer l’évolution en fonction de la pression p. Dans la zoneplastique, pour r = a, on a :[ ( ] c1 + 3ln −a) c3b 3La transformation de la sphère étant supposée infinitésimale, a et bsont des constantes. La dérivation de p par rapport à c donne alors :Ce terme est toujours positif. Le rayon c de la zone plastique croîtdonc constamment avec p ; ce résultat est cohérent avec l’hypothèseque nous avons faite que la zone plastique se développe à partir dela face interne de la sphère creuse. Le rayon extérieur de cette zoneatteint la valeur b lorsque p atteint la pression limite P p :3

2.2 Déterminer les déformations plastiques et leurs vitesses.S’il est possible, à partir de la solution en contrainte obtenueà la question précédente de construire, en utilisant la loi decomportement, un champ de déplacement qui soit compatible avecles liaisons (cinématiquement admissible), la solution trouvée estunique.Conservant l’hypothèse de symétrie sphérique, on calcule ledéplacement radial dans la zone plastique. Comme la déformationplastique ne produit pas de variation de volume du matériau, cettevariation n’est due qu’à la partie élastique de la déformation, soit :ε rr + 2ε θθ = 1 − 2νE [σ rr + 2σ θθ ]On obtient donc ainsi l’expression de la composante radiale dudéplacement :du rdr + 2u rru r = C 4r− 2ν)( c)= −2(1 σ y [3ln − c3Er b 3 ]2(1 − 2ν)−2 E( c)rσ y[ln + 1 r 3(1 − c3b 3 )]En utilisant le fait que le déplacement radial est continu à la traverséede la surface r = c, on peut déterminer la constante d’intégration :C 4 = (1 − ν) σ yE c3On obtient finalement dans la zone plastique :u r = σ [yE r (1 − ν) c3r 3 − 2 [ ( c) ]]3 (1 − 2ν) 1 + 3ln − c3r b 3A partir de cette expression du déplacement, on peut calculer lesdéformations totales dans la zone plastique. On obtient alors lesdéformations plastiques par différence entre les déformations totales4et les déformations élastiques calculées en utilisant les formulesdonnant les contraintes. Les seules composantes non nulles sont :εrr p = 2σ ( )yE (1 − ν) 1 − c3r 3ε p θθ = εp φφ = −σ yE((1 − ν)(1 − c3r 3 ) )Comme c est une fonction croissante de p et que le trajet dechargement étudié est par hypothèse à «p croissant», on peutchoisir c comme paramètre de chargement. Le tenseur de vitesse dedéformation est du type compression simple :˙ε rr p = dεp rrdc = −6σ y(1 − ν)c2E r 3 < 0˙ε p ττ = ˙ε p φφ = −1 2 ˙εp rr2.3 Que se passe-t-il si l’on effectue le trajet de charge suivant :0 → p m (p m > P e ) → 0 → p m (p m > P e ) ?Si l’on a soumis une sphère creuse à une pression interneP m > P e , et qu’on la décharge jusqu’à p = 0, les contraintesrésiduelles, présentes après cette décharge, seront égales à ladifférence entre les contraintes calculées en élasto-plasticité et lasolution élastique correspondant à un chargement −P m . On obtientalors un champ de contraintes résiduelles σ r ∼:– dans la zone plastique (a < r < c) :σ r rr = − 2 [ ( c) ] [ ]3 σ y 1 + 3ln − c3r b 3 + a3 b3b 3 − a 3 r 3 − 1 P mσ r θθ = σ r φφ = 2 3 σ y[ 1( c) ] [ ]2 − 3ln + c3r b 3 −a3 b3b 3 − a 3 2r 3 + 1 P m

– dans la zone élastique (c < r < b) :σ r rr = − 2 c 3 ( )[ ]b33 b 3 r 3 − 1 σ y +a3 b3b 3 − a 3 r 3 − 1 P mσ r θθ = σ r φφ = 2 c 3 ( )[ ]3 b 3 1 + b32r 3 σ y −a3 b3b 3 − a 3 2r 3 + 1 P mLes équations précédentes ne sont valides que s’il n’apparaît aucunedéformation plastique pendant la décharge. Pour que la plastificationréapparaisse en compression, il faut traverser le domaine d’élasticité,et retrouver un point pour lequel : σ r rr − σ r θθ = σ y. Cela se produiraeffectivement à partir du moment où la pression maximale atteinte P mest supérieure à 2P e . L’étude des variations de P e et P p en fonction de(b/a) montre que cela n’est possible que si la pression limite est ellemêmesupérieure à 2P e . Ceci fournit une condition géométrique surla sphère. La figure 3 illustre le fait que P p dépasse 2P e si le rapport(a/b) est inférieur à une valeur critique x, solution de l’équation(4/3)(1 − x 3 ) = 2ln(x), soit :a/b < x ≃ 0.595au cours de laquelle ils sont portés à une pression supérieure à lapression de service ultérieure.Si au contraire il y a replastification, des déformations plastiquescycliques vont se produire, avec un phénomène de fatigue plastiquedu matériau, qui conduira à la ruine de la structure aux cours descycles successifs 0 −→ P m −→ 0 −→ P m −→ ....La figure 4 reproduit les variations des différentes composantes dutenseur des contraintes à pression maximale et après décharge, dansle cas où (a/b) = 0.75.P pσ y (1), P e21.5σ y (2)10.50(2)(1)Dans le cas où il n’y a pas plastification à la décharge, on dit que lastructure est adaptée. Il s’agit de régime de fonctionnement sûr, quiest utilisé dans la pratique pour les récipients sous pression : ceux-cisubissent avant mise en fonctionnement une opération de timbrage0 0.2 0.4 0.6 0.8 1a/bFigure 3 : Variation de P e et P p en fonction de a/b

60-10c/b=0.7500c/b=0.8125c/b=0.8750c/b=0.9375908580c/b=0.7500c/b=0.8125c/b=0.8750c/b=0.9375sigma_rr (MPa)-20-30-40-50-6075 80 85 90 95 100r (mm)sigma_tt (MPa)757065605550454075 80 85 90 95 100r (mm)a. b.1.1201100.90J/sigma_y(MPa)0.80.70.6sigma (MPa)-10-200.5c/b=0.7500c/b=0.8125c/b=0.8750c/b=0.93750.475 80 85 90 95 100r (mm)-30sigma_rrsigma_ttvon Mises-4075 80 85 90 95 100r (mm)c. d.FIG. 1 – (a), (b) Profils de contraintes dans l’épaisseur du tube pour différents niveaux de pression, (c) mise en évidence de l’avancée de la zone plastique,(d) contraintes résiduelles après décharge.