feuille n°14

Fonctions numériquesA l'école élémentaire, à travers diverses activités proposées aux enfants, il est possible de rencontrerplusieurs types de fonctions numériques. En voici quelques unes. Pour chacune d'entre elles, essayez deproposer d'autres types de désignation que celle utilisée.1) Voici un tableau donnant les prix de places de cinémas en fonction de leur nombre :nombre de places 1 2 3 5 10 ...prix en euros 8 16 24 40 80 ...2) Un magasin de location de VTT propose les tarifs suivants:- pour moins de trois heures, on paie un forfait de 25F et 10F de l'heure.- De trois heures à moins de 15 heures, on paie un forfait de 25F et 8F de l’heure.- De 15 heures à moins de 24 heures, on paie un forfait de 150F.Toute heure commencée est due.3)La distance nécessaire pour freiner sur route sèche en fonction de la vitesse est donnée dans le tableausuivant:vitesse en kmlh 0 10 20 30 40 50 60 70distance de freinageen m0 1 4 9 16 25 36 494) Un rectangle a pour aire 84 cm 2 . Pour des valeurs données d'une dimension on peut trouver la valeur del'autre.5) Il y a bien longtemps, le général romain Térence demanda à être récompensé pour les nombreusesvictoires qu'il avait remportées. L'empereur lui proposa de puiser des sesterces dans son trésor personnel dela manière suivante :Tu en prendras un le premier jour, 2 le deuxième jour, 4 le troisième jour et ainsi de suite endoublant chaque jour le nombre de pièces emportées la veille.6) Comment traduire la variation des restes des divisions euclidiennes d'un nombre entier naturel par 5 ?7) Trouvez, en fonction de sa longueur, la largeur d'un rectangle de périmètre 84 cm.

Exercice 1 :Trois amis prévoient d'aller faire un pique-nique en montagne. Deux d'entre eux veulent monter en vélo; letroisième préfère partir plus tard en voiture, et il se chargera des provisions. Comme il n'aime pas attendretrop longtemps, il demande à ses amis cyclistes de préciser leur projet.Les cyclistes décident de partir à 9 heures de leur domicile. Ils prévoient une heure et quart pour les 30kilomètres de route dans la vallée. Ils envisagent de s'arrêter 25 minutes avant d'attaquer la côte de 16kilomètres qui les conduira au lieu du pique-nique. Le dénivelé de 1 020 m ne les décourage pas, ils sontsûrs de monter avec une moyenne de 12 km/h.L'automobiliste part du même endroit que ses amis et ne prévoit aucun arrêt. Il gagnera du temps dans lavallée en prenant l'autoroute sur 30 kilomètres avec une vitesse moyenne de 120 km/h. Il retrouvera lemême parcours que les cyclistes sur la route de montagne, il envisage une vitesse moyenne de 48 km/h pources 16 kilomètres. Il veut arriver un quart d'heure avant ses amis cyclistes.1) Représentez, sur un même graphique (papier millimétré) les distances parcourues par les cyclistes etl'automobiliste en fonction de l'horaire, à partir de 9 heures. Pour cela vous considérez que les vitesses sontconstantes sur chaque portion de parcours.Vous présenterez de façon organisée les différentes phases de la construction de la représentation demandéeet vous expliciterez les calculs nécessaires.Vous prendrez 6 cm pour représenter une heure et 1 cm pour représenter 2km.2) Déterminez l'heure et le lieu où l'automobiliste double ses amis :a)A l'aide du graphique. b)Par le calcul.3)Calculez en km!h, la vitesse moyenne des cyclistes sur le parcours dans lavallée.4) Calculez la vitesse moyenne de l'automobiliste sur l'ensemble du parcours.Vous donnerez aussi le nombre décimal possédant un seul chiffre après la virgule qui est le plus proche dela valeur exacte.Exercice 2 :Monsieur Martin possède un capital de 10 000 euros qu'il veut faire fructifier. Il hésite entre deux sortes deplacement:- le placement P rapporte 8% par an. Les intérêts sont versés chaque année et ne s'ajoutent pas au capital. Ils'agit d'intérêts simples. Ils sont soumis à une imposition annuelle de 15%.- le placement Q rapporte 5% par an net d'impôts. A la fin de chaque année, les intérêts sont ajoutés aucapital. Il s'agit d'intérêts composés. On appellera intérêts nets d'impôts les intérêts perçus après imposition.1) Etude du placement Pa) Pour un capital placé de 10 000 euros, calculez les intérêts nets acquis au bout d'un an après l'imposition.b) Par rapport au capital, calculez le pourcentage que représentent ces intérêts nets.c) Soit S le total des 10 000 F placés et des intérêts nets acquis réellement au bout de nannés. Exprimez S en fonction de n.Si l'on note S = f(n), n étant un nombre entier quelconque, quelle est la forme de la représentationgraphique de S?2) Etude du placement Q :Pour les deux questions a) et b) qui suivent, on suppose que le capital placé vaut C.a) Avec le placement Q, exprimez, en fonction de C, le capital obtenu au bout d'un an.b) Donnez l'expression, que l'on notera g(n), de la valeur acquise par le capital C au bout de n années.Aucune démonstration n'est demandée.3) Comparaison des deux placementsOn se propose de faire une représentation graphique permettant de comparer les deux formules pour uncapital de10 000 euros.Pour cela, utilisez le document joint en annexe 1 sur lequel figure la représentation graphique de la fonctiong(n) définie à la question 2b)a) Représentez graphiquement, sur ce document, la fonction f(n) définie à la question lc).b) Pour un placement d'une durée de huit ans, détenninez graphiquement le placement que Monsieur Martina intérêt à choisir en expliquant votre réponse.c) On appelle n 0 , le nombre entier non nul d'années de placement pour lequel les deux sortes de placementssont équivalentes.A l'aide d'une lecture graphique, déterminez n 0 .Par le calcul, déterninez l'écart entre les deux valeurs acquises par ce capital au terme de ces n 0 années.Annexe1 :

Exercice 3 :1) On considère dans un cône à base circulaire de rayon 1 cm et de hauteur 3 cm, un tronc de cône dont lamesure de la hauteur en cm est h.On note v(h) la mesure en cm3 du volume de ce tronc de cône.Montrez que: v(h) = (π x h /27) x (h² - 9h + 27)2)On considère un récipient cylindrique à base circulaire dont le fond est de forme conique et dont lesdimensions sont indiquées sur la figure ci-après. On verse un liquide dans ce récipient et on s'intéresse auvolume occupé par ce liquide selon sa hauteur dans le récipient.a) Soit x la mesure en cm de la hauteur du liquide dans le récipient; calculez la mesure en cm3 du volumeV(x) du liquide en fonction de x pour x compris entre 0 et 5 cm.Distinguez deux cas: x compris entre 0 et 3 cm, et x compris entre 3 et 5 cm.b)Parmi les six graphiques joints, lequel représente le volume V(x) en fonction des valeurs de x. Pourquoiles cinq autres ne sont-ils pas convenables ?.

Exercice 4Un client s'adresse à une agence de location de camping-car pour organiser ses vacances. Trois formules luisont proposées:- Formule l : forfait hebdomadaire de 5 500 F, kilométrage illimité- Fonnule 2: forfait hebdomadaire de 4550 F, avec 2000 km inclus et 1,60 F par km parcouru au-delàde 2 000 km.- Formule 3 : forfait joumalier de 350 F et l,50 F par km parcouru, toute semaine entamée étantpayée intégralement. .1) Traduire pour une semaine de location, chaque formule par une écriture de la forme f(x) où xdésigne le nombre de kilomètres parcourus pour la semaine de location. :y = f(x) pour la formule 1y = g(x) pour la formule 2y = h(x) pour la formule 3.Vérifier, en particulier, que pour x ≥ 2 000, on a g(x) = 1 350 + 1,6 x2) Représenter graphiquement ces trois formules de location, dans le cas décrit à la question précédente,dans un même repère;3) Déterminer la formule la plus avantageuse pour une semaine de location en fonction du nombre dekilomètres parcourus de deux manières différentes :- avec le graphique,- par le calcul.4) Un client a choisi le formule 1 pour deux semaines de vacances. Il a parcouru 4500 km. A-t-il fait lebon choix ?Exercice 5 :(extrait sujet groupe6 2006)Le jardin de monsieur Durand a la forme d’un trapèze rectangle, ABCD, tel que AB = 50 m, AD = 30 m,DC = 70 m. Les angles A $ et D $ sont droits.Soit M un point du segment [AB]. On pose AM = x.La parallèle à la droite (AD) passant par M coupe la droite (DC) en G. Le jardin est ainsi partagé en deuxparties :− le rectangle AMGD qui est le potager ;− le reste qui est la pelouse.1) Calculer l’aire du jardin.2) Exprimer en fonction de x, l’aire du rectangle AMGD (le potager). En déduire l’aire de la pelouseBCGM.3) Pour quelle valeur de x la pelouse et le potager ont-ils la même aire ? Quelle est alors la forme dupotager. Justifier les réponses.4)a. Représenter sur un même graphique, les fonctions donnant l’aire du potager AMGD et l’aire de lapelouse BCGM en fonction de x. On utilisera pour cela la feuille de papier millimétré et on prendracomme unités graphiques : 1 cm pour 10 mètres sur l’axe des abscisses, 1 cm pour 100 m 2 sur l’axedes ordonnées.La feuille de papier millimétré est à rendre avec la copie.b. Retrouver graphiquement le résultat de la question 3. Expliquer.5) Sachant que dix kilos de semences sont nécessaires pour une pelouse de 500 m 2 , quelle quantité estnécessaire pour ensemencer 900 m 2 ?

EXERCICE 1 (4 points) groupe 5 2008Un fabricant de parfum veut fabriquer deux flacons de même contenance, suivant les schémas ci-dessous.L’unité de longueur est le centimètre.1) Le flacon 1 est constitué de deux pavés droits.x désigne la mesure de la hauteur du pavé droit supérieur.21x5Flacon 145Montrer que la mesure V 1 du volume du flacon 1 s’exprime en fonction de x sous la forme :V 1 (x) = 2 x + 1002) Le flacon 2 est constitué− d’une pyramide tronquée à base rectangulaire identique au solide ABCDEFGH de la figure 1. Ladroite (SO) est la hauteur de la pyramide ; elle perce le rectangle EFGH en O’. On donne :SO = 11 cm ; SO’ = 5,5 cm ; AB = 6 cm ; BC = 4 cm ; EF = 3 cm ; FG = 2 cm,− et d’un pavé droit de dimensions 2, 3, et x comme indiqué ci-dessous.figure 1Flacon 2Montrer que la mesure V 2 du volume du flacon 2 s’exprime en fonction de x sous la forme :V 2 (x) = 6 x + 77On rappelle que le volume d’une pyramide est donné par la formule :V = 1 3(aire de la base × hauteur de la pyramide).3) Dans un repère orthogonal du plan :− sur l’axe des abscisses, un centimètre représente une longueur de 1 cm,− sur l’axe des ordonnées, un millimètre représente un volume de 1 cm 3 .a) Représenter graphiquement, dans ce repère, les fonctions V 1 et V 2 pour des valeurs de x comprisesentre 0 et 10.b) Déterminer graphiquement une valeur approchée de x au dixième près pour laquelle V 1 (x) = V 2 (x).c) Résoudre l’équation V 1 (x) = V 2 (x) par le calcul.d) Calculer le volume correspondant à la valeur x trouvée précédemment et l’exprimer en centilitre.