Corrigé des exercices de l'examen du 23 janvier 2006 Travail ... - IIHE

Corrigé des exercices de l’examen du 23 janvier 2006Q1. Deux petites sphères conductrices, portant une charge de +1,00nC et +5,00nCrespectivement, sont situées à 3 mètres l’une de l’autre. Quel travail (en Joules) faut ilfournir pour emmener un proton de l’infini au point situé à mi chemin entre les deuxsphères ?⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞Calcul du potentiel à mi-chemin (1,50 m de chaque sphère) : VM = kQ1⎜⎟+ kQ2⎜ ⎟⎝r1 ⎠ ⎝r2⎠9 2 2 −9(9,0× 10 N.m /C )( + 1,00 × 10 C)VM=1, 50mM+9 2 2 −9(9,0 10 N.m /C )( 5,00 10 C)V = 36,0V× + ×1, 50mPotentiel à l’infini : 0 V ∆V = 36,0 VTravail : W = ∆V.q 0W = (36,0 V).(1,60.10 -19 C) = 57,6.10 -19 J

Q2. Considérons un condensateur plan formés de 2 plaques carrées de 8 cm de côté (L)et distantes de 2 cm (h) soumis à une différence de potentiel V = 400 V. Un champmagnétique B uniforme parallèle au champ électrique et de direction opposée, demodule B = 0,1 T est présent dans cet espace . Un faisceau d'ions traverse lecondensateur avec une vitesse initiale v 0 parallèle aux plaques du condensateur. Unécran fluorescent (S) est positionné immédiatement à la sortie du condensateur.Le but du problème est de trouver la trajectoire des ions dans le condensateur et laposition des marques qu’ils laissent sur l’écran fluorescent. Nous supposerons que lesions se déplacent initialement le long de l’axe des y (comme indiqué dans le dessin). Nousferons l’hypothèse que la vitesse initiale v 0 est grande par rapport aux vitesses acquises àcause des champs électriques et magnétiques (En pratique cette condition sera vérifiéepour v 0 de l’ordre de 10 6 m/s). Pour résoudre ce problème nous procéderons par étapes.1) Supposons que la différence de potentiel V=400V, mais que le champ magnétiqueest éteint.a. Quelle est la trajectoire des particules ?b. De combien la marque sur l’écran fluorescent est déplacée (exprimer cedéplacement en fonction de v 0 , de la charge q, et de la masse m de l’ion) ?2) Supposons que le potentiel V=0 est nul, mais que le champ magnétique vautB=0.1T.a. Quelle est la trajectoire des particules (en supposant v 0 grand)?b. De combien la marque sur l’écran fluorescent est déplacée (exprimer cedéplacement en fonction de v 0 , de la charge q, et de la masse m de l’ion) ?c. Dans quelle direction la marque est elle déplacée (comparer au cas 1) ?3) Quand V=400V et B=0.1T les deux déplacements obtenus en 1 et 2 ci-dessuss’additionnent.a. Montrer qu’on peut de déduire de la position de la marque sur l’écranfluorescent le rapport q/m (la charge q de l’ion divisé par sa masse m),sans connaissance préalable de v 0 .b. La marque laissée sur l’écran est une parabole d’équation x(z)=cz 2 . Dansle cas d’un faisceau d'ions de Néon une fois ionisé (charge q=e) composéde Ne 20 ( m 20 = 20 x 1,65 10 -27 kg) et Ne 22 (m 22 = 22 x 1,65 10 -27 kg) quevalent les constantes c?

1. a) trajectoire. qEForce du champ électrique : F = qE1x accélération selon l’axe x : a = (m : massemde l’ion).VCondensateur plan : E =hEquation de la trajectoire :qV2x(t) = t2hmy(t) = v tz(t) = 01. b) Position finale atteinte après le temps tf=Donc02LvqV ⎛ L ⎞x(tf) = ⎜ ⎟ = ∆x2hm ⎝ v0 ⎠02. a) trajectoire. Force du champ magnétique : F = qv× B = −qv0B1z accélération selon l’axe z :qBva = 0(m : masse de l’ion).mEquation de la trajectoire :x(t) = 0y(t) = v t0qv0Bz(t) =− t2m22. b) Position finale atteinte après le temps tf=Donc2qBLz(tf) = = ∆ z2mv0Lv02. c) La marque est déplacée selon l’axe z (dans le plan du mouvement initial alors quedans le cas 1, elle était déplacée perpendiculairement à ce plan)

Q3. Deux courants électriques perpendiculaires de 1A et 3A sont orientés comme sur ledessin et se croisent au point O. Quelles sont l’intensité et l’orientation du champmagnétique au point P (situé dans le plan des deux courants, à 1m et 2m des deuxcourants, comme indiqué dans la figure) ?I=3AOI=1A1mP2mLe champ magnétique produit par un courant rectiligne d’intensité I à une distance r duconducteur est donné par :IB =µ02πrLa direction du champ B est donnée par la règle de la main droite.−7 1A−7Courant de 1 A : B1= (4π 10 Tm/A) = 2.10 T perpendiculaire au plan des2 π(1m)conducteurs (entre dans la feuille).−7 3A−7Courant de 3 A : B2= (4π 10 Tm/A) = 3.10 T perpendiculaire au plan des2 π(2 m)conducteurs (sort de la feuille).Le champ magnétique total est la somme vectorielle des champs B 1 et B 2 . Comme ces champsont des directions opposées, le champ magnétique total est :−7 −7 −7B = B − B = 3.10 T − 2.10 T = 10 T2 1Perpendiculaire au plan des conducteurs (sort de la feuille).

Q4. Un électroaimant produit entre ses pôles un champ magnétique dépendant du tempsB(t). Entre ses pôles on place une bobine de 100 tours, d’aire 4cm 2 , orientéeperpendiculairement au champ magnétique. La force électromotrice induite estinitialement nulle. Elle passe brutalement à la valeur +3V pendant 4ms, puis à la valeuropposée -3V pendant 4ms (voir graphique). Quelle est l’intensité du champ magnétiqueB(t) entre les pôles de l’électroaimant en fonction du temps (initialement B est nul).Dessiner un graphique de B(t).3fém induite (V)0 48 t(ms)-3dΦLa force électromotrice E induite dans une bobine estE =− ou Φ = NSB(t) est ledtflux total du champ magnétique à travers la bobine, avec N le nombre de spires et S l’aire dela bobine.−4 2 −2Dans notre cas : Φ= 100.(4.10 m )B(t) = 4.10 B(t)Donc : dB(t) =−25 E (t)dtLa variation du champ magnétique en fonction du temps est donc donnée parB(t) =−25 ∫ E (t)dt• Pour t ≤ 0, E = 0 et B initial = 0 donc B(t) = 0t• Pour 0 < t < 4ms : B(t) =− 25Edt =− 25(3 V)t =−75t∫0En particulier pour t = 4 ms, B = -75 (4.10 -3 s) = -0.3 T• Pour 4 < t < 8ms :t−3tB(t) − B(4.10 s) = − 25Edt = −25( − 3 V) [ t] −3= 75t −0.3∫4.10Donc : B(t) = 75t − 0.6En particulier pour t = 8 ms, B = 75 (8.10 -3 s) — 0.6 = 0 T• Pour t > 8 ms, E = 0 et B(8 ms) = 0, donc B(t) = 0−34.10 Graphique :

B (T)0.30 48 t(ms)-0.3

Q5. Un générateur de tension continue V et trois condensateurs sont assemblés commesuit :VC1C2C3V = 3,0 Volt ; C 1 = 30 µF ; C 2 = 10 µF ; C 3 = 5,0 µFQuelles sont les charges Q 1 , Q 2 et Q 3 sur les trois condensateurs ?C 2 et C 3 en parallèle C équ = C 2 + C 3 = 10 µF + 5,0 µF = 15 µF1 1 1 CéquC 1 (15µ F)(30µF)C 1 et C équ en série = + Ctot= = = 10µFCtot CéquC1Céqu+ C1(15µ F) + (30µF)Charge totale : Q tot = C tot .V = (10 -5 F)(3,0 V) = 30 µCQ 1 = Q équ = Q tot = 30 µC−5Qéqu3.10 CVéqu = = = 2,0V−6C 15.10 FéquQ 2 = C 2 .V équ = (10 -5 F)(2,0 V) = 20 µCQ 3 = C 3 .V équ = (5.10 -6 F)(2,0 V) = 10 µC

Q6. On fait passer un courant de 100 mA dans un fil d'argent 2,00 m de long et de0,100 mm de diamètre. La résistivité de l'argent vaut 1,60 10 -8 Ωm.Quelle est la puissance dissipée dans le fil ?Quelle est la différence de potentiel aux bornes du fil ?L−82,00mRésistance du fil : R =ρ = (1,60.10 Ω m) = 4,07Ω−3 2S π(0,05.10 m)Puissance dissipée :Différence de potentiel :2 3 2 2P RI (4,07 )(100.10 −−= = Ω A) = 4,07.10 W3 1V RI (4,07 )(100.10 −−= = Ω A) = 4,07.10 V

Q7. Soit le circuit :+100 Ω-A+ -8,00 VI 3 I-2-+150 ΩDCB - ++I 4,00 V1 200 ΩQuelle est la valeur du courant circulant dans la résistance de 200 Ω ? Dans quel senscircule-t'il (de A vers B ou de B vers A) ?Deux branches : I 2 + I 3 = I 1 (1)Maille ACBA (sens des aiguilles d’une montre) : 8 - 150 I 2 + 200 I 3 = 0 (2)Maille ABDA (sens des aiguilles d’une montre) : -200 I 3 + 4 - 100 I 1 = 0 (3)(1) (3) : -200 I 3 + 4 — 100 I 2 — 100 I 3 = 0-300 I 3 + 4 - 100 I 2 = 0 (4)(2) et (4) : 200 I 3 - 150 I 2 = -8300 I 3 + 100 I 2 = 4 650 I 3 = -2I 3 = 3,08 mA de B vers A