Corrigé des exercices de l'examen du 23 janvier 2006 Travail ... - IIHE
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<strong>Corrigé</strong> <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>exercices</strong> <strong>de</strong> l’examen <strong>du</strong> <strong>23</strong> <strong>janvier</strong> <strong>2006</strong>Q1. Deux petites sphères con<strong>du</strong>ctrices, portant une charge <strong>de</strong> +1,00nC et +5,00nCrespectivement, sont situées à 3 mètres l’une <strong>de</strong> l’autre. Quel travail (en Joules) faut ilfournir pour emmener un proton <strong>de</strong> l’infini au point situé à mi chemin entre les <strong>de</strong>uxsphères ?⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞Calcul <strong>du</strong> potentiel à mi-chemin (1,50 m <strong>de</strong> chaque sphère) : VM = kQ1⎜⎟+ kQ2⎜ ⎟⎝r1 ⎠ ⎝r2⎠9 2 2 −9(9,0× 10 N.m /C )( + 1,00 × 10 C)VM=1, 50mM+9 2 2 −9(9,0 10 N.m /C )( 5,00 10 C)V = 36,0V× + ×1, 50mPotentiel à l’infini : 0 V ∆V = 36,0 V<strong>Travail</strong> : W = ∆V.q 0W = (36,0 V).(1,60.10 -19 C) = 57,6.10 -19 J
Q2. Considérons un con<strong>de</strong>nsateur plan formés <strong>de</strong> 2 plaques carrées <strong>de</strong> 8 cm <strong>de</strong> côté (L)et distantes <strong>de</strong> 2 cm (h) soumis à une différence <strong>de</strong> potentiel V = 400 V. Un champmagnétique B uniforme parallèle au champ électrique et <strong>de</strong> direction opposée, <strong>de</strong>mo<strong>du</strong>le B = 0,1 T est présent dans cet espace . Un faisceau d'ions traverse lecon<strong>de</strong>nsateur avec une vitesse initiale v 0 parallèle aux plaques <strong>du</strong> con<strong>de</strong>nsateur. Unécran fluorescent (S) est positionné immédiatement à la sortie <strong>du</strong> con<strong>de</strong>nsateur.Le but <strong>du</strong> problème est <strong>de</strong> trouver la trajectoire <strong><strong>de</strong>s</strong> ions dans le con<strong>de</strong>nsateur et laposition <strong><strong>de</strong>s</strong> marques qu’ils laissent sur l’écran fluorescent. Nous supposerons que lesions se déplacent initialement le long <strong>de</strong> l’axe <strong><strong>de</strong>s</strong> y (comme indiqué dans le <strong><strong>de</strong>s</strong>sin). Nousferons l’hypothèse que la vitesse initiale v 0 est gran<strong>de</strong> par rapport aux vitesses acquises àcause <strong><strong>de</strong>s</strong> champs électriques et magnétiques (En pratique cette condition sera vérifiéepour v 0 <strong>de</strong> l’ordre <strong>de</strong> 10 6 m/s). Pour résoudre ce problème nous procé<strong>de</strong>rons par étapes.1) Supposons que la différence <strong>de</strong> potentiel V=400V, mais que le champ magnétiqueest éteint.a. Quelle est la trajectoire <strong><strong>de</strong>s</strong> particules ?b. De combien la marque sur l’écran fluorescent est déplacée (exprimer cedéplacement en fonction <strong>de</strong> v 0 , <strong>de</strong> la charge q, et <strong>de</strong> la masse m <strong>de</strong> l’ion) ?2) Supposons que le potentiel V=0 est nul, mais que le champ magnétique vautB=0.1T.a. Quelle est la trajectoire <strong><strong>de</strong>s</strong> particules (en supposant v 0 grand)?b. De combien la marque sur l’écran fluorescent est déplacée (exprimer cedéplacement en fonction <strong>de</strong> v 0 , <strong>de</strong> la charge q, et <strong>de</strong> la masse m <strong>de</strong> l’ion) ?c. Dans quelle direction la marque est elle déplacée (comparer au cas 1) ?3) Quand V=400V et B=0.1T les <strong>de</strong>ux déplacements obtenus en 1 et 2 ci-<strong><strong>de</strong>s</strong>suss’additionnent.a. Montrer qu’on peut <strong>de</strong> dé<strong>du</strong>ire <strong>de</strong> la position <strong>de</strong> la marque sur l’écranfluorescent le rapport q/m (la charge q <strong>de</strong> l’ion divisé par sa masse m),sans connaissance préalable <strong>de</strong> v 0 .b. La marque laissée sur l’écran est une parabole d’équation x(z)=cz 2 . Dansle cas d’un faisceau d'ions <strong>de</strong> Néon une fois ionisé (charge q=e) composé<strong>de</strong> Ne 20 ( m 20 = 20 x 1,65 10 -27 kg) et Ne 22 (m 22 = 22 x 1,65 10 -27 kg) quevalent les constantes c?
1. a) trajectoire. qEForce <strong>du</strong> champ électrique : F = qE1x accélération selon l’axe x : a = (m : massem<strong>de</strong> l’ion).VCon<strong>de</strong>nsateur plan : E =hEquation <strong>de</strong> la trajectoire :qV2x(t) = t2hmy(t) = v tz(t) = 01. b) Position finale atteinte après le temps tf=Donc02LvqV ⎛ L ⎞x(tf) = ⎜ ⎟ = ∆x2hm ⎝ v0 ⎠02. a) trajectoire. Force <strong>du</strong> champ magnétique : F = qv× B = −qv0B1z accélération selon l’axe z :qBva = 0(m : masse <strong>de</strong> l’ion).mEquation <strong>de</strong> la trajectoire :x(t) = 0y(t) = v t0qv0Bz(t) =− t2m22. b) Position finale atteinte après le temps tf=Donc2qBLz(tf) = = ∆ z2mv0Lv02. c) La marque est déplacée selon l’axe z (dans le plan <strong>du</strong> mouvement initial alors quedans le cas 1, elle était déplacée perpendiculairement à ce plan)
Q3. Deux courants électriques perpendiculaires <strong>de</strong> 1A et 3A sont orientés comme sur le<strong><strong>de</strong>s</strong>sin et se croisent au point O. Quelles sont l’intensité et l’orientation <strong>du</strong> champmagnétique au point P (situé dans le plan <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong>ux courants, à 1m et 2m <strong><strong>de</strong>s</strong> <strong>de</strong>uxcourants, comme indiqué dans la figure) ?I=3AOI=1A1mP2mLe champ magnétique pro<strong>du</strong>it par un courant rectiligne d’intensité I à une distance r <strong>du</strong>con<strong>du</strong>cteur est donné par :IB =µ02πrLa direction <strong>du</strong> champ B est donnée par la règle <strong>de</strong> la main droite.−7 1A−7Courant <strong>de</strong> 1 A : B1= (4π 10 Tm/A) = 2.10 T perpendiculaire au plan <strong><strong>de</strong>s</strong>2 π(1m)con<strong>du</strong>cteurs (entre dans la feuille).−7 3A−7Courant <strong>de</strong> 3 A : B2= (4π 10 Tm/A) = 3.10 T perpendiculaire au plan <strong><strong>de</strong>s</strong>2 π(2 m)con<strong>du</strong>cteurs (sort <strong>de</strong> la feuille).Le champ magnétique total est la somme vectorielle <strong><strong>de</strong>s</strong> champs B 1 et B 2 . Comme ces champsont <strong><strong>de</strong>s</strong> directions opposées, le champ magnétique total est :−7 −7 −7B = B − B = 3.10 T − 2.10 T = 10 T2 1Perpendiculaire au plan <strong><strong>de</strong>s</strong> con<strong>du</strong>cteurs (sort <strong>de</strong> la feuille).
Q4. Un électroaimant pro<strong>du</strong>it entre ses pôles un champ magnétique dépendant <strong>du</strong> tempsB(t). Entre ses pôles on place une bobine <strong>de</strong> 100 tours, d’aire 4cm 2 , orientéeperpendiculairement au champ magnétique. La force électromotrice in<strong>du</strong>ite estinitialement nulle. Elle passe brutalement à la valeur +3V pendant 4ms, puis à la valeuropposée -3V pendant 4ms (voir graphique). Quelle est l’intensité <strong>du</strong> champ magnétiqueB(t) entre les pôles <strong>de</strong> l’électroaimant en fonction <strong>du</strong> temps (initialement B est nul).Dessiner un graphique <strong>de</strong> B(t).3fém in<strong>du</strong>ite (V)0 48 t(ms)-3dΦLa force électromotrice E in<strong>du</strong>ite dans une bobine estE =− ou Φ = NSB(t) est ledtflux total <strong>du</strong> champ magnétique à travers la bobine, avec N le nombre <strong>de</strong> spires et S l’aire <strong>de</strong>la bobine.−4 2 −2Dans notre cas : Φ= 100.(4.10 m )B(t) = 4.10 B(t)Donc : dB(t) =−25 E (t)dtLa variation <strong>du</strong> champ magnétique en fonction <strong>du</strong> temps est donc donnée parB(t) =−25 ∫ E (t)dt• Pour t ≤ 0, E = 0 et B initial = 0 donc B(t) = 0t• Pour 0 < t < 4ms : B(t) =− 25Edt =− 25(3 V)t =−75t∫0En particulier pour t = 4 ms, B = -75 (4.10 -3 s) = -0.3 T• Pour 4 < t < 8ms :t−3tB(t) − B(4.10 s) = − 25Edt = −25( − 3 V) [ t] −3= 75t −0.3∫4.10Donc : B(t) = 75t − 0.6En particulier pour t = 8 ms, B = 75 (8.10 -3 s) — 0.6 = 0 T• Pour t > 8 ms, E = 0 et B(8 ms) = 0, donc B(t) = 0−34.10 Graphique :
B (T)0.30 48 t(ms)-0.3
Q5. Un générateur <strong>de</strong> tension continue V et trois con<strong>de</strong>nsateurs sont assemblés commesuit :VC1C2C3V = 3,0 Volt ; C 1 = 30 µF ; C 2 = 10 µF ; C 3 = 5,0 µFQuelles sont les charges Q 1 , Q 2 et Q 3 sur les trois con<strong>de</strong>nsateurs ?C 2 et C 3 en parallèle C équ = C 2 + C 3 = 10 µF + 5,0 µF = 15 µF1 1 1 CéquC 1 (15µ F)(30µF)C 1 et C équ en série = + Ctot= = = 10µFCtot CéquC1Céqu+ C1(15µ F) + (30µF)Charge totale : Q tot = C tot .V = (10 -5 F)(3,0 V) = 30 µCQ 1 = Q équ = Q tot = 30 µC−5Qéqu3.10 CVéqu = = = 2,0V−6C 15.10 FéquQ 2 = C 2 .V équ = (10 -5 F)(2,0 V) = 20 µCQ 3 = C 3 .V équ = (5.10 -6 F)(2,0 V) = 10 µC
Q6. On fait passer un courant <strong>de</strong> 100 mA dans un fil d'argent 2,00 m <strong>de</strong> long et <strong>de</strong>0,100 mm <strong>de</strong> diamètre. La résistivité <strong>de</strong> l'argent vaut 1,60 10 -8 Ωm.Quelle est la puissance dissipée dans le fil ?Quelle est la différence <strong>de</strong> potentiel aux bornes <strong>du</strong> fil ?L−82,00mRésistance <strong>du</strong> fil : R =ρ = (1,60.10 Ω m) = 4,07Ω−3 2S π(0,05.10 m)Puissance dissipée :Différence <strong>de</strong> potentiel :2 3 2 2P RI (4,07 )(100.10 −−= = Ω A) = 4,07.10 W3 1V RI (4,07 )(100.10 −−= = Ω A) = 4,07.10 V
Q7. Soit le circuit :+100 Ω-A+ -8,00 VI 3 I-2-+150 ΩDCB - ++I 4,00 V1 200 ΩQuelle est la valeur <strong>du</strong> courant circulant dans la résistance <strong>de</strong> 200 Ω ? Dans quel senscircule-t'il (<strong>de</strong> A vers B ou <strong>de</strong> B vers A) ?Deux branches : I 2 + I 3 = I 1 (1)Maille ACBA (sens <strong><strong>de</strong>s</strong> aiguilles d’une montre) : 8 - 150 I 2 + 200 I 3 = 0 (2)Maille ABDA (sens <strong><strong>de</strong>s</strong> aiguilles d’une montre) : -200 I 3 + 4 - 100 I 1 = 0 (3)(1) (3) : -200 I 3 + 4 — 100 I 2 — 100 I 3 = 0-300 I 3 + 4 - 100 I 2 = 0 (4)(2) et (4) : 200 I 3 - 150 I 2 = -8300 I 3 + 100 I 2 = 4 650 I 3 = -2I 3 = 3,08 mA <strong>de</strong> B vers A