Chapitre 5 - Laroche

16 Activités mathématiques Première SOn dispose d’une roulette à deux numéros, 0 et 1 ; la probabilité sur un lancer de tirer 1 est p, celle de tirer 0 estq = 1 − p .On lance la roulette jusqu’à ce qu’on obtienne un 1 ; on appelle X la variable aléatoire égale au nombre defois nécessaire à ce résultat.1. On prend p = q = 1 .2a. Déterminer les probabilités des événements suivants : X = 1 , X = 2 , X ≤ 3 , X ≤ N , N entier ; X > N .b. On décide de s’arrêter au bout de N lancers, qu’on ait obtenu 1 ou pas.Déterminer en fonction de N l’espérance mathématique E ( X ) de X ; que devient ( X )devient grand ?2. Reprendre les questions précédentes avec p et q « quelconques ».3. Écrire un algorithme permettant de simuler la situation précédente.Partie COn joue à un jeu où à chaque partie on a la probabilité p de gagner, q = 1 −NE lorsque NNp de perdre. À chaque partie onmise une somme S : si on perd on perd sa mise, le « gain » est S ; si on gagne on multiplie sa mise par k et le« gain » est ( k − 1 ) S (par exemple si k=3 on gagnera 3S S=2S).On mise S € à la première partie : si on gagne on s’arrête de jouer ; si on perd on rejoue en misant kS €. Tantqu’on n’a pas gagné on rejoue en multipliant la mise par k.1. Montrer que le gain est toujours S quelque soit le moment où on gagne.2. Montrer qu’il arrive toujours un moment N (la première fois où l’on gagne) où la probabillité de gagner estsupérieure à 0,999.3. Déterminer N ainsi que la dernière mise dans les cas suivants :a. S=1, k=2, p = q = 1 ; b. S=1, k=5, p = 1 ; c. S=1, k=20, p = 1 .25203. Conclure.1.6 QCM et Vrai-FauxPour tous les Vrai-Faux cocher sur la grille votre réponse.1.6.1 Un max de questions (fondamentales bien sûr)1. A et B sont deux évènements indépendants tels que p(A) = 0,2 et p(B) = 0,3 alors ( A B )p ∪ =a. 0,06 b. 0,44 c. 0,5 d. 0,562. A et B sont deux évènements ; alors ( A B )p ∩ =a. p( A ) − p( A ∩ B ) b. p( B ) p( A B )− ∩ c. p( B ) − p( A ∩ B ) d. p( A ) − p( A ∩ B )3. On désigne par A et B deux évènements indépendants d’un univers muni d’une loi de probabilité p.On sait que ( A B )45p ∪ = et ( A )3p = . La probabilité de l’évènement B est égale à :5a. 2 5b. 2 3c. 3 5d. 1 24. Une urne contient 5 boules noires et 3 boules blanches.On tire successivement et sans remises 2 boules de l’urne.La probabilité de l’événement : « la 2 ième boule tirée est noire sachant que la première l’est aussi » est égale àa. 5 4b. 25645. Lors d’une course de chevaux comportant 20 partants, la probabilité de gagner le tiercé (choix de 3 parmi 20)dans le désordre est combien de fois supérieure à la probabilité de gagner le tiercé dans l’ordre ?c.514d. 4 7