Une approche simple pour l'étude du flambement d'un pieu souple ...

Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2012–Bordeaux 4-6 juillet 2012UNE APPROCHE SIMPLE POUR L’ETUDE DU FLAMBEMENT D’UNPIEU SOUPLE DANS UN SOL MULTICOUCHEA SIMPLE NUMERICAL METHOD TO STUDY BUCKLING OF FLEXIBLE PILESEMBEDDED IN A MULTI-LAYERED SOILFahd CUIRA 11 TERRASOL, Paris, FranceRÉSUMÉ — Une méthode numérique a été mise au point pour l’analyse duflambement d’un pieu souple ancré dans un sol multicouche. La méthode consiste àcombiner les éléments finis de poutre pour le pieu avec un modèle p-y généralisépour la réaction latérale du sol. Cette formulation permet d’écrire l’équilibre de 2 ndordre du pieu sous la forme d’un système matriciel simple dont les valeurs etvecteurs propres ne sont autres que les efforts critiques de flambement et lesmécanismes de flambement associés. La mise en œuvre de la méthode illustre l’effetbénéfique de la prise en compte d’une réaction élastique sur l’effort de flambement,et montre qu’une ruine par flambement « pur » n’est en pratique pas le mécanismede ruine le plus dimensionnant même dans des conditions de sol médiocres. Parailleurs, la méthode permet d’évaluer facilement l’amplification des déplacements etdes moments par effets de 2 nd ordre sous l’action d’une charge axiale. Ainsi, uneanalyse complète du flambement montre qu’un pieu présentant une courbure initialenon nulle périt toujours par flexion composée avant que la charge critique deflambement ne soit atteinte.ABSTRACT — A numerical method has been implemented for the buckling analysis offlexible piles, allowing direct computation of the buckling critical load of any pile withknown rigidity and shape, embedded in a multilayered soil. The method consists ofcoupling beam finite elements for the pile with a heterogeneous distribution ofcontinuous springs for soil. This enables to write the 2 nd order static equilibrium of thepile as a simple matrix system whose eigenvalues are the critical buckling loads, andeigenvectors are the characteristic buckling mechanisms. Results illustrate how thebuckling critical load is significantly increased by introducing lateral soil reaction. It isalso shown that a pure buckling analysis has practically no impact on flexible pilesdesign even in very poor soil conditions. Moreover, the method enables easily tocompute 2 nd order amplification of displacements and bending forces. Thus, acomplete buckling analysis shows that for a pile with an initial deflection, 2 nd ordereffects lead rigorously to a bending failure long before reaching the theoretical valueof the critical buckling load.‐ 625 ‐

Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2012–Bordeaux 4-6 juillet 20121. IntroductionLa justification d’un élément de fondation profonde passe par l’étude de plusieursmécanismes de ruine potentiels : perte de portance, défaut de réaction latérale, ruinepar flexion composée…Pour le cas d’un élément de fondation de grande longueur ousouplesse travaillant en compression (micropieux, inclusions longues…), un autremécanisme qui peut sembler particulièrement dimensionnant, est celui d’une ruinepar flambement. Certes, tous les géotechniciens savent qu’en dehors de tout« défaut de forme » (Vezole, 1989), le flambement n’est en général pasdimensionnant pour un pieu ancré même dans des conditions de sol très médiocres.Mais nous restons tenus de justifier cela par le calcul en évaluant la charge critiquede flambement tenant compte de la réaction du sol. De plus, même dans les cas oùl’évaluation de cette charge critique est rendue possible soit par recours auxapproches analytiques pour des cas simples, soit par traitement numérique engrandes déformations, il demeure nécessaire de statuer sur les effets de 2 nd ordredus à un défaut de forme initial ou un chargement latéral permanent ou parasite, etqui peuvent s’avérer dans certaines configurations très pénalisantes même pour desniveaux de chargement axial bien inférieurs à la charge critique de flambement.2. Pieu sous chargement latéral2.1. Modélisation du pieuOn considère le cas d’un pieu d’inertie et de géométrie variables, ancré dans un solmulticouche, et soumis à des sollicitations latérales : efforts en tête (T 0 , M 0 ),poussées des terres latérales directes, celles provenant d’une déformée libre g(z)...Le comportement en flexion du pieu peut être abordé à l’aide du modèle de Bernoulli(poutres minces) qui néglige la contribution des déformations d’effort tranchant. Aveccette hypothèse, la combinaison des équations d’équilibre et de comportementconduit à l’équation générale suivante :4d yEI q4dxx‐ 626 ‐rxAvec : x, abscisse local dans l’axe du pieu ; EI, son produit d’inertie ; q(x), densité dechargement latéral sur le pieu (autre que la réaction du sol), et r(x), densité deréaction latérale du sol. La résolution de l’équation (1) peut être menée endiscrétisant le pieu en éléments finis de poutre (Zienkiewicz et Taylor, 1991) avec unmodèle en déplacements basé sur des éléments à 2 nœuds et 4 degrés de liberté.Dans le cadre de cette discrétisation, l’équilibre du pieu se traduit par un « simple »système matriciel équivalent :eexts(1)K . y F R(2)Où : K e représente la matrice de rigidité du pieu ; F ext , le vecteur chargement relatifaux charges latérales sur le pieu autres que la réaction du sol (y compris les chargesen tête); R s , le vecteur chargement relatif à la réaction du sol, et y le vecteur

Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2012–Bordeaux 4-6 juillet 2012déplacement équivalent constitué par le déplacement et la rotation en chaque nœuddu maillage.2.2. Modélisation de la réaction du solLe sol est assimilé à une distribution hétérogène de ressorts juxtaposés decomportement élastoplastique selon une loi de mobilisation à trois paliers comme lemontre la figure 1. La réaction latérale du sol s’exprime en fonction du déplacementrelatif du pieu (y) par rapport au sol (g). Cela permet de traiter directement le casd’une déformée libre « g(z) » se développant dans une ou plusieurs couches de sol.réactiondu solp 2(3 e palier)p 1Es 2 (2 e palier)Es 1 (1 er palier)déplacementrelatify - gFigure 1 . Loi de mobilisation de la réaction latérale du solDans le cadre de la discrétisation considérée pour le pieu, le vecteur représentatif dela réaction du sol s’exprime ainsi selon la formule (matricielle) générale suivante :Rssey gc K . (3)Où K s désigne la matrice de rigidité du sol correspondant à la part « élastique » de lacourbe de mobilisation dans chaque élément ; c e , le vecteur chargement équivalentcorrespondant à la part « constante » de la courbe de mobilisation dans chaqueélément, et g le vecteur déplacement correspondant à la déformée libre du sol.2.3. RésolutionLa combinaison des équations (2) et (3) conduit à la formulation globale du système« pieu + sol », complétée par les conditions aux limites éventuelles :s e ext s eK K y F K . g c. (4)La gestion de la plastification du sol est conduite par un processus itératif durantlequel les termes K s et c e évoluent jusqu’à obtention d’une solution compatible, entout point du pieu, avec la loi de mobilisation de la réaction latérale. La résolution dusystème final permet d’obtenir les déplacements, rotations, réactions et sollicitations.‐ 627 ‐

Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2012–Bordeaux 4-6 juillet 20123. Pieu sous effort axial : recherche des charges critiques de flambement3.1. Flambement d’un pieu élastiqueLe flambement peut être défini comme étant une forme d’instabilité élastique setraduisant par la production d’une déformée latérale non nulle sous le seul effet d’unchargement axial. Ce phénomène est susceptible de se produire pour des valeursprécises de l’effort axial, dites « charges critiques de flambement ». Celles-ci sontassociées chacune à un mode de flambement spécifique. En général, une étude deflambement consiste à s’assurer que l’effort axial repris par le pieu demeure inférieur,avec une sécurité suffisante, à la plus petite charge critique de flambement.Fq(x)y(x)Flambement :F = F (i) , q(x) = 0 et y(x) ≠ 0Charges critiquesde flambementxFigure 2 . Notion de flambementIl existe une analogie directe entre le flambement en tant que mécanisme d’instabilitéélastique et le phénomène de « résonance » en tant qu’instabilité dynamique quiapparaît pour des valeurs précises de la fréquence d’excitation (fréquences propres).L’approche proposée ici s’appuie sur cette analogie et conduit la recherche descharges critiques de flambement selon la méthode de « valeurs propres » enbénéficiant de la formulation matricielle présentée précédemment.3.2. Mise en équationOn considère le cas d’un pieu soumis à un effort axial en tête, supposé entièrement« récupéré » en pointe : on néglige ainsi la dissipation de l’effort axial par frottement,ce qui constitue une approche sécuritaire. L’équilibre de 2 nd ordre du pieu s’écrit :4d y d yEI F q42dx dx2‐ 628 ‐xrxOn cherche donc les valeurs de F permettant d’obtenir une solution non nulle y(x) decette équation en l’absence de tout chargement latéral sur le pieu, soit q(x) = 0. De(5)

Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2012–Bordeaux 4-6 juillet 2012plus, sur la base de la discrétisation du pieu présentée précédemment, on peutexprimer l’équation (5) sous la forme d’un système matriciel équivalent :s eKK . y F. M.y (6)Où M désigne une matrice de « transfert » ou « d’influence » représentative deseffets de 2 nd ordre. Les autres éléments du système sont ceux intervenant en (4).Par définition, F est un effort de flambement si et seulement si l’équation (5) et donc(6) admet une solution non nulle y. Mathématiquement, cela signifie que F est unevaleur propre du système matriciel (6). Ainsi la recherche des valeurs propres de cesystème et des vecteurs propres associés conduit respectivement aux effortscritiques de flambement ainsi qu’aux mécanismes de ruine correspondants.3.3. Mise en œuvre pratiqueLa mise en œuvre du modèle nécessite simplement de définir, dans chaque couche,le produit d’inertie du pieu, le module de réaction du sol, ainsi que les conditionsd’appui éventuelles, en n’importe quel point du pieu. Le programme constitue leséléments du système (6) et calcule l’ensemble de ses valeurs et vecteurs propres. Laplus petite valeur propre n’est autre que la charge critique de flambement àconsidérer pour le dimensionnement. La figure suivante présente le cas d’unmicropieu encastré en tête, et traversant une succession de 5 couches. Troissituations sont examinées en fonction du module pressiométrique affecté aux limonsargileux traversés deux fois par le micropieu : E M = 0 (réaction latérale négligée danscette formation), E M = 1 et E M = 2 MPa. Cette condition influe sur le mécanisme deflambement potentiel et par conséquent sur l’amplitude de la charge critique : celle-civaut respectivement F cr = 850, 3390 et 4580 kN pour les trois situations étudiées.1,50 mRemblaiE M = 10 MPaPl*= 0,9 MPaα = 0,50025,50 mLimonsargileuxE M = 0 – 2 MPaPl*= 0,25 MPaα = 0,674618 m2,50 m5,50 mSablesargileuxLimonsargileuxE M = 8 MPaPl*= 0,8 MPaα = 0,33E M = 0 – 2 MPaPl*= 0,25 MPaα = 0,6781012143,00 mMicropieuEI = 1000 kNm²Φ forage = 25 cmSablesdensesE M = 20 MPaPl*= 2,5 MPaα = 0,3316 EM = 0 MPaEM = 1 MPa18 EM = 2 MPaMécanismes de flambement critiquesen fonction du module pressiométriqueEM affecté aux limons argileuxFigure 3 . Application au cas d’un Micropieu ancré dans un multicouche‐ 629 ‐

Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2012–Bordeaux 4-6 juillet 2012Les résultats obtenus confirment l’effet très bénéfique d’une réaction latérale du sol,même très faible, par rapport à la situation où, parfois pour des « besoins » de calculliés au domaine d’application de certaines approches analytiques simplifiées, onnéglige la raideur du sol dans les horizons meubles. En pratique, l’expérience montreque le mécanisme de ruine par flambement « pur » n’est pas dimensionnant mêmedans des conditions de sol médiocres. Enfin, notons que pour des configurationssimples où les approches analytiques usuelles s’appliquent : pieu dans un solhomogène (Mandel, 1936) ou pieu partiellement immergé (Souche, 1984), laméthode développée conduit à des résultats identiques.4. Cas d’un pieu présentant une courbure initiale non nulle4.1. Mise en équationOn considère à présent le cas d’un pieu présentant initialement une déformée y 0 nonnulle. Celle-ci peut être représentative soit d’un chargement latéral initial du pieu soitpar exemple d’un défaut de forme. Ce pieu est ensuite soumis à l’application d’uneffort axial en tête F, qui conduit, par effets de 2 nd ordre, à un supplément dedéplacement latéral noté « y » comme le schématise la figure suivante.FDéformée initiale(chargement initialou défaut de forme)y 0yDéformée résultante(initiale + 2 nd ordrexFigure 4 . Pieu avec courbure initiale non nulle – effets de 2 nd ordreL’équilibre de 2 nd ordre du pieu s’écrit ainsi :4d y d²EI E y F y y004 s(7)dxdx²La discrétisation du pieu présentée précédemment permet là aussi d’exprimer cesystème sous une forme matricielle homogène sans second membre :s eKK . y . M.y y F (8)0‐ 630 ‐

Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2012–Bordeaux 4-6 juillet 2012En l’absence de déformée initiale (y 0 = 0), on retrouve le système (6) vérifié par lesefforts de flambement notés F (i) et les déformées associées notées y (i) :s e ( i)( i)( i)KK . y F . M.y (9)Les matrices formant le système (9) étant symétriques et définies positives, lesvecteurs propres de ce système forment ainsi une base orthogonale selon laquelle ilest possible de décomposer tout vecteur du même espace. En particulier, la solutiony de l’équation (8) et la déformée initiale y 0 peuvent ainsi s’exprimer comme suit :y ni1( i)( i)n y y y(10)En remplaçant dans (8) et en projetant selon les y (i) , on aboutit à l’expression de ladéformée résultante tenant compte des effets de 2 nd ordre :n( i)( i)( i)( i)( i)Fy y 0 0y (11)( i)F Fi1Connaissant le champ de déplacement « amplifié », on peut déduire les sollicitationsde « 2 nd ordre » induites dans le pieu sous l’effet de la charge axiale.L’expression ci-dessus fait apparaître, selon chaque composante « i », un facteurd’amplification Φ (i) par rapport à la déformée initiale supérieur à 1. On remarque enparticulier que, lorsque l’effort axial s’approche de l’un des efforts de flambement« i », le facteur d’amplification Φ (i) associé tend vers l’infini. Cela signifie que le pieupérit toujours en flexion composée avant que la charge critique de flambement nesoit atteinte (Coin et Albigés, 1978). Notons par ailleurs que la démarche présentéeest analogue à celle d’une analyse modale, qui consiste à évaluer la réponsedynamique (forcée) d’un système élastique par projection selon les modes propres.4.2. Mise en œuvreOn illustre la mise en œuvre de cette approche à travers l’exemple schématique d’unmini-pieu de 18 m de longueur, traversant une couche superficielle molle (figure 5).La courbure « initiale » du pieu correspond à un chargement latéral en têtepermanent T 0 . Le pieu est soumis en tête à l’application d’une charge axialeinférieure à la charge critique de flambement. A l’aide du modèle ainsi présenté, il estpossible d’évaluer les déplacements et moments de 2 nd ordre correspondant à cettecharge axiale. Les résultats obtenus montrent que les moments fléchissants sontamplifiés de 1,25 à 6 fois leur valeur initiale pour une charge axiale F allant de 20 et80% de la charge critique de flambement Fcr . En particulier, pour F = 0,6 Fcr, lefacteur d’amplification est d’environ 2,80. Ces niveaux d’amplification s’expliquent enréalité par une courbure initiale « imitant » le mécanisme de flambement potentiel dupieu, ce qui favorise le développement des effets de 2 nd ordre. Cet exemple estreprésentatif des situations pour lesquelles les effets de 2 nd ordre sont susceptibles0i1( i)0( i)‐ 631 ‐

Journées Nationales de Géotechnique et de Géologie de l’Ingénieur JNGG2012–Bordeaux 4-6 juillet 2012de conduire à une ruine par flexion composée pour des niveaux de chargement axialbien inférieurs à la charge critique.FMoment normalisé M/M max,F=0-1 0 1 2 3 4 5 6T 0 010 mArgilemolleE M = 2,5 MPaPl*= 0,4 MPaα = 0,672418 m5 m3 mMini-pieuEI = 10 MNm²Φ forage < 60 cmLimonssableuxMarnesE M = 5 MPaPl*= 0,6 MPaα = 0,5E M = 20 MPaPl*= 4 MPaα = 0,56810121416F = 0,8 FcrF = 0,6 FcrF = 0,4 FcrF = 0,2 FcrF = 0Figure 5 . Cas d’une courbure initiale non nulle due à un chargement latéralNotons enfin que de tels résultats sont identiques à ceux qu’on obtiendrait partraitement numérique en grandes déformations de type « pas à pas », dont la miseen œuvre nécessite par ailleurs un temps de calcul beaucoup plus important.5. ConclusionLa méthode présentée a fait l’objet d’un outil de calcul appelé « Piecoef+ », qui s’estrévélé efficace dans de nombreuses études de fondation sur inclusions souples oumicropieux, verticaux ou inclinés, où la problématique du flambement devait êtreabordée. Cette méthode a l’intérêt de s’affranchir de la limitation des approchesanalytiques usuelles en fournissant une estimation directe de la charge critique deflambement pour des configurations complexes. Elle permet également d’évaluer leseffets de 2 nd ordre dans le cas d’un défaut de forme ou d’un chargement latéralconcomitant à une charge axiale inférieure à la charge critique de flambement.Références bibliographiquesCoin A., Albiges M. (1978). RDM appliquée, Flambement et Instabilité élastique, Eyrolles,pp.575.Mandel M. (1936). Flambage au sein d’un milieu élastique. Annales des Ponts et Chaussées, n°20.Souche P. (1984). Flambement de pieux partiellement immergés, Annales de l’ITBTP, N° 238.Vezole P. (1989). Stabilité de forme des micropieux, Annales de l’ITBTP, N° 478.Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. (1991). The Finite Element Method. McGraw‐Hill book Company, pp.807.‐ 632 ‐