L3 Physique - Plate-forme TTE - CESIRE

TP - L3 Physique - Plate-forme TTE - C.E.S.I.R.E. - Université Joseph Fourier - GrenobleTRANSFERT DE CHALEURDocument à lire avant de commencer TOUT TP de ThermodynamiqueCe document est un résumé des notions fondamentales concernant le transfert de chaleur entre 2 corpssolides ou fluides. Il est nécessaire de le lire avant de commencer les TP de Thermo.1. GÉNÉRALITÉSLe transfert d’une quantité de chaleur δq pendant un intervalle de temps δt correspond à un flux dechaleur φ = δqdt. Un flux de chaleur équivaut à une puissance échangée par un système à travers safrontière sous forme de chaleur. Les flux de chaleur φ se mesurent en Watts.Comme le flux de chaleur n’est pas nécessairement uniforme sur toute la surface d’échange S, onintroduit la notion de densité de flux locale −→ J (en W m −2 ). Le flux φ est alors l’intégrale de la densitéde flux sur la surface d’échange S, φ = ∫ −→ −→ −→S J ds où ds représente un élément de surface orienté de tellesorte que le flux est sortant si −→ J . −→ ds > 0 entrant si −→ J . −→ ds < 0.D’un point de vue plus physique, le transfert de chaleur trouve son origine dans les écarts de température.Ainsi, un transfert d’énergie sous forme de chaleur sera obtenu chaque fois qu’un gradient detempérature existera au sein d’un système ou lorsque deux systèmes, à températures différentes, serontmis en contact par l’intermédiaire d’une surface d’échange S.Le processus de transmission de la chaleur n’est pas régi par une relation unique mais résulte d’unecombinaison de mécanismes physiques indépendants. On distingue trois modes de transmission de lachaleur qui sont la conduction, la convection et le rayonnement. Ces trois modes s’effectuent la plupartdu temps en parallèle.2. TRANSMISSION DE LA CHALEUR PAR CONDUCTION2.1. Définition. Loi fondamentale. Conductivité thermique. La conduction est un processus physiquede transmission de la chaleur qui s’appuie sur un milieu matériel (solide, liquide, gaz), sans mouvementde matière, et qui fait passer la chaleur des zones chaudes aux zones froides à l’aide de mécanismes àl’échelle microscopique (vibrations atomiques ou moléculaires, diffusion électronique,...). La conductionest le seul mécanisme qui permet à la chaleur d’être transmise dans un solide. Par contre, si un fluide estsoumis à un fort gradient thermique, la conduction devient rapidement négligeable devant la convectionnaturelle.La loi fondamentale de la conduction (loi de Fourier) a pour expression −→ J = −κ −−→ gradT où −−→ gradTreprésente le gradient local de température (c’est-à-dire le taux de variation spatiale de la température aupoint considéré). Le vecteur gradient est, par définition, perpendiculaire aux isothermes.κ est le coefficient de conductivité thermique du milieu de transmission ( unité W m −1 K −1 ). Lesconductivités thermiques des matériaux varient d’une façon considérable d’une substance à une autre,de sorte que l’on distingue en général les matériaux conducteurs de la chaleur des matériaux isolantssuivant l’ordre de grandeur de leur conductivité thermique. La conductivité thermique dépend égalementde la température. Elle dépend aussi de l’état du matériau considéré (solide, liquide ou gaz). Le tableauci-contre donne quelques valeurs de κ pour divers matériaux à la température ambiante.Remarque : c’est à la conductivité que le corps est sensible, impression quand on touche du métal, dechaud pour le bois, dans une pièce où la température est homogène.1

TAB. 1. Conductivité thermique de quelques matériauxValeur à température ambianteMatériauxk (W m −1 K −1Argent 417Cuivre 380Aluminium 230Métaux et alliages Laiton 110-90Fer pur 72Acier 52Plomb 35Acier inoxydable 15Béton plein 1.75Béton vermiculite 0.31Béton cellulaire 0.24Matériaux de construction Briques réfractaires 0.11 à 0.61Plâtre 0.43Bois 0.15Liége compensé 0.1Verre 1.15Liquides Eau 0.56Alcool 0.13Air 0.02Gaz Vapeur d’eau 0.016Gaz carbonique 0.014Liège expansé 0.043Laine de verre 0.035Laine 0.035Isolants Amiante 0.15Amiante ciment 0.8Polyuréthane 0.03Polystyrène 0.04Polychlorure de vinyle 0.0312.2. Equation de la chaleur. On applique le premier principe de la thermodynamique ( dU = δW +δQ) à un système constitué d’un volume V limité par une surface S.- On a δW = 0.- δQ est la somme de la chaleur δQ e entrant dans le volume V pendant dt et de la chaleur δQ i dégagéepar les sources internes, de densité volumique q (effet Joule, courants de Foucault,)∫ ∫∫ ∫ ∫−→ −→δQ e = −dt J . ds = −dt div −→ J dvS∫ ∫ ∫δQ i = dtVqdv- Pendant le temps dt, on a :∫ ∫ ∫dU = dt ρC dTV dt dvEn utilisant la loi de Fourier, on obtient l’équation de la chaleurdiv(κ −−→ gradT ) + q = ρC dTdtEn considérant le milieu comme homogène et k comme isotrope et constant, cette équation se simplifieet devient :2V

κ∆T + q = ρC dTdt2.3. Régime permanent. L’équation de la chaleur se ramène alors à κ∆T + q = 0. On ne sait pasrésoudre analytiquement cette équation différentielle dans le cas de 2 ou 3 dimensions. Des méthodesdapproximation (différences finies ou éléments finis) sont utilisables mais hors de propos dans ce document.2.3.1. Cas du mur plan. Dans ce cas, on peut ramener le problème à un problème à une dimension encoordonnées cartésiennes et q = 0. L’équation de la chaleur se ramène à d2 Tdx 2 = 0.Dans le cas simple de la transmission de la chaleur à travers un mur plan, d’épaisseur e et de conductivitéκ, en supposant chacune de ses faces à température uniforme (respectivement T 1 et T 2 avec T 1 > T 2 ),on obtient, en intégrant l’équation ci-dessus, une variation linéaire de la température en fonction de ladistance T = T 1 − T 1−T 2ex. Le gradient de température est constant et égal à − T 1−T 2e. Le flux transmisà travers le mur est alors :φ = −κS ∣ −−→gradT ∣ = κ S e (T 1 − T 2 )en désignant par S la surface du mur.Le résultat peut aussi s’écrire sous la forme φ = K(T 1 − T 2 ) avec K = κ S e. Le coefficient K est laconductance thermique.On introduit également la notion de résistance thermique définie comme l’inverse de la conductanceR th = 1 K . Ainsi, la résistance thermique d’une couche plane est R th = eκS. Le flux de chaleur s’exprimealors comme φ = T 1−T 2R th.2.3.2. Cas d’une coquille cylindrique. Considérons une conduite transportant de l’eau chaude. On supposeles températures des parois intérieure et extérieure constantes. Le flux de chaleur est alors radial eton peut ramener le problème à un problème à une dimension en coordonnées cylindriques. L’équationddr(rdTdr)= 0. On montre facilement que la résistance thermique vaut dansde la chaleur se ramène à( 1 rce cas R th = − 12πκL ln R1R 2)où R 1 et R 2 sont respectivement les rayons intérieur et extérieur de laconduite, L sa longueur et κ la conductivité thermique du matériau.Le flux échangé entre l’intérieur et l’extérieur est donc φ = T 1−T 2R thoù T 1 et T 2 sont les températuresde surface des parois interne et externe de la couche cylindrique.2.4. Analogie Loi d’Ohm - Loi de Fourier. La loi de Fourier appliquée à un mur plan φ = T 1−T 2R thprésente une certaine analogie avec la loi d’Ohm I = V 1−V 2R elecoù la différence de potentiel joue le rôle dela différence de température et le flux de chaleur celui du courant électrique.De même −→ J = −κ −−→ gradT est à rapprocher de −→ J = σ −−→ gradVOn peut ainsi établir les correspondances suivantes :Loi d’Ohm → Loi de FourierPotentiel → TempératureCourant → Puissance transmise3

TAB. 2. Conductivité thermique et difusivité de quelques matériauxValeurs à température ambianteDiffusivité 10 −4 m 2 s −1 Conductivité W m −1 K −1Cuivre 1.1 380Fer 0.16 72Acier inoxydable 0.04 15Aluminium 0.94 230Béton 0.005 1.75Verre 0.003 1.15Eau 0.002 0.56Air 0.02Champ électrique → Gradient de températureDensité de courant → Flux thermiqueRésistance électrique → Résistance thermiqueR elec = ρ L S = 1 Lσ S → R th = 1 eκ SOn pourra donc, pour analyser un problème thermique, effectuer une transposition en construisant leschéma électrique correspondant (circuit en série, en parallèle) et adopter le même type de calcul.2.5. Régime variable. En l’absence de sources de chaleur et en ne considérant que les problèmes àune dimension en coordonnées cartésiennes, l’équation de la chaleur devient D dT = dTdx 2 dt où D = κρCest la diffusivité thermique (unité m 2 s −1 ) ( ρ masse volumique, C chaleur spécifique ). Alors que laconductivité thermique k intervient en régime permanent (ne dépendant pas du temps), la diffusivitéthermique intervient lors des régimes transitoires (dépendant du temps). Ainsi la constante de temps τ demise en équilibre d’un objet est typiquement τ = L2Doù L est une dimension caractéristique de l’objetconsidéré.3. TRANSMISSION DE LA CHALEUR PAR CONVECTIONLa convection est un processus physique de transmission de la chaleur qui s’appuie sur un milieumatériel avec mouvement de matière. On ne peut donc avoir de convection que dans les liquides etles gaz. Le flux de chaleur transmis par convection, entre une paroi à température T 1 et un fluide àtempérature T 2 (température mesurée loin de la paroi), peut s’écrire sous la forme φ = h c S(T 1 − T 2 )(loi de Newton) où h c est le coefficient d’échange par convection ( unité W m −2 K −1 ). On définira dela même façon que précédemment la résistance thermique de surface par R th = 1h cS. Cette relationne constitue pas une loi, mais plutôt une description phénoménologique du processus de transmissionpar analogie avec la conduction. Quel que soit le régime d’écoulement, y compris turbulent, il existeau voisinage immédiat de la paroi une zone d’écoulement laminaire appelée couche limite (voir figureci-dessous). Ce film est adjacent à la surface avec condition d’arrêt de l’écoulement le long de la paroi(vitesse nulle).4

Ce film constitue la principale résistance thermique au transfert de chaleur entre la paroi et le fluide enmouvement. C’est pourquoi on parle souvent de coefficient de film pour désigner le coefficient de transfertconvectif à la paroi. Lorsque la turbulence de l’écoulement augmente, l’épaisseur du film laminairediminue, sa résistance thermique décroît. Le flux de chaleur, pour un écart de température donné, estdonc d’autant plus important que le régime d’écoulement est turbulent. Dans la pratique, on déterminela valeur de h c à partir d’expériences. Les résultats de ces expériences sont traduits en terme de lois decorrélations faisant intervenir des grandeurs adimensionnelles. On distingue deux types de convection.3.1. La convection forcée. Le mouvement du fluide est imposé par des actions mécaniques extérieures(pompes, ventilateurs, etc...). L’écoulement est alors laminaire ou turbulent suivant la valeur du nombrede Reynolds Re = ρvXµoù X est une échelle de longueur caractéristique de l’écoulement (par exemplediamètre, dans le cas d’un écoulement de conduite), v est une vitesse caractéristique de l’écoulement (parexemple, la vitesse moyenne v = ṁρSdans le cas d’un écoulement de conduite, ṁ représentant le débitmassique et S la section de passage), µ la viscosité dynamique (en Poiseuille (Pl) en SI) et ρ la massevolumique. Les coefficients d’échange h c sont exprimées par l’intermédiaire du nombre de Nusselt Nudéfini par Nu = hcXκ( κ conductivité thermique du fluide, X échelle de longueur caractéristique). Lenombre de Nusselt caractérise l’efficacité du transport thermique convectif par rapport à ce que serait leseul transport conductif dans le gaz.L’expérience montre que Nu = f(P r, Re) où P r = µC κest le nombre de Prandtl qui résume lespropriétés thermophysiques du fluide. Ainsi, on posera la plupart du temps Nu = ARe m P r n où A estune constante dépendant de la géométrie considérée et de la valeur du nombre de Reynolds.3.2. La convection libre (ou naturelle). Ce type de convection résulte des variations de masse volumiquedu fluide résultant des échanges de chaleur eux-mêmes (poussée d’Archimède sur les élémentsde fluide chaud). Il en résulte une convection laminaire ou turbulente, suivant la valeur du nombre deGrashof Gr, . Gr = gβρ2 X 3 ∆Tou de Rayleigh Ra, Ra = P rGrµ 2X est l’échelle caractéristique de longueur,∆T est l’écart caractéristique de température,g est l’accélération de la pesanteur,µ est la viscosité dynamique,β = 1 dρρ dTest le coefficient de dilatation.En fonction de la valeur du nombre de Rayleigh, le transfert de chaleur a les caractéristiques suivantes :Ra < 10 3 : convection négligeable ; le transfert a lieu essentiellement par conduction10 3 < Ra < 10 9 : le transfert a lieu en régime de convection libre laminaire (rouleaux convectifsstables dans le temps)Ra > 10 9 : le transfert a lieu en régime de convection libre turbulente.L’expérience montre que Nu = ARa n = A(P rGr) n où A est une constante dépendant de la géométrieconsidérée et de la valeur du nombre de Rayleigh.5

3.3. Valeurs du coefficient d’échange h. Il est difficile de donner des valeurs de h, les valeurs pouvantvarier énormément en fonction de la géométrie, du fluide et du type de convection. On peut cependantretenir que pour l’air, aux alentours de la température ambiante et en convection naturelle, h est donnépar h = 1.4 ( )ϑ 0.25D où θ = Tcorps − T ambiante en Kelvin et D est le diamètre d’une barre (en mètre).Ceci donne des valeurs d’environ 5 W m −2 K −1 . Pour l’eau, toujours aux alentours de la températureambiante, le coefficient h est environ 10 fois plus élevé.4. TRANSMISSION DE LA CHALEUR PAR RAYONNEMENTLes corps émettent de l’énergie par leur surface, sous forme d’un rayonnement d’ondes électromagnétiques,et ce d’autant plus que leur température est élevée. Inversement, soumis à un rayonnement,ils en absorbent une partie qui se transforme en chaleur. Le rayonnement est un processus physique detransmission de la chaleur sans support matériel.Ainsi, entre deux corps, l’un chaud, l’autre froid, mis en vis-à-vis (même séparés par du vide), unetransmission de chaleur s’effectue par rayonnement du corps chaud vers le corps froid : le corps chaudémet un flux φ 1 et absorbe une partie du flux φ 2 émis par le corps froid. Comme φ 1 > φ 2 , le bilan de fluxest tel que le corps chaud cède de l’énergie au corps froid. A l’inverse, le bilan de flux peut être retrouvésur le corps froid qui émet moins d’énergie qu’il n’en absorbe.On définit le coefficient d’absorption α =La conservation de l’énergie implique α + ρ = 1.flux absorbflux incidentet le coefficient de réflexion ρ =flux rflchiflux incident .4.1. Le corps noir. L’émetteur ou l’absorbeur idéal est un cas limite appelé corps noir. Il a la propriétéd’absorber tout le rayonnement qui lui parvient quelque soit sa longueur d’onde ; son coefficient d’absorptionα est égal à 1 et son coefficient de réflexion ρ = 0 ; maintenu à la température T , il émet lemaximum de rayonnement thermique possible.La luminance spectrale L 0 λ (l’indice supérieur signifie corps noir ; unité W m−2 m −1 sr −1 ) est la puissanceémise par unité de surface apparente, par unité de longueur d’onde et par unité d’angle solide. Ondémontre que ( loi de Planck )L 0 λ = C 1λ −5e C 2λT − 1L’émittance spectrale M 0 λ (unité W m−2 m −1 ) est la puissance émise par unité de surface, par unitéde longueur d’onde et dans le demi espace supérieur. La plupart des corps ont une luminance spectraleindépendante de la direction d’émission ( loi de Lambert ). On a alors la relation M 0 λ = πL0 λ .La longueur d’onde λ m du maximum de l’émittance est donnée par la relation de Wien λ m T =2896 µmK. Quasiment toute la puissance est émise entre les longueurs d’onde λ m /2 et 7λ m .L’émittance totale M 0 (unité W m 2 ) est la puissance émise par unité de surface dans le demi espace supérieursur l’ensemble de toutes les longueurs d’onde possibles. Par intégration sur les longueurs d’onde,on trouve que l’émittance totale M 0 du corps noir est proportionnelle à la puissance quatrième de latempérature absolue de la surface ( loi de Stefan ) M 0 = σT 4 avec σ = constante de Stefan-Boltzman =5, 675.10 −8 W m −2 K −4 .4.2. Corps réels. Les propriétés d’émission des corps réels sont définies par rapport à celles du corpsnoir. On définit l’émissivité ε d’un corps comme le rapport de sa luminance (ou de son émittance) à celledu corps noir. L’émissivité est un nombre strictement inférieur à 1. En toute rigueur, l’émissivité dépendde la direction et de la longueur d’onde. Un corps réel est donc défini par- son émissivité ε en ce qui concerne le rayonnement qu’il émet- son coefficient d’absorption α en ce qui concerne le rayonnement reçu de son environnementLa loi de Kirchhoff indique que α = ɛOn fait la plupart du temps l’hypothèse que les corps réels se comportent comme des corps gris àémission diffuse. Cette hypothèse entraîne que l’émissivité, et par conséquent le coefficient d’absorption,ne dépendent ni de la direction ni de la longueur d’onde. Un corps réel est alors caractérisé par une seulequantité, son émissivité ε.6

TAB. 3. Valeurs de quelques émissivitésMatériau Emissivité à 37˚C Emissivité à 260˚CAluminium poli 0.04 0.03Aluminium 0.11 0.12Laiton poli 0.10 0.10Laiton oxydé 0.61Métaux Cuivre poli 0.04 0.05Cuivre oxydé 0.87 0.83Fer poli 0.06 0.08Fonte oxydée 0.63 0.66Argent poli 0.01 0.02Acier inox poli 0.15 0.18Brique rouge 0.93Marbre blanc 0.95Matériaux de Plâtre 0.91construction Laque blanche 0.96 0.98Laque rouge 0.96Glace ∼ 0.97Eau ∼ 0.96Divers Carbone 0.82 0.80Bois ∼ 0.93Verre 0.904.3. Puissance échangée entre deux corps. Entre deux corps noirs, l’un chaud ( température T 1 ),l’autre froid ( température T 2 ), en vis-à-vis total ( c’est à dire que tout le flux émis par l’un des corps estreçu par l’autre), le flux net échangé s’écrit :φ = flux mis − flux absorb = Sσ(T 4 1 − T 4 2 )Si les deux corps ne sont pas en vis-à-vis total, on fait intervenir un facteur de forme F 1,2 qui tientcompte de la géométrie considérée.De la même façon, le flux net échangé entre deux corps gris s’écrit :φ = S 1 F 1,2 σ(T 4 1 − T 4 2 )où le facteur de forme fait intervenir cette fois la géométrie considérée et les émissivités des deux corps.1On a par exemple F 1,2 = dans le cas de deux surfaces grises parallèles en vis-à-vis ou1+ 1 −1 ε 1 ε 21F 1,2 = dans le cas de deux surfaces grises dont l’une (S 1+ S 12) entoure complètement l’autre( 1 −1) ε 1 S 2 ε 2(S 1 ).Si les écarts de température ne sont pas trop importants, on peut linéariser (T1 4 − T 2 4 ) et le remplacerpar 4T1 3(T 1 − T 2 ) de sorte queφ = 4S 1 F 1,2 σT1 3 (T 1 − T 2 )On a alors une relation de type Newton φ = h r S(T 1 − T 2 )en introduisant un coefficient de transmissionpar rayonnement h r = 4F 1,2 σT1 3 . De la même façon que précédemment, on définira la résistancede surface de rayonnementR th = 1h r S5. EXEMPLE D’APPLICATION À UN MUR PLANQuand plusieurs modes de transfert ont lieu simultanément, des analogies avec les lois d’associationdes résistances électriques peuvent être établies. L’établissement de ces règles de composition n’estpossible que si l’on linéarise les phénomènes.7

Résistances en série. Exemple : cas de la conduction dans 2 solides accolés.En régime permanent, le flux de chaleur par unité de surface est le même à travers chaque solide :φ = κ 1S(T 1 − T ) = κ 2S(T − T 2 )e 1 e 2On a addition des résistances thermiques en série comme en électricité :R th = R th1 + R th2Résistances en parallèle. Exemple : transferts simultanés de chaleur par convection et rayonnement entreune paroi et l’air ambiant.T p est la température de la paroi et T f la température de l’air ambiant. Le flux de chaleur total est lasomme des deux flux de chaleur dus respectivement à la convection φ c et au rayonnement φ r .φ c = h c S(T p − T f )etφ r = h r S(T p − T f )doncφ = φ c + φ r = (h c + h r )S(T p − T f )et par suite h = h c +h r ou 1/R th = 1/R th,conv +1/R th,ray . On a addition des inverses des résistancesthermiques en parallèle comme en électricité.On peut, en utilisant ce qui précède, tracer le schéma thermique équivalent dans le cas d’un mur plan(mur d’une habitation par exemple)8