ε - Toubkal

CHAPITRE IIRESULTATS DE LA FATIGUEDES ALLIAGES A MEMOIRE DE FORME INTRODUCTION 31COMPORTEMENT EN FATIGUE DES AMFs1- Courbes de consolidation 31a- Fatigue des alliages CuZnAl 32b- Fatigue des alliages CuAlBe 35c- Fatigue des alliages NiTi 38d - Evolution de la déformation plastique: résultats expérimentaux 392- Cyclage thermique 403- Microstructures de la fatigue dans les alliages à mémoire de forme. 424- les paramètres physiques influençants sur la fatigue des AMFs 43 EVOLUTION DE LA STRUCURE 44 GENERALITES 45 APPROCHE NON LINEAIRE (Bo LAGOUDAS) 48 MODELISATION DE CHARGEMENT CYCLIQUE 74 EVOLUTION DE LA DEFORMATION PLASTIQUE 74APPROCHE MICRO DE COMPORTEMENT D'UN AMF DANS LE DOMAINESUPER ELASTIQUE 75 CONCLUSION 794

CHAPITRE IIIMODELISATION DE LA LOI DU COMPORTEMENTEN FATIGUEDES ALLIAGES A MEMOIRE DE FORME MONOCRISTALLINSE T COUPLAGE INTRODUCTION 82 GENERALITES 82FORMALISMEPrincipes généraux. 84Les éléments de base: cinématique de la transformation 85Formalisme général: potentiel thermodynamique-métallurgique 88e h h Cas d'un solide élastique : ( T,, , , f )89ep h Cas d'un solide présentant une plasticité : ( , f ) 92p1- La théorie de la plasticité . 932- Position du problème 933- Choix des variables internes (fonction de charge) 954- Champ des contraintes internes d'incompatibilité entre les zones plastiques 98et les variantes COUPLAGE 99 CONCLUSION 1015

CHAPITRE IVAPPLICATIONS DU MODELERESULTATS MECANIQUES ET THERMIQUES INTRODUCTION 104 APPLICATIONS DU MODELE 104 RESULTATS MECANIQUES 106 CONCLUSION 113 RESULTATS THERMIQUES 114 CONCLUSION 119CHAPITRE VDISCUSSION INTRODUCTION 121 ANALYSE MICROSTRUCTURALE 121 ANALYSE DU MODELE 122 ANALYSE DES RESULTATS MECANIQUES 124 ANALYSE DES RESULTATS THERMIQUES 126 ANALYSE DE COUPLAGE 126 L'EFFET DE LA PLASTICITE SUR LES AUTRES VARIANTES 129 ANALYSE DE CHARGE ET DECHARGE " EFFET HYSTERETIQUE" 129 CONCLUSION 130CONCLUSION GENERALE 131REFERENCES 134ANNEXE I 139ANNEXE II 143ANNEXE III 146RESUME 1496

NOMENCLATURESAs: température de début d'austéniteA : température de fin d'austénitefB : coefficient de proportionnalitéb : vecteur de BurgersCijkl:Composante du module d'élasticité G ch: énergie libre chimiqueEij: Composantes de déformation macroscopique totaleeEij: Composantes déformation macroscopique élastiquetrEij: Composantes de déformation macroscopique de transformationpEij: Composantes de déformation macroscopique plastiquee : Composantes de déformation élastique localetrp: Composantes de la déformation de transformation dans la variante: Composantes de la déformation plastique dans les paroisp : Composantes de la déformation plastique moyenne dans l'inclusion (domaineij: Composantes de la contrainte macroscopique appliquée :Rhfh: contrainte résolue critique de formation de martensite: fraction volumique de martensitefp: fraction volumique de la zone affectée : l'angle entre le plan de glissement de la variante et la normale au paroisg : amplitude de la déformation de transformation : amplitude de déformation plastique imposéeph : la variante activeIklpq: tenseur Identité d'ordre quatrel : distance entre dislocations de la même paroiM : tenseur de complianceijklM : température de début de martensiteMsf: température de fin de martensitehmi: Composantes de la direction de déplacement de la variante hpmi: Composantes de la direction à la paroi des dislocations : module de cisaillement : coefficient du Poissonn : normale au plan d'habitat pour la variante hhipni: Composantes de la normale à la paroi des dislocations*nj: Composantes de la normale à la limite de la surface Np: Composantes du vecteur normal à la paroi des dislocations.7p )

Mp: Composantes du direction du plan de glissement des dislocations. : domaine de la transformation martensitiquep: domaine de l'évolution microstructurale : potentiel thermodynamique- métallurgiquehe: potentiel décrit l'état austénite - martensite sans dissipation.p: potentiel découle des concepts métallurgiques dissipation.Pe: la variable forces thermodynamiques associées aux variables interneshRij: tenseur d'orientation de la variante h activepRij: tenseur d'orientation de la paroi forméeSklpq: tenseur d'Eshelbyij: champ de contraintes internes dû à l'incompatibilité d'interaction entre les variantes*ij: champ de contraintes internes dû à l'incompatibilité d'interaction entre les variantes et les dislocationsT : température d'essaiT : température d'équilibre thermodynamique0 : contrainte à saturation à amplitude de0déformation plastique nulle : contrainte à saturation à amplitudesdéformation plastique non nulleV : volume initial de l'austéniteV : volume de l'austénite libreahVM: volume de martensiteV : volume transformé en plastiquepWelm: énergie de déformation élastiqueWine: énergie de déformation inélastiqueX : distance entre la variante et la parois formée( O , X,Y): repère du glissementfh8

INTRODUCTION GENERALELes alliages à mémoire de forme sont des matériaux adaptatifs, appelés aussi desmatériaux intelligents. Ces alliages sont capables de réagir à un événement donné à travers uncouplage entre des propriétés physiques différentes.Ces matériaux présentent des propriétés thermomécaniques très spécifiques, l'effet demémoire de forme, l'effet super élastique, ils peuvent subir aussi des déformations réversiblessupérieures aux autres matériaux. Ces propriétés fonctionnelles sont liées à unetransformation de phase dite " transformation martensitique" produite d'une phase mère àl'état austénitique. Elle peut se produire sous l'action mécanique ou thermique, c'est unetransformation homogène. Cependant dans ces matériaux, les sollicitations cycliques "lesessais de fatigue" peuvent modifier les propriétés mécaniques, thermiques etmicrostructurales de ces alliages. Toutes ces caractéristiques résultent de la présence et ducomportement des défauts observés après fatigue.Dans ce travail on cherche à développer un modèle qui permet de suivre l'évolution dela déformation plastique dans les alliages à mémoire de forme, et de réaliser le couplage entrela transformation martensitique et la structure formée après fatigue .Notre mémoire présente cinq Chapitres:Le chapitre I, présente trois parties : La première rappelle les caractéristiques générales sur la transformation martensitique(transformation martensitique, aspects microstructuraux, les différents effets et lesdifférentes classes des mécanismes influençants sur les AMFs). La seconde partie, présente quelques modèles qui ont été développés pour les alliages àmémoire de forme dans le domaine de la plasticité de transformation. La troisième partie, présente quelques applications de ces matériaux et leurs avantagesd'emploi.Le chapitre II est consacré à l'étude bibliographique.9

Dans la première partie de ce chapitre on représentera quelques principaux résultats de lafatigue sur les alliages à mémoire de forme (mécaniques, thermiques, microscopiques). La seconde partie sera consacrée à l'étude de quelques modèles qui ont été établis pourdécrire l'hétérogénéité dans les alliages à mémoire de forme. Après avoir procédé à une synthèse des aspects expérimentaux et théoriques dans cesmatériaux, nous situerons notre contribution par rapport aux travaux publiés, et nousfixerons les objectifs de ce travail.Le chapitre III sera consacré à la modélisation d'une loi de comportement en fatiguequi permet de suivre l'évolution de la déformation plastique permanente.Il se divise en deux parties: une première partie sera utilisée pour donner les éléments de base de ce formalisme. une seconde partie définira une fonction potentiel thermodynamique - métallurgiquereliant les différentes variables d'états. L'aspect hétérogène tiendra compte des paramètresmicroscopiques.Le chapitre IV comporte deux parties: Une partie sera consacrée aux résultats obtenus par le modèle sur un alliage à mémoire deforme CuZnAl à l'état monocristallin. Nous étudierons l'effet: de l'évolution de ladéformation plastique sur la contrainte seuil de la martensite, sur la température d'essai,sur les températures de transformations et sur les cycles d'hystérésis (charge - décharge).L'influence de réseau des dislocations formé sur ces paramètres sera caractérisée parl'évolution des paramètres mécaniques et aussi sur des paramètres microscopiques. La seconde partie montrera la technique utilisée pour réaliser le couplage entre latransformation martensitique et l'évolution de structure. Puis nous établirons lesmécanismes nécessaires envisagés lors des transformations.Le chapitre V, sera consacré à la discussion du modèle et des résultats obtenus, en sebasant sur l'analyse des observations microscopiques et en utilisant la théorie de la plasticité.10

CHAPITRE IETUDE GENERALE DES TRANSFORMATIONS MARTENSITIQUES INTRODUCTION 12 DESCRIPTION GENERALE SUR LA TRANSFORMATIONMARTENSITIQUE1- Alliages ordinaires 132- Alliages à mémoire de forme (AMFs) 14LES DIFFERENTS EFFETS INFLUENCANTS SUR LES AMFs1- pseudoélasticité 172- effet mémoire de forme 183- effet de mémoire double sens 194- effet super thermique 205- effet de structure 20LES DIFFERENTES CLASSES DES MECANISMES INFLUENCANTSSUR LE COMPORTEMENT DES AMFs.1- mécanismes de vieillissement 222- mécanisme de fatigue 223- mécanisme d’amortissement / frottements internes 234- effet d'anisotropie 24 APPLICATIONS DANS LES AMFs 25 MODELE THERMODYNAMIQUE 26 CONCLUSION ET POSITION DU PROBLEME 2811

ETUDE GENERALE DES TRANSFORMATIONSMARTENSITIQUESINTRODUCTIONLes transformations dites martensitiques ont été observées pour la première foisdans les alliages Fer- Carbone soumis à un refroidissement rapide.Les transformations martensitiques des alliages à mémoire de forme (AMFs) sedistinguent des autres transformations par germination et croissance à la fois sur leplan cinétique et sur celui de la structure.- Sur le plan cinétique; elles sont indépendantes de la diffusion et les cristallites de lanouvelle phase croissent d’une manière quasi- instantanée, au moins à l’intérieur decertains éléments de volume, et suivant certaines directions privilégiées de la phaseinitiale .- Sur le plan de la structure; elles impliquent l’existence d’une relation d’orientationentre la phase initiale et la phase finale, une relation imposée qui s’apparente à celleque l’on observe dans les macles.Même si ces propriétés sur les AMFs sont les plus fréquentes, la transformationmartensitique reste responsable d’autres propriétés : la pseudo-élasticité, l'effetamortissant, l'effet caoutchautique.L’ensemble de ces effets et les applications auxquelles ont donné lieu, serontprésentés dans ce chapitre.Ce chapitre permet de répertorier les plus importants phénomènes physiques ayantun rôle pendant cette transformation dans les alliages à mémoire de forme.On représente la description générale de la transformation martensitique dans lesalliages ordinaires et les alliages à mémoire de forme.Ensuite, on décrit les définitions de base sur les différents effets ayant une influence surle comportement thermodynamique des AMFs.Une partie dans ce chapitre sera consacrée à donner quelques applications des AMFs.Enfin, on présente les modèles qui ont été développés pour ce type d'alliage.Ces modèles de référence vont nous permettre de construire un schéma numériqueadapté à notre approche.12

DESCRIPTION GENERALE SUR LA TRANSFORMATIONMARTENSITIQUE .Dans cette section, nous nous sommes inspirés des ouvrages généraux de lamétallurgie physique et des cours d’été [1-4].1- Alliages ordinaires :La transformation martensitique se fait par cisaillement sans qu’aucunprocessus de diffusion au sens habituel du terme n’apparaît. Le basculement de larégion transformée se traduit par un effet de relief à la surface du métal préalablementpolie comme l’indique le schéma de la figure 1.AAAFigure 1: Transformation martensitique. Mise en évidence du cisaillement le long duplan d'habitat (plan d'interface entre l'austénite et la martensite)La transformation s’effectue alors par un cisaillement des plans denses del’austénite de structure CFC. Elle est accompagnée d’une accommodation plastiquelocale autour des cristaux formés.Les plans (h k l) séparent le réseau parent non transformé du réseau transformé. Cedernier est appelé plan d’habitat.Le cisaillement s’effectue selon une direction [u v w], l’amplitude de cisaillement est g.Cette mise en ordre donne naissance à une structure transformée différente de la phasemère et implique des relations d’orientation particulière entre les deux phases.Ces relations peuvent être déterminées par des techniques de rayon X. Elles dépendentdu métal ou de l’alliage considéré, de la composition de l’alliage et/ou de la températureà laquelle s’est effectuée la transformation.13

Les transformations martensitiques présentent des caractéristiques qui ne ressemblentpas à celles observées lors de l’application des macles de déformation. Les macles dedéformation sont obtenues par un mécanisme de cisaillement qui implique l’existencedes relations spécifiques d’orientation entre la partie maclée et le reste du cristal.Dans le maclage, le cisaillement et les relations d’orientation sont tels que la régionmaclée présente une structure cristalline identique à celle du cristal qui lui a donnénaissance. Alors que dans la transformation martensitique, la structure cristalline desplaquettes formées est différente du reste du cristal ( phase mère).Dans les alliages ordinaires; la formation de la martensite est obtenue quand lerefroidissement de la phase austénitique est suffisamment rapide pour supprimer latransformation du Perlite. En effet, la transformation martensitique apparaît à partird’une température de début de martensite « M s », elle continue jusqu’à une température« M f » dite température de fin de transformation appelée aussi fin de durcissement. Elletraduit la fin de la dernière goutte de l’austénite transformée.Les températures M s et M f dépendent de la composition de l’alliage. Elles s’abaissentquand la teneur en carbone croit (Fe-C).Les éléments d’addition ont également une influence sur ces températures de façon trèssensible. Par exemple, l’adjonction de 3% atomique de fer abaisse la température dedébut de transformation Ms de –80°C [5-7].La plupart des transformations martensitiques observées au refroidissement seproduisent en sens inverse (chauffage) avec généralement une hystérésis [7, 8].2 - Alliages à mémoire de forme (AMFs):Il existe de nombreux alliages possédant la propriété de mémoire de forme. Lesalliages NiTi, les alliages à base de cuivre (CuZn ; CuAl ; CuSn ; CuZnAl ; CuAlNi ;CuAlMn ; CuAlBe ..) et de Fe (TiNiFe). Tous ces alliages ont des structures et descomportements proches. Les alliages NiTi sont les plus utilisés car ils présentent despropriétés plus intéressantes:- La déformation de transformation est la plus importante de 5 à 8%.- La contrainte à rupture est d'environ de 1GPa.- Bonne résistance à la fatigue (plus de 100000 cycles à 4%. de déformation) et bonnetenue en vieillissement.14

- La résistivité électrique du NiTi est plus élevée que celle des alliages à base decuivre permettant ainsi un chauffage par effet Joule plus important.- Bonne tenue à la corrosion grâce à une couche mince d'oxyde agissant comme unecouche de passivation.Les alliages CuZnAl possèdent des caractéristiques différentes de NiTi. Dans le tableauci dessus on donne quelques caractéristiques les plus utilisées des deux alliages cités:Alliages TiNi CuZnAlMasse Volumique Kg/m 3 6500 7800T° de fusion (°C) 1250-1300 950- 1050T° de transformation (°C) -100/100 -200/120Hystérésis (° C) 20-30 10-20Module de Young (GPa) A:>70-80 ; M:

La transformation martensitique se produit au cours d’un refroidissement, lechangement de phase austénite – martensite est caractérisé par une température M s (lapremière goutte de martensite est formée dans le réseau austénitique) et une températureM f (la transformation martensitique est complète) figure 2 .M fM sA sA FM M A+MChauffageMartensite A+M A A AusténiteRefroidissement0M f0M s0A s0AfTFigure 2: chargement thermo mécanique séquentiel.L'exposant '' et 'o' au dessus des températures de transition de phase indique le niveaude contrainte respectivement quelconque ou nul.Au réchauffement, la transformation inverse martensite- austenite est caractérisée parune température de début de l’austénite «As» à laquelle disparaît la première martensite,et une température de fin de l’austénite « A f », où l’échantillon est complètementausténitique.Au cours du chargement, un élément de volume initial subit une déformation detransformation caractérisée par:- une faible variation de volume.- un cisaillement important selon un plan et une direction bien définis.Cette déformation est accompagnée d’une transformation de réseau cristallin(déformation de Bain) et d’une transformation à réseau invariant (glissement ou macle).Les domaines constitués de martensite ont généralement la forme des plaquettes dont leplan principal est le plan d’habitat.Le plan d'habitat est le plan de cisaillement de martensite, il est généralement biendéfini pour une classe d’alliages donnée figure 3.16

La plan d'habitat désigne l'interface séparant la phase austénitique de la phasemartensitique, c'est à dire le plan le long duquel s'effectue le cisaillement pendant latransformation. L'apparition de plaquettes de martensite au sein d'un alliage peut êtred'origine thermique ou mécanique .Lors d'un chargement simple, les AMFs ont comme caractéristique commune deprésenter un caractère de transformation thermo-élastique. Ce type de transformationreste élastique. Le mécanisme de la déformation associé à cette transformation estréversible [9-16].n m X 1Pland'habitatn : normale au plan d'habitatm : direction de déplacementg : amplitude de directionX2Figure 3: Formation du plan d'habitat après transformation martensitique.LES DIFFERENTS EFFETS INFLUENCANT SUR LES AMFsLes alliages à mémoire de forme présentent des caractéristiques très différentes desmatériaux ordinaires.L'effet mémoire de forme, est le comportement le plus connu et le plus spectaculaire.Cependant, d'autres comportements existent et sont décrits dans cette section.1- La Super-élasticitéLes alliages à mémoire de forme peuvent se déformer de façon réversible, d'où leterme de super-élasticité. Ce comportement est observé lorsque la droite (T ) dechargement traverse le domaine biphasé (A+M).On peut avoir la pseudo-élasticité dans les conditions suivantes:- La température T est supérieure à Af, elle reste constante durant l'essai.L'application d'une contrainte croissante17déforme élastiquement l'austénite.

- Lorsque la contrainte seuil de la transformation est atteinte, à la déformationélastique de l'austénite s'ajoute la déformation de transformation de phasemartensitique.- Lorsque la transformation de phase est complète. La déformation élastique observéeest celle du domaine martensitique.- Lors de la décharge, la martensite se déforme élastiquement.- Lorsque la contrainte seuil de transformation inverse est atteinte, la transformationausténitique s'effectue progressivement.- La transformation inverse est complète, il y a retour de la forme initiale. figure 4.ffA xsM+A s AfFigure 4:eMa TEffet super- élastique courbe charge - décharge pendant la transformation et lorsde la transformation inverse : contrainte critique pour la formation de martensite,f2- Effet mémoire de forme :contrainte seuil de la formation d'austénitesL'effet de mémoire simple sens est un des comportements les plus connus. Ceteffet est le plus important dans les AMFs. Il s'obtient en appliquant le cyclethermomécanique suivant ( figure 5).T>AfRefroidissement =0T > MfT=cte 0Chauffage =0Figure 5: Mise en évidence de l'effet mémoire simple sens à partir d'un alliageinitialement en phase austénitique.18

- Le refroidissement du matériau sous contrainte nulle est effectué jusqu'à unetempérature T inférieure à Mf. Il se forme alors de la martensite autoaccommodante.L'application d'une contrainte, provoque la réorientation de lamartensite auto- accommodante. Ce mécanisme s'accompagne; d'un changement deforme macroscopique, d'une déformation résiduelle importante lors de la décharge.- La température T est supérieure à Af.- Après suppression de la contrainte, une déformation permanente est observée.- Le chauffage du matériau jusqu'à une température T > Afprovoque l'apparitionprogressive de la phase mère. Le matériau reprend alors sa forme initiale.3- Effet de mémoire double sensL'obtention de l'effet mémoire de forme double sens nécessite une éducation del'échantillon. Les techniques d'éducation telle que le cyclage thermomécaniqueprovoquent des défauts linéaires (dislocations ) dans le cristal et permettent à l'alliaged'acquérir une mémoire. A cet état interne, hors équilibre thermodynamique est associéun champ des contraintes internes spécifiques du traitement particulier d'éducationappliqué au matériau. Ce champ de contraintes internes a pour effet d'orienter lesvariantes qui se forment lors du refroidissement. On obtient ainsi une déformation detransformation par simple refroidissement et sans contrainte appliquée (figure 6). Ceteffet mémoire double sens correspond à l'effet superthermique dans lequel lescontraintes externes appliquées ont été remplacées par les contraintes internes créées parl'éducation . Cependant, il existe dans les AMFs un effet de perte de mémoire au coursdu temps en cas de non utilisation, ou par fatigue lors des sollicitations répétées.Contrairement aux propriétés précédemment citées, l'effet de mémoire double sens n'estpas une propriété intrinsèque aux matériaux à mémoire de forme.T>AfEducation dumatériauT > MfchauffagerefroidissementT>AfFigure 6: Illustration de l'effet mémoire double sens.19

4- Effet super-thermiqueC’est un effet analogue au précédent où la déformation super thermoélastiquecorrespond à la formation d’une variante de martensite orientée par les contraintesappliquées. La progression de cet effet est due; soit à une variation des contraintesappliquées, soit à une variation de température. Cet effet est appelé aussi effet doublesens assisté (assisté par les contraintes appliquées).L’effet double sens non assisté est observé lorsque le matériau est éduqué, c'est à direayant subi certains traitements thermo- mécaniques. Ces traitements mécaniques créentdans le matériau une microstructure orientée associée aux variantes qui ont été activées .Cette microstructure est due au fait que la transformation martensitique n’est pas pureau sens qu'il lui est toujours associée à cause de la création des défauts (dislocations).A cette microstructure est associée un champ de contraintes internes spécifiques dutraitement particulier d’éducation appliqué au matériau. Ce champ de contrainte a lemême effet que celui de l'effet à mémoire simple sens, il permet d’orienter les variantesqui se forment lors d’un refroidissement sans contraintes appliquées.Il existe plusieurs techniques permettant de traiter le matériau par cette façon. Cestechniques mettent en jeu des cycles où interviennent la température, les contraintesexternes, les contraintes internes et la déformation plastique dans la phase mère [17-19].5- Effet de structureSelon le chargement thermomécanique plusieurs comportements peuvent exister : Le comportement super-élastiqueLes variantes formées accommodent le niveau de contraintes internes. Cet effet estpossible lors de la transformation martensitique thermoélastique et quand le niveau decontrainte est insuffisant pour initier le glissement plastique dans les deux phases.Effet cauotchoutique : on a vu que les différents aspects du comportement desAMFs ont été reliés à la formation de la martensite par le mouvement des interfacesaustenite- martensite et inversement, ou entre les variantes de martensite formées aucours de la déformation de l’alliage. Ces interfaces existent également à l’intérieurde la martensite lorsque celle ci est maclée. Leur déplacement peut être réversible ouirréversible.20

Dans le cas où le mouvement des interfaces est irréversible, une déformationpermanente qui s’apparente à une déformation plastique se localise. Dans le cascontraire, lorsque le mouvement est réversible, la déformation macroscopique résulted’une déformation réversible nettement supérieure aux déformations élastiqueshabituelles. Ce mécanisme repose sur le caractère partiellement réversible dumouvement des interfaces. Cet effet est connu par l’effet caoutchoutique [20].Contrainte de restauration: la contrainte de restauration apparaît lorsqu'on élève latempérature d'un AMF initialement en phase martensitique orientée en maintenantconstante sa déformation ( figure 7). Une forte élévation de la température del'alliage AMF est nécessaire car les températures de transformation augmentent avecl'accroissement de la contrainte. Cependant, ce phénomène peut entraîner ladétérioration (effet du système) du matériau.La contrainte de restauration peut ainsi trouver des applications pour des systèmes degénération d'efforts importants à déformation constante.Figure 7: Illustration de la contrainte de restauration.LES MECANISMES INFLUENCANTS SUR LE COMPORTEMENT DESAMFs.Les différents traitements qui agissent sur les AMFs entraînent des changements dephase au cours des transformations. Ces transformations successives provoquent desmodifications dans les propriétés mécaniques, thermiques et microscopiques. Cesmodifications sont sensibles au comportement.21

1- les mécanismes de vieillissementC’est un phénomène qui apparaît lorsque le temps de maintien de l’alliage à unniveau de température donné correspond à un temps plus ou moins grand par rapport autemps du traitement. Cela peut produire une altération des propriétés caractéristiques dumatériau (températures caractéristique, résis tivité, limite de rupture,…). Levieillissement des AMFs, appelé aussi amnésie, s’exprime par une dérive des points detransformation, une augmentation de l’hystérésis et une stabilisation croissante de laphase martensitique. Il provoque ainsi, une diminution de l’effet de mémoire observé.Les vieillissements des AMFs ont également une grande sensibilité sur la formation dela phase martensitique [21]. En effet, la martensite est une phase hors - équilibre,obtenue lors de la transformation sans diffusion à partir d’une phase haute température.Aux températures d'essais, la distribution des atomes dans la phase martensitiquedépend à la fois de contraintes liées à la trempe et celles liées à la transformation.Deux types de vieillissement à distinguer :- Un vieillissement initial en phase martensitique,- Un vieillissement à plus long terme en phase austénitique.Le premier vieillissement correspond à un réarrangement par diffusion des atomes, ceréarrangement rapproche les atomes de leur position d’équilibre. Ce phénomène a poureffet de stabiliser la phase martensitique par diminution de son énergie libre enaugmentant les températures M s et M f [21, 22].Le second mode de vieillissement apparaît pour des températures plus élevées lors d’unmaintien en phase austénitique. Il a pour origine la décomposition de la phaseausténitique hors équilibre.Lors d’un vieillissement, la martensite tend à se désordonner. Tout vieillissementaboutira à une perte d’ordre, l’existence de l’ordre - désordre se traduit par unemodification de la plupart des propriétés physiques dans ces alliages.2- Mécanisme de fatigueLe comportement cyclique des matériaux métalliques et en particulier leuraptitude à résister à des sollicitations élevées constitue un domaine d’étude important.22

En raison des implications technologiques qu’il représente, de nombreux travaux ont étéconsacrés ces dernières années à l’étude du comportement cyclique des métaux etalliages. Ces travaux ont été réalisés dans le domaine de la métallurgie physique quicherche à analyser le comportement cyclique à partir de la définition des défautscristallins et leurs interactions.Du point de vue mécanicien, un matériau est défini par une loi du comportementthermomécanique que l’on peut introduire par des codes de calcul. Pour unmétallurgiste, cette loi du comportement est la manifestation macroscopique d’un grandnombre de phénomènes microscopiques.Toute optimisation des lois du comportement exige la connaissance de ces phénomènesmicroscopiques, c’est là où notre approche s’inscrit.Dans cette étude, on reviendra à ce mécanisme en détail en s'inspirant des résultatsexpérimentaux et théoriques de plusieurs travaux.3- Mécanisme d’amortissement / frottements internesL'amortissement mécanique ou frottement interne est le résultat d’unetransformation irréversible d’énergie mécanique en énergie thermique dissipée [23].Lors des sollicitations mécaniques, on observe une diminution d’amplitude d’oscillationen fonction du temps. Cette diminution est accompagnée d'une variation du moduled’élasticité longitudinal ou module de cisaillement selon la sollicitation.Si W est la perte d’énergie par cycle et W l’énergie mécanique du système, on définitl’amortissement F par : F=1/2P W/WF désigné par le facteur de qualité égal à l’inverse de Q .La figure 8 présente la variation du frottement interne en fonction de la déformationpour différents états du matériau.a- à l’état initial (austénitique), le mouvement dû au mouvement réversible dedislocations et les défauts ponctuels est facile (Q -1 =10 -4 ). A partir de cette valeur, ilest facile de comprendre que le déplacement de dislocations est assez facile. Laphase mère subi une déformation plastique minimale, à savoir une distanceinteratomique sur tout le plan de glissement. Physiquement, on peut attribuer cemécanisme à des franchissements d’obstacles tel que le traînage des crans dans lematériau.23

- à l’état martensitique, le frottement intérieur est associé au mouvement réversibledes interfaces entre variantes de martensite. La valeur est de l’ordre de Q -1 = 5.10 -3 .Le déplacement de dislocations est quasi - libre, l’obstacle le plus dur est l’interface.Toutes les dislocations sont piégées au niveau de cette interface.c- Au cours de la phase de transformation, le frottement interne est plus importantQ -1 =10 -2 . L’énergie est associée au mouvement des interfaces entre austenite etmartensite. Les dislocations sont émises à partir des parois des interfaces riches endislocations vers l’intérieur des zones pauvres en dislocations. Durant cette phase, lemécanisme est athermique et il est attribué aux contraintes internes.Ces contraintes sont associées à la compatibilité entre les deux zones (zones richesen dislocations et zones pauvres en dislocations).En étudiant le phénomène de structure, on va voir combien ces considérations sontimportantes pour interpréter les données expérimentales abondantes dont dispose lemétallurgiste.Q1austénite + martensite210 martensiteausténite410 Figure 8: Variation du frottement interne en fonction de la déformation pour différents états dumatériau.4- Effet d’anisotropieUne application importante aux études mécaniques est l’analyse de l’influencede l’anisotropie [ 24, 25]. Dans les alliages à mémoire de forme, la forte anisotropie desconstantes élastiques et de la déformation de transformation produit des incompatibilitésde déformations très importantes qui se localisent dans les joints des grains de cesalliages. Ces incompatibilités accélèrent ainsi la rupture du matériau.24

Dans les alliages de Nickel-Titane, l’anisotropie est beaucoup plus faible [26, 27].Toutes les considérations qui ont été développées jusqu’à maintenant sur l’initiation dela nouvelle phase sont placées dans des conditions stables propres à favoriserl’apparition des variantes les plus activées.Selon cette hypothèse, la formation des variantes n'obéît pas à une loi aléatoire, maiselle se caractérise par ce qu'on appelle une transformation homogène. Bien que ce termesoit ambiguë dans la mesure où il s’applique à un système qui, s’il était effectivementhomogène avant la transformation ne l’est évidemment plus dés que celle-ci a étéamorcée.De ceci, on peut dire que la situation précédente ne se présente pas dans un solide réel,la transformation tend à s’opérer de préférence en premier lieu là où se trouvent desimperfections: on est alors dans un état hétérogène.Les diverses imperfections qui sont capables de jouer ce rôle d’initiation destransformations sont nombreuses: les joints des grains, les défauts d’empilements, lesdislocations, les interfaces, les défauts et leurs amas.Il est bon de signaler, qu'il n’a pas été mentionné jusqu'à maintenant dans une approchethéorique l’influence de ces défauts sur la transformation martensitique. Ainsi, latransformation martensitique ne peut se réaliser de façon parfaite. La formation desplaquettes s’accompagne d’une production de défauts sous forme de dislocationsexposées parallèlement aux interfaces. Ce phénomène modifie le comportement dumatériau lors des sollicitions cycliques.Après avoir donné un bref aperçu sur la description générale de la transformationmartensitique et présenter les différents effets influençants sur le comportementthermomécanique des AMFs, il nous semble important de tenir compte de cettehétérogénéité de structure.APPLICATIONS DANS LES AMFsLes domaines d'application des alliages à mémoire de forme sont nombreux.Cependant, la mise en œuvre de ces matériaux reste délicate et coûteuse.De nombreuses fabrications utilisent les AMFs; on trouve la connectique, l'automobile,l'aéronautique et le biomédical. Quelques unes des applications touchant un large publicont plus particulièrement marqué les esprits ce sont: les montures de lunettes, les fils25

dentaires en orthodontie, les agraphes pour la réduction de fractures en chirurgie.De nombreuses applications ont été industrialisées: les accéléromètres pour airbags, lestêtes d'impression pour imprimantes à jet d'encre, les têtes de lecture /écriture pourdisques durs magnétiques.Une autre application de ce type de matériau, T- Shirt en matériau tactile (composantsert à recueillir les données brutes nécessaires pour capter et surveiller correctement lastructure) spéciale et capable de détecter des signaux du corps humain, par exemple àl'intérieur d'un tunnel, dans un champ de combat.Depuis une dizaine d'années, un nouveau domaine d'application s'est ouvert aux AMFs,il s'agit des microsystèmes.Un microsystème est un microdispositif intégrant à la fois une électronique decommande et un mécanisme. Il est capable de capter des informations, de les identifier,de les analyser et de les transmettre en agissant sur son environnement.Cette technologie promet des réponses optimales à des problèmes extrêmementcomplexes. Par exemple détecter les problèmes dés le début ou adapter la réponse demanière à réagir à des conditions imprévues. Elle permettrait d'augmenter la qualité dusystème et d'en améliorer le cycle de vie.Par sa nature, la technologie des structures et des matériaux intelligents est un domainehautement interdisciplinaire; elle regroupe les sciences fondamentales, ( la physique, lachimie, la mécanique, l'informatique et l'électronique) ainsi que des sciences appliquéeset le génie aéronautique et mécanique).Les Progrès techniques de la recherche dans ce domaine sont de comprendre et decontrôler la composition et la microstructure de ces nouveaux matériaux.Il est également crucial de produire de bons matériaux intelligents. Les connaissancesacquises en recueillant des données sur le comportement de la structure interne ducristal lors de fonctionnement permettront d'accélérer le développement de nouveauxmatériaux qui seront utilisés à divers fins.MODELE THERMODYNAMIQUEDans cette partie, on représente les principaux modèles décrits pour étudier lecomportement des AMFs lors de la plasticité de transformation. Il consiste à construireun potentiel thermodynamique. La fonction obtenue sera en relation directe avec la26

capacité d'accumulation d'énergie dans le matériau pendant la charge et son restaurationaprès la décharge. Ce potentiel représente l'énergie libre dans le cas d'un processusisotherme, il dépend uniquement des variables qui décrivent le processus réversible.Ce potentiel thermodynamique est défini par un grand nombre de chercheurs; AHLERS[28], PATOOR [10, 29], EBERHARDT [30], LEXCELLENT [12], BENSALAH [9,31-32].L'ensemble de ces chercheurs ont montré que ce potentiel thermodynamique s'écritsous forme de trois termes; une énergie libre chimique " Gch" qui est proportionnelleau taux de martensite et au changement de la température, une énergie libre d'interfacesurfentre les deux phases en présence " W " , d'une énergie bloquée créée par le champ dedéformation de transformation dépendant de contraintes internes" Wmodèle voir Annexe I):m". (Détail du Wm Wsurf GchWm: correspond à l'énergie mécanique , elle est composée de deux termes:mW =W ext W*Le premier terme, représente l'énergie élastique due aux contraintes externes. Le secondterme, est l'énergie élastique due aux contraintes internes résultant de l'incompatibilitéde déformations entre les variantes et la matrice.Wsurf: correspond à l'énergie d'interaction de surface entre la phase mère et les variantesde martensite. G ch: représente l'énergie libre chimique.A l'aide du second principe de la thermodynamique et de l'inégalité de Clausiu -Duhem, les auteurs ont pu obtenir sous certaines conditions les lois qui gouvernentl'échange d'énergie: la différence entre la variation de l'énergie mécanique totale et lavariation de l'énergie potentielle.La contrainte macroscopique et la dérivée d'une force F associée à la variante activeh peuvent être obtenues par: = /EF = f hL'inégalité de Clausiu Duhem, permet d'exprimer le taux d'énergie de dissipation.27

avec; Fhfh WdW dh 0: est le taux de l'énergie de dissipation (Annexe II).A partir de ces modèles, on obtient les principaux aspects cinématique de latransformation martensitique en mettant l'accent sur l'importance de la déformation àréseau invariant..La plupart de ces modèles illustrés par des approches micro mécaniques sont plutôtexploitables sans évolution de la structure formée lors des sollicitations cycliques.Cependant modéliser le comportement de matériau doit tenir compte de ces types desstructures en évolution dans le matériau.On a entrepris une étude systématique de citer quelques modèles en métallurgiephysique, cette étude nous permet de décrire le comportement de l'alliage après fatigue,et de contrôler l'effet de structure sur la transformation martensitique.Ce type du modèle sera présenté au chapitre II. On donne quelques principaux modèlesdéveloppés pour décrire l'hétérogénéité dans les alliages à mémoire de forme. Ceci nouspermettra par la suite de définir notre potentiel associé à la transformation martensitiqueet à l'évolution de la structure formée lors de la fatigue.CONCLUSION ET POSITION DU PROBLEMEDans ce chapitre, on a établi le schéma approximatif de la formulation duproblème thermomécanique d'une transformation martensitique.A travers la description précédente, l'étude du comportement en fatigue des alliages àmémoire de forme demande des hypothèses qui seront essentielles pour les futurstravaux :- Une connaissance approfondie de la première transformation (transformationmartensitique).- Les connaissances des effets interdépendants et complexes induits dans le matériau,effets de structure et leurs interactions, multiplications et annihilations des défauts.28

- Toutes les variables d'états ne doivent pas être uniquement macroscopiques , leurslois d'évolution doivent être établies à partir des données expérimentales (formationde la variante et les interactions entre les défauts créés et les variantes demartensite).- La loi de comportement en fatigue doit formuler des paramètres microscopiques,ceci en se basant sur les résultats expérimentaux, ainsi que celles obtenues lors de laplasticité de transformation.Dans notre modélisation on doit tenir compte de l'effet de fatigue et de laplastification du matériau. En tenant compte des contraintes internes dues auxincompatibilités entre les zones riches et les zones pauvres en dislocations.On a choisi de poursuivre l’étude du comportement en fatigue des AMFs, de base decuivre (CuZnAl) monocristallin, dans lequel les interactions de type intra granulairessont absentes et où on maîtrise parfaitement les directions des sollicitations.29

CHAPITRE IIRESULTATS DE LA FATIGUESUR LES ALLIAGES A MEMOIRE DE FORME INTRODUCTION 31COMPORTEMENT EN FATIGUE DES AMFs1- Courbes de consolidation 32a- Fatigue des alliages CuZnAl 32b- Fatigue des alliages CuAlBe 35c- Fatigue des alliages NiTi 38d- Evolution de la déformation plastique : résultats expérimentaux 392- Cyclage thermique 403- Microstructures de la fatigue dans les alliages à mémoire de forme. 424 - les paramètres physiques influençants sur la fatigue des AMFs 435 - Evolution de la structure 45 GENERALITES 45 APPROCHE NON LINEAIRE (Bo LAGOUDASS) 48 MODELISATION DU CHARGEMENT CYCLIQUE 74 EVOLUTION DE LA DEFORMATION PLASTIQUE 74APPROCHE MICROMECANIQUE DU COMPORTEMENT EN FATIGUE D'UNAMF MONO DANS LE DOMAINE SUPER ELASTIQUE 75 CONCLUSION 7930

RESULTATS DE LA FATIGUESUR LES ALLIAGES A MEMOIRE DE FORMEINTRODUCTIONLa diversité des comportements des AMFs ne permet pas d'utiliser directement lesschémas de calcul thermodynamique existant déjà pour les métaux élasto-plastiques.La complexité des lois thermodynamiques se manifeste par plusieurs facteurs dont on doittenir compte dans l'étude de comportement en fatigue dans ces matériaux. Il est important deconstruire un modèle hétérogène qui tient compte de l'évolution de la structure.Pour ce qui concerne l'évolution de la structure dans l'équation, il est nécessaire de fournir deslois permettant d'obtenir l'état thermomécanique du matériau au cours de la fatigue. Ces loisseront fondées sur des séries de résultats expérimentaux.L'objectif de ce chapitre est :- De présenter les principaux résultats expérimentaux obtenus sur les AMFs fatigués.- De résumer les principaux modèles faits dans le domaine de l'évolution de lamicrostructure.- D'élaborer les hypothèses générales qui nous permettent ensuite de construire unschéma numérique adapté à ce comportement. COMPORTEMENT EN FATIGUE DES AMFs .Comme dans le cas des métaux purs, l'étude du comportement en fatigue des alliages àmémoire de forme est essentielle si le matériau est soumis à un fonctionnement cycliquerépété.Au cours du cyclage, l'état structural du matériau est modifié. Ces changements de structuresentraînent des modifications dans les propriétés thermomécaniques.Dans les alliages à mémoire de forme (AMFs), le comportement en fatigue peut êtrecaractérisé par deux types de chargements:- chargement cyclique mécanique, un chargement qui s'effectue soit à contrainte variable,soit à déformation variable.31

- chargement cyclique thermique, un chargement qui s'effectue à contrainte constantedans un intervalle de températureAf(température de fin d'austénite) etMf(températurede fin de formation de martensite).Ces deux modes de sollicitations se caractérisent par:- un durcissement du matériau.- une perte d'effet de mémoire de forme.- une évolution des températures de transformations ( Af,- un changement de structure.- une évolution de la déformation plastique.Mf, As,Ms) [23, 26, 33, 34].1 - Courbe de consolidationa- Fatigue des alliages CuZnAlPendant le cyclage, l'allure des courbes , évolue [35, 36].Pour un alliage CuZnAl monocristallin [37], la figure 1 représente l'évolution de lacontrainte- déformation.-a-Figure 1: Courbes , d'un alliage CuZnAl (Ms =10°C) contrainte maximale 75MPaa- polycristal ; b - monocristal.-b-On note un adoucissement au début de transformation suivi d'un durcissement detransformation pendant la progression de la transformation.32

Les cycles d'hystérésis deviennent fermés. Les résultats montrent un fort changement de lapente contrainte - déformation, ce qui s'explique par une évolution de la déformation plastiqueet une modification de la structure.MALARRIA et al [38] montre que la température d'essai (dans le cas où l'écart entreMsettempérature d'essai reste constant) joue un rôle important lors de l'évolution du matériau aucours du cyclage. Les figures 2a, 2b représentent l'évolution de la contrainte en fonction dela déformation pour des différentes températures d'essais.Figure 2 : Courbes , pour CuZnAla- Ms= 11°C, Texp = 5 1°C ; b- Ms = -204°C T exp = -164°CLes courbes montrent que le processus de durcissement augmente si la température du cyclagediminue pour un même nombre de cycles.La pente de la courbe , et l'hystérésis de la transformation = ' - '(figures 3a, 3b).Figure 3: L'évolution de la pente et de l'hystérésis de température de transformation a- en fonction de nombre de cycle pour CuZnAl Ms= -202°C Texp= -171°Cb- en fonction de la température Pour N= 3000 cycles.33

Les deux paramètres augmentent avec le nombre de cycles puis se stabilisent. La figure 3bmontrent que ces deux paramètres diminuent quand la température d'essai augmente (pour unmême écart à Ms).Le changement dans l'évolution des courbes , avec la température est dû au changement dela microstructure, augmentation de la densité des dislocations, évolution de la déformationplastique permanente.Ce changement de la structure est responsable également de durcissement et d'une dissipationd'énergie plus importante (cycles d'hystérésis).D'après MALARRIA et al, le fait de trouver plus des dislocations dans l'échantillon à bassetempérature est dû: d'une part, à la composition en aluminium. Cette composition doit êtrevarier afin que l'écart à Ms soit respecter dans tout l'intervalle de température. D'autre part , sila formation est indépendante de la température, d'autres mécanismes pourraient exister.Dans le cas des polycristaux des alliages CuZnAl, le comportement en fatigue estrelativement mauvais surtout à l'état austénitique. Les joints de grains dans ces alliages sontparticulièrement fragiles. A l'état martensitique, la tenue en fatigue est meilleure malgré lesdéfauts crées [37, 38].Sur la figure 4 on représente la courbe contrainte - nombre de cycle à rupture d'un alliageCuZnAl pour différentes valeurs de Ms .Figure 4: Courbe contrainte - nombre de cycles à rupture d'un alliage CuZnAlpour différentes valeurs de Ms Texp= 25°C.34

- Fatigue des alliages CuAlBe [27]La fatigue des AMFs dépend beaucoup plus des propriétés générales de latransformation martensitique que des propriétés spécifiques de l'alliages considéré.Les mécanismes évoqués précédemment pour les AMFs CuZnAl restent valables pour tousles alliages à base de cuivre et les NiTi.Des essais mécaniques réalisés sur un alliage à mémoire de forme type CuAlBemonocristallin de Ms = 193K et pour différents nombres de cycles (figure 5).Figure 5: Courbes , pour CuAlBe monocristallin Ms = 193K à différents cycles.Pendant le cyclage, on note une diminution de la contrainte critique de formation demartensite. Quand la température varie, la cinétique change, ce qui peut être expliqué par ladiminution de l’épaisseur du cycle d’hystérésis.Sur la figure 6, on rapporte l’évolution de la différence des contraintes pour des différentestempératures durant le premier cycle et à différents nombre de cycles.Figure 6: Evolution de la différence des contraintes pour des différentes températures durantle premier cycle et à différents nombres de cycles35

Ce résultat montre qu'au fur est à mesure que la température augmente, l'évolution de ladifférence des contraintes augmente on note; un durcissement lors de la progression de latransformation, une saturation de niveau de la contrainte à grand nombre de cycles.HIGUCHI et al [24], compare la tenue en fatigue des deux ressorts AMFs CuAlBe, etCuZnAl. La figure 7 représente la déflexion des deux ressorts en fonction du nombre decycles.Figure 7: Evolution de la déflexion de ressorts de CuAlBe et CuZnAlen fonction du nombre de cycles thermique.Les résultats montrent que la tenue en fatigue de CuAlBe est meilleure que celle deCuZnAl, la déflexion de CuAlBe diminue de 5% au bout de 20 000 cycles alors qu'elle atteintplus de 30% pour le ressort en CuZnAl.D'autres essais mécaniques réalisés sur un alliage à mémoire de forme type CuAlBe illustrentle comportement des deux monocristaux (M055 et M032) et des deux polycristaux (P-20-1et P-2032) extraits des travaux de HIGUCHI et al [39].La température d'essai du monocristal M055 est de 55°C, l'échantillon M032 a été testé à unetempérature de 32°C. Les polycristaux ont subi un cyclage respectivement à -1°C et à 32°C.La températureMsdes monocristaux est de 0°C, celle des polycristaux est de -20°C. Letaux de déformation imposé pour les monocristaux est de 6%.Pour les polycristaux, le cyclage s'est effectué à contrainte imposée (225 et 400 MPa).Les essais de fatigue ( figure 8) sur le monocristal M055, montrent que l'évolution descourbes ( , ) est très rapide:36

Figure 8: Cyclage en fatigue mécanique isotherme de deux monocristaux (a à h),de deux polycristaux (m à t) d'un alliage CuAlBe.- Le palier horizontal (a) disparaît au profit d'une pente de plus en plus importante (b et c).- Le chargement élastique de l'austénite est de moins en moins apparent.- La contrainte critique de transformation diminue au fur et à mesure que le nombre decycles augmente. Il en est du même pour la contrainte critique de fin de transformationinverse. A contrainte nulle, une quantité de l'austénite reste stabilisée (début de plasticité).Pour le monocristal M032, la contrainte critique de formation de martensite est moins élevée.Le nombre du cycles nécessaire pour la stabilité de martensite est plus faible que celui pour leM055, ce qui explique l'effet de la température sur le mode de sollicitation.Au cycle (104 b), la déformation résiduelle accumulée est de l'ordre de 4.5%. Si la37

déformation imposée augmente de 10% , entre 6 et 10% un palier horizontal apparaît. Ilcorrespond à la transformation de la fraction volumique d'austénite qui n'a pas été transforméelors des cycles précédents. Après un certain nombre de cycle, les deux monocristaux ont subiun traitement thermique (flash) à 200°C (d et g). Les résultats de ce traitement ont montré uncomportement identique à celui du premier cycle. Un nouveau cyclage fait apparaître unedégradation encore plus rapide (courbe h).Dans le cas des polycristaux, au bout de 106 cycles (n), la contrainte critique detransformation a nettement baissé, la déformation reste recouvrable. Après 208 cycles (o) ladécharge met en évidence une déformation résiduelle. Pour 310 cycles (p), l'échantillon atteint225MPa pour des déformations de plus en plus faibles (cycle fermé).Pour le polycristal testé à 32°C au lieu de -1°C, le matériau ne se stabilise pas même à 310cycles. Mais le comportement reste identique à l'échantillon précédent, une évolution de lacontrainte en fonction du nombre de cycles, et une évolution d'une déformation permanente .En conclusion, on peut dire que le cyclage mécanique a un effet sur l'effet de mémoire. Ladégradation du comportement super élastique peut être attribuée à la formation des défauts desurface et de volume. Malgré que ces défauts peuvent être restaurés par un chauffage à200°C., un nouveau cyclage entraîne une détérioration plus rapide du phénomène superélastique. Sur la figure 9 on représente l'évolution de la courbe contrainte - déformation lorsdu cyclage en fatigue d'un monocristal de CuAlBe à déformation imposée à 6% et unetempérature d'essai de 80°C. Les cycles deviennent fermés, et la contrainte diminue.Figure 9: Evolution des courbes , lors du cyclage en fatigue de CuAlBe monocristallin38

c - Fatigue des alliages NiTiLe cyclage d'un alliage NiTi en pseudoélasticité entraîne l'apparition d'unedéformation résiduelle croissante. Elle est due à l'apparition des bandes de glissementpendant la déformation MELTON. K.N et al [40].La contrainte critique de la formation de martensite décroît à cause des contraintes internesformées lors du glissement plastique. Les essais de fatigue sur le NiTi déformé à 3% et àdifférentes températures montrent une évolution des cycles d'hystérésis en fonction dunombre de cycle (figure 10).Figure 10: Les boucles de fatigue de NiTi déformé à 3% à différentes températures d'essaiLes cycles d'hystérésis diminuent au fur et à mesure que le nombre de cycles augmente. Cescourbes font apparaître un phénomène de saturation lorsque le nombre de cycle augmente.39

Cette saturation est provoquée par un durcissement du à la multiplication des dislocationsaprès fatigue.Comme dans le cas des alliages cuivreux, le comportement en fatigue dépend de la contrainteappliquée et de la température.d- Evolution de la déformation plastique: résultats expérimentauxSur la figure 11, on représente l'évolution de la déformation plastique en fonction denombre de cycles à différents niveaux de contraintes appliquées.Figure 11: Evolution de la déformation plastique en fonction du nombre de cycles à différentsniveaux de contrainte appliquée [23].Quelque soit la contrainte appliquée, la déformation permanente accumulée pour unnombre de cycles est approximativement proportionnel à la charge appliquée.Pour le cas 100 MPa, on note une divergence à 600 cycles, à ce point un saut apparaît. Ladéformation plastique est saturée à 150 cycles.2- Cyclage thermique40

Le cyclage thermique des AMFs s'effectue dans un intervalle de température TA f M f. Ce cyclage implique la formation de martensite thermique qui provoque desmodifications dans la structure plus ou moins importantes selon l'alliage utilisé [25, 27, 41].Le durcissement qui en découle est moins élevé dans le cas des AMFs de NiTi qui possèdeune contrainte élastique de rupture élevée.Sur la figure 12, on représente l'effet d'un cyclage thermique précédant un cyclagemécanique d'un alliage CuZn, deet à une température -65°C [22].M s 70 C. L'alliage est testé à une température ambianteFigure12: L'effet de cyclage thermique sur CuZn Ms=-77°CCes essais montrent une augmentation du nombre de cycle de rupture si la températurediminue. La durée de vie du matériau dépend du mode de sollicitation.Ce type de changement nécessite une variation de volume associée au changement de phase laplus petite possible afin de limiter le durcissement lors du cyclage.Dans le cadre de comparaison des trois alliages CuZnAl, CuAlBe, NiTi, on représente lesrésultats en fatigue thermique sous différents aspects: un ressort en alliage NiTi (monocristal),d'un CuZnAl (polycristal) et de CuAlBe (monocristal).La figure 13 représente la déflexion de ces différents alliages en fonction de nombre decycles.41

Figure 13: Cyclage thermique d'un ressort NiTi, d'un monocristal et d'un polycristal duCuZnAl et d'un monocristal d'alliage CuAlBe.Les positions haute et basse correspondent à des températures respectivement au dessus de A fet en dessous de M f . Même si ces points varient avec le nombre de cycles, la différence entrechacun d'entre eux reste constante. On assiste à un déplacement des points de transformationà grand nombre de cycles. Ce déplacement est moins sensible pour les AMFs à base decuivre. Pour le polycristal de CuZnAl, seule la position haute est représentée, ce résultatmontre, que cet alliage sous forme polycristalline est beaucoup moins performant que sonhomologue monocristallin ou le NiTi.3- Microstructures de la fatigue dans les alliages à mémoire de forme.La liaison entre le comportement en fatigue des métaux et les microstructures dedislocations est réalisée le plus souvent par des observations microscopiques. Cette techniqueest basée sur l'analyse corrélée de différents moyens d'investigation: les boucles de fatigue, le mode de déformation, les paramètres microscopiques.42

Les températures de transformations (caractéristiques de l'alliage).La figure 14 représente un exemple d'une microstructure obtenue pendant la fatigue d'unalliage CuZnAl.[33] .Figure 14: Exemple d'une microstructure d'un alliage CuZnAl déformé à 4,5%Des groupements de dislocations se créent à l'intérieur du cristal, leurs densitésaugmentent avec le nombre de cycles, et elles jouent comme un obstacle à la croissance desplaquettes de martensite.Tous les états observés se caractérisent par une répartition hétérogène de dislocations:- des amas enchevêtrés de dislocations dans la phase et dans la phase de martensite.- des murs de mieux en mieux définis, ils s'allongent dans la direction du plan primaire deglissement avec entre eux des zones mal définies.- ces arrangements des dislocations peuvent apparaître en surface et conduisent à laformation des extrusions- intrusions. Ces traces de plasticité sont très accentuées dans deszones particulières où la déformation plastique est accumulée.Ces groupements des dislocations sont responsables du phénomène de durcissement, de pertede l'effet de mémoire et de dissipation d'énergie importante.Ces alliages sont également sujets d'un phénomène dit de stabilisation, qui correspond à unedifficulté de réversion de la martensite. Ce phénomène de stabilisation est particulièrementsensible pour le CuZnAl lorsque les températures se situent au-dessus de la températureambiante [18, 41- 43].Plusieurs auteurs ont étudié ce phénomène de stabilisation [44- 46, ils l'ont attribué à deuxprocessus:43

- le piégeage mécanique des interfaces martensite- martensite ou martensite - austénite pardes lacunes. Ces lacunes peuvent migrer vers les interfaces et provoquer ainsi le blocagede leur mouvement lors de la transformation inverse, martensite- austénite.- le changement d'ordre de la phase martensitique favorisé par ces mêmes lacunes, entraînedes modifications des températures de transformations.D'autres auteurs ont montré également que le phénomène de stabilisation est sensible à lacontrainte appliquée [44, 45].Pour les faibles contraintes, la stabilisation de la martensite est peu visible. Une déformationrésiduelle de faible amplitude apparaît lors de la décharge qui est certainement due auxdislocations engendrées par le cyclage thermique.Pour des fortes contraintes, la stabilisation peut devenir très importante. Il apparaît dans ce casune déformation résiduelle fonction fortement de la vitesse de balayage en température, quiest due essentiellement à la plasticité de la martensite orientée.4- les paramètres microscopiques influençants sur la fatigue des AMFsEn plus des paramètres cinématique, cinétiques et caractéristiques du matériau, desparamètres microscopiques interviennent lors de la fatigue des AMFs.Pour tenir compte de la fatigue, la liste des variables d'états doit inclure:- Le mode de sollicitation.- Une proportion volumique pour chaque phase en présence.- Les contraintes internes d'incompatibilité de déformation entre les zones riches endislocations et les zones pauvres.- Les traitements thermiques.- Evolution de la déformation plastique- Densité des dislocations.Comme dans le cas des métaux purs, l'ensemble de ces paramètres a un effetdéterminant sur le comportement en fatigue et sur les changements de la microstructure.Avant de situer un schéma adapté à ce type du comportement dans les alliages à mémoire deforme, il nous semble important d'exposer les principaux modèles développés en tenantcompte de l'évolution de la microstructure. Ces modèles seront basés sur l'analyse et les44

mécanismes structuraux élémentaires de la déformation plastique, et en particuliers sur lesactions à distances qui se traduisent par un champ de contraintes internes qui se superposentau champ de contraintes appliquées.Nous serons amenés à répondre dans cette partie à la plupart des notions qui ont étédéveloppées dans le chapitre précèdent, ceci d'une manière plus explicite et détaillée surcertains points. Quelques données théoriques seront présentées.L'EVOLUTION DE LA STRUCTURELe but de ce paragraphe est de représenter les principaux modèles qui ont été réalisésdans les AMFs en absence de la déformation plastique et à une déformation plastiquevariable après chargement cyclique.Un nombre important des variables internes est introduit, la fraction volumique de lamartensite, la déformation macroscopique de transformationmE , des contraintes résiduelles( et ) respectivement dues à la transformation de phase martensitique et leurs interactionsavec la déformation plastiquepE . L'évolution de ces paramètres est basée sur des analysesmicromécaniques sur un élément de volume représentatif (EVR) .(EVR) : { une phase austénité + une phase martensite hétérogène + une phase austénitehétérogène + une région contenant la déformation plastique}.L'hétérogénéité initiale dans les AMFs qui est essentielle pour l'initiation de la phase detransformation est modélisée par un champ de contrainte résiduelle qui peut être décrit parune probabilité (une fonction de distribution).GENERALITESLes alliages à mémoire de forme sont un groupe de matériaux métalliques qui montre uneffet de mémoire de forme i,e, l'alliage déformé à basse température retrouve sa forme initialeaprès chauffage à grande température.Ce comportement est principalement une conséquence de la thermoélasticité de latransformation de phase martensitique et leurs renversement.Quand l'alliage se transforme en martensite, il subit une grande symétrie, cubique, " Austénite" à une faible symétrie monoclinique " variante" .45

En absence des contraintes appliquées, la martensite se forme d'une manière d'autoaccommodation résultante d'un changement de forme macroscopique non observée.En appliquant un chargement mécanique, on force la martensite vers une orientation dansune seule variante, et une large déformation est obtenue.Après chauffage à grande température, la faible symétrie de martensite retrouve sa grandesymétrie "Austénite", et la déformation est récupérée. La phase martensitique peut êtreproduite par un pur chargement mécanique isotherme.Beaucoup des résultats ont montré la réponse thermomécanique des AMFs: la pseudoélasticité sur NiTi à des températures très élevées que Af(température de finde l'austénite).l'accumulation de la déformation plastique avec le nombre de chargement cyclique.les températures caractéristiques subissent aussi des modifications. ceci estaccompagné par un rétrécissement des boucles d'hystérésis [27, 37, 39, 46].Des essais thermiques, sur NiTi à contrainte constante, montrent également que ladéformation plastique est accumulée à très faibles niveaux des contraintes moins que 5% de lalimite macroscopique de la phase martensitique. Avec les chargements thermiques, lestempératures de transformations et les boucles d'hystérésis changent [47].Sous des essais mécaniques, l'accumulation des défauts continue à se développer à plusieurscycles (1000 cycles) sans atteindre un niveau de saturation [26, 48].Le changement des propriétés macroscopiques thermomécaniques des AMFs avec le nombrede cycles est due au changement microstructurale.Les observations microscopiques montrent, la fatigue entraîne; un changement irréversiblesubstantiel, une multiplication des dislocations, des microfissures [49- 52].Dans un monocristal, les réseaux des dislocations formés sont symétriquement alignés dansune structure après plusieurs cycles mécaniques [41, 53].Pour les polycristaux des AMFs les structures sont relativement complexes, les réseaux sontobservés entre les joints de grains sous sollicitation cyclique [54, 55].La plasticité dans les AMFs, est activée plus souvent dans la phase de transformationmartensitique à cause d'une cohérence imparfaite entre l'interface austénite- martensitefigure 15, une distorsion élastique importante existe dans la même partie de l'interface, créeun train de dislocations tout le long de l'interface [56].46

abFigure 15: Observation microscopique d'un alliage CuZnAl fatiguéa- accumulation des défauts au voisinage de joints de grains "micro fissures"b- défauts à l'intérieur des variantes de martensiteA sollicitations répétées (contraintes appliquées), l'orientation moyenne de la variante et celledes dislocations formées et leurs mouvements est partielle, elle résulte dans une déformationplastique. L'accumulation de la déformation plastique affecte alors la performance del'utilisation de l'alliage. Ainsi, les propriétés thermomécaniques des AMFs changent pendantle cyclage. Il est important d'étudier l'évolution des réponses thermomécaniques en fonctiondes cycles de fatigue en tenant compte de l'évolution de la déformation plastique.Deux voies fondamentales nécessaires à suivre pour étudier la déformation plastique: Comment caractériser l'influence de la déformation plastique sur le comportementmacroscopique thermomécanique des AMFs. Comment prédire l'évolution de cette déformation en fonction du chargement cyclique.Un grand nombre de modèles phénoménologiques constitutifs ont traité les réponsesthermomécaniques des AMFs polycristallins.K. Tanaka [57- 61] "approche themomécanique": considère la fraction volumique de lamartensite formée comme variable interne, cette variable lie les autres variables du système;contrainte et la température T .Y. Sato [62] et K. Tanaka [63], introduisent une loi gouvernant l'évolution de la fractionvolumique pendant la transformation de phase47basée sur le mécanisme de Magée (aciers).

Le modèle de Magée est un modèle quantitatif qui suppose que la plasticité de transformationest due à l'orientation préférentielle des plaquettes de martensite sous l'effet d'une contraintemécanique appliquée. Il tient compte du cisaillement dans le plan d'habitat. Il propose pourune variante d'orientation (angle que fait la normale au plan d'habitat avec l'axe de rotation)et de volume V M une expression de la déformation de transformation fonction de l'angle ,de l'amplitude de cisaillement et de la dilatation . Ce modèle reste valableuniquement qu'aux cas de transformation à faible variation volumique.D'autres approches utilisent directement une énergie potentielle en se basant sur une analysemicromécanique.Sun et Hwang |64- 66] utilise un modèle avec la formulation d'une énergie potentiellemicromécanique, la fraction de martensite est obtenue en relation avec la dissipation interne.Patoor. E [10, 67- 68], Bensalah. M. O [9, 29], considèrent une approche micromécaniquesur un AMF à l'aide de la théorie de Gibbs et le taux de transformation, en prenant la fractionvolumique de martensite comme variable interne.Pour les polycristaux des AMFs, les auteurs ont développé des modèles par la méthode selfconsistant.Lexcellent et Licht [69] ont comparé un nombre de modèles thermodynamiques, enconsidérant le taux de transformation dans la forme de l'énergie libre, comme choix devariable.La plupart de ces modèles constitutifs utilisent une structure thermodynamique ensélectionnant la fraction volumique comme variable interne [57, 61, 64, 70, 71, 72].Dans ces modèles la fonction d'état obtenue ne mis pas en évidence ni l'évolution de lastructure ni l'évolution de la déformation plastique. Ce qui prive des renseignements précis surl'état du système à sollicitation cyclique.Patoor. E [73], calculé la différence d'énergie potentielle entre l'austénite et la martensite enprésence des contraintes résiduelles causées par la transformation de phase. Il introduit unchamp de contraintes internes résiduelles dû à chaque transformation comme variable relié àla déformation plastique dans leur formulation.48

Plus récemment, Levitas [74, 75] développe une théorie générale de la transition de phasedans les matériaux inélastiques à faibles déformations. Les mêmes solutions analytiques sontobtenues. Seulement ses travaux n'ont pas convergé sur la modélisation de l'évolution de ladéformation plastique pendant la transformation cyclique à faible niveaux des contraintes.Bo Lagoudas [76], a développé des modèles avec l'évolution de la déformation plastique. Lesmêmes résultats ont été rapportés.Suite à ces données sur les différentes approches, on se limite à développer une approchedéductive, fondée sur l'analyse et la représentation des différents mécanismes structuraux dela fatigue.APPROCHE NON LINEAIRE (MODELE DE Bo . LAGOUDAS).Dans cette approche, on considère que l'augmentation (l'incrément) de l'énergie libre deGibbs en fonction de l'augmentation de la fraction volumique de martensite est obtenue par lasommation des augmentations individuelles.Plusieurs variables entrent en jeu; les fractions volumiques de la martensite, la déformation detransformation de phase, les contraintes résiduelles ( et ) respectivement dues à latransformation de phase martensitique et leurs interactions avec la déformation plastiqueCes contraintes locales prises en compte peuvent être considérées comme des variablesinternes traduisant l'interaction entre la microstructure et la transformation de phase.pE .1 - Energie libre de Gibbs pour un AMF polycristallin en présence de ladéformation plastique.L'énergie libre totale de Gibbs est composée d'une énergie libre élastique et d'une énergielibre chimique:Gel ch G G(1)On admet que la variation de l'énergie de Gibbs en fonction de la fraction volumique estprincipale. Pour obtenir la variation de l'énergie libre élastique totale de Gibbs on doit tenircompte de tous les détails qui contournent le domaine de martensite. En adoptant une méthodeincrémentale, on utilise les augmentations des énergies libres élastiques et chimiques enfonction de l'incrément de volume martensitiquem,k et de leurs définitions originales.49

2 - Conditions micromécaniquesEn micromécanique, deux conditions limites sont souvent appliquées sur EVR constituéd'une microstructure non périodique:Condition limite de traction uniformeT i.Condition limite de déplacement linéaire.EVR noté , soumis à une traction uniforme, il contient :- une région plastifiée- une région*mtransformation .- une régionp avec une déformation plastique propre* p .m occupée par la martensite "variante" d'amplitude de déformation dem,k qui représente l'incrément de martensite associée à une déformation*m,k (déf ormation de transformation propre sur le domainem,k ).également tous les nouvelles variantes formées pendant un chargement incrémentalDans , les contraintes totales locales satisfont à l'équation d'équilibre :, j= 0 dans etm,k porte .n T sur (2)jiavec;nj: est la normale de .De même les déformations locales totales satisfont à la relation de déplacement dedéformation (faible déformation).Avec;1ij ( ui, j uj,i)(3)2ui: sont des composantes de vecteur de déplacement total.On distingue trois cas des différentes microstructures. Pour chaque cas, il est importantd'appliquer différentes charges et déterminer leurs champs de contraintes et de déformations.1 er Cas : EVR :{ } constitué d'austénite uniquement:Deux charges sont appliquées: Cas 1.1: 0 et* p = 050

Les champs de contrainte et de déformation produits sont : =1 dVet0 = S (4)0 : représente la déformation macroscopique élastique due à S : tenseur de compliance Cas 1.2: 0 et* p 0Dans ce cas la contrainte locale dans l'austénite due à* pestp, la déformationcorrespondante estp, les deux grandeurs satisfont les conditions limites.Si 0 et* p 0 , la déformation et la contrainte totale sont données par: p0 + p(5)2 ème Cas : EVR { } constitué d'austénite et de martensitem : Cas 2.1. 0 et* p= 0 et*m = 0Les perturbations locales de champ de contrainte et de déformation sont :h : contrainte locale due à l'interaction entre etm .h : déformation locale élastique due à l'interaction entre etLa contrainte et la déformation locale totale sont : hm .0 + h(6) Cas 2. 2 . 0 Et* p 0 et*m = 0Dans ce cas, les perturbations locales de champ de contrainte et de déformation sonthp ,hp respectivement causées par l'interaction entreLa contrainte locale totale est:51petm .

IILa déformation locale totale :IIp + hp(7)hp + p -* p (8) Cas 2.3. 0 et* p= 0 et*m 0Les perturbations locales sont; les contraintesm respectivement dues à la déformation de transformationm et la déformation élastique locale*m .mLa contrainte locale totale " " obtenue en utilisant la loi de Hook's:mm *m = C ( - ) (9)Si les trois chargements sont différents de zéro on a: + h + p + hp + m0 + h + p+ hp + m(10)3 ème Cas. 3 . 1. région martensitiquem et l'incrémentm,k existent dans :dansDans ces régions, on mesure séparément les effets des nouvelles variantes forméesm,k. Soit*m,k l'amplitude de déformations correspondante dansQuatre cas de chargement sont possibles:m,k . Cas 3.1 0 ,* p = 0 ,*m = 0 et*m,k = 0L'influence dem,k sur le champ de contrainte et sur le champ de déformation peutêtre déterminée par une contrainte locale " d'une déformation élastique localeh,k .h,k" due à l'interaction entrem,k et , etLa contrainte et la déformation totale sont: + h +h,k0 + h h,k+ (11)52

Cas 3.2. 0 ,* p 0 ,*m = 0 et*m,k = 0Dans ce cas, il existe une contraintehp,k et une déformation localehp,krespectivement dues à l'interaction entre La contrainte et la déformation totale s'écrient comme:p + hp + hp,kp(d'origine plastique) etm,k . p+ hphp,k + (12) Cas 3.3. 0 ,* p = 0 ,*m 0 et*m,k = 0Les perturbations introduites par l'interaction entrem etm,khm,k sont : ethm,k ,respectivement, de contraintem due à*m et de déformation élastique localem due à ladéformation de transformation*m .La contrainte et la déformation totale:m + hm,khm,k + m(13) Cas 3. 4. 0 ,* p = 0 ,*m = 0 et*m,k 0Dans ce cas, la contrainte et la déformationm,k sont :m,k ,m,k m,km,k (14)Si les trois charges existent on a: + h + Notons que0 + h + p + hpp + mh,k hp,k hm,k+ + + + + + hp + m +m,kh,k hp,k hm,k m,k + + + (15)*m peut être composée d'une transformation de déformation pure*mt, et d'unedéformation thermique * m :*m = * mt + * m(16) * m : due à l'échange thermique entre les deux phases. Elle est donnée par :53

m* M A= )( T T )(17)(0Avec;M : coefficient thermique de martensite,A :coefficient d'austénite,T0température d'équilibre thermodynamique.La déformation totale thermique dans est donnée par:Avec; E AE = ( T T0) * m(18) (19)E : est la déformation thermique dans l'austénite (uniforme), car le milieu initial esthomogène.A partir des champs des contraintes et des déformations présentés précédemment plusieursremarques peuvent être tirées:1- Les contraintes et les déformations peuvent être sommées .2- Tous les termes de contraintes satisfont aux conditions limites sur .3 - Energie libre totale de Gibbs de EVRL'énergie libre de Gibbs est la somme de chaque évolution individuelle:G GANk 1( Gel,k Gch,k)(20)N: est le nombre total des régions de martensite,masse de l'austénite pure:Avec;AG =1(F chW0 W0) G0AG l'énergie libre de Gibbs par unité de(21) : La densité massique,W0: Énergie de déformation élastique locale d'austénite,FW 0: Énergie potentielle totale d'austénite,54

chG0: Énergie libre chimique de Gibbs moyenne par unité de masse.Où;chG 0 ( cAc : Chaleur spécifique,s : Entropie spécifique,T( T(22)AAch T0 ) T ln( )) s0( T T0) G0T0W ( m) : représente énergie de déformation élastique totale de sansm,k. Elle estdonnée par:m 1W ( ) = 2II II (* p -*m ) dV (23)1 0 1 P * P 1 h*p hp*p hp 1 m * m= EdV () dV () dV2 2 p 2mm2hp * h* , : la déformation équivalente d'Eshelby sur le domainem duep(d'origineplastique), et la déformation équivalente d'Eshelby dansm due à respectivement .4- L'énergie potentielle totale de la contrainte appliquée:F mW ( ) = (E 0 E ) dV p* p* mh*hp*m* dV + dV + ( ) dVmm(24)m* : la déformation équivalente d'Eshelby surhp* : la déformation équivalente d'Eshelby dansm due àm due àm ,p .5- L'énergie libre de Gibbs de la phase Austénite:AG = 1 1E o 2 E12 *pdV 12 p p* pdV++( cAT( T(25)AAch T0 ) T ln( )) s0( T T0) G0T0Dans le cas ou les deux phaseséquivalentes d'Eshelbyh*, etm etm,k sont présentes. On introduit les déformationshp*, définies par le principe équivalent d'Eschelby.55

5- L'énergie élastique totale :m m,kW ( ) =12E012pPhP1dV2m ( m,kh*,php*,) dV( p hp hp,k m hm,k 1 m,k- ( ) dVm,k2mphphp,k1 2m1 2hm,k) * mdV -(26)7- L'énergie élastique totale dem avecm,k .WFm m,k( ) = (E 0 E ) dV p* p* m * m,k dV + ( ) dV +m m,k ( m m,k h*, hp*, m*,) dV8- L'incrément de l'énergie élastique totale :(27)m m,kmF m m,k F mU { W ( ) - W ( ) } - ( W ( ) - W ( ) )UF W W(28)Hypothèses:9- l'incrément de l'énergie libre élastique de Gibbs :el k G , m( ,m,k )= G el (m m,k + ) -el mG ( ) =- Pour simplifier d'avantage les expression définies par W etdéformations équivalentes d'Eshelbyhp ,hp*, ,m* etm ,k WF( U ) (29), on considère que lesm*, déterminées par lesinteractions entre les contraintes correspondantes et l'hétérogénéité de martensite (cescontraintes elles mêmes fonctions des interactions entre les milieux) sont faibles parrapport à leurs sources d'origine. On peut les négliger.- Les déformations équivalentesh*, ,h* déterminées par l'interaction entresupposées de même ordre de grandeur que la déformation élastique initialepeuvent être supposées comme uniformes, ainsi:m et sont0E , donch* = h*, = E 0 =S ,hp hp*, = = 0,56m* m*, = = 0 (30)

S =M AS S(31)- Notons que ces approximations sont exactes pour une austénite pure (état initial), et unmartensite pur (transformation totale).Sachant quem,kpil peut être négligé.m* m ,kp*mt,k( ) dV est très faible devant le terme ( ) dV ;* mk- notons également que la déformation thermique moyenne dV n'est pas toujoursm,k,m k ,faible comparée à la déformation moyenne de transformationaccommodation, ce dernier terme est nulm* mt k dV , par auto,m k ,On substitue les différentes équations et les approximations dans Eq (28), l'incrément del'énergie élastique totale devient :p*mt,kU - ( ) dV- p =mm,kmhp,k hm,k * m( ) m = 12p hp hp,kdVm,k*mt,k * m ,k 1( + ) dV- 2 m ,kS dV -(32) (33)1 (34)2m hm,k m,kp : les contraintes résiduelles plastiques effectives,m : les contraintes de transformations résiduelles effectives,Ces contraintes, quand elles interagissent avec la contrainte appliquée , entraînent desmodifications de la transformation de phase localement .En tenant compte de ces différentes équations, l'énergie élastique libre de Gibbs devient:m , kel k G , = - (1 S + ( + )2*mt, k+ * m ,k + ) (35)Avec;57

1=m, k { p m *mt,khp,k 1 hm,k * m ( ) dV + ( ) dVm,km 2} (36a) =1m, km,kp( m )dV (36b), , sont les contraintes résiduelles locales provenant de l'amplitude de la déformation detransformation.*mt,k: L’amplitude de déformation de transformation due au changement de la forme puredonnée par:1*mt,k =m, k* mt k dV(37),m k ,*mt,k =*mt,k -*mt,k (38)* m ,k : moyenne des* m ,k dans le domainem,kest:1* m ,k =m, k* mk dV(39),m k ,9- L'incrément de l'énergie chimique de Gibbs :ch, k m,k ch m m,k G ( ) G ( + ) -ch mG ( ) (40)=m , kT( chc[(T T0) T ln( )] s0( T T0) G0T0Dans ce travail, on considère que la composition chimique de matériau est uniforme.)10- L'énergie totale de Gibbs de EVR est alors :G GANk 1( Gel,k11 = E o E2 Gch,k)1 *pdV 12 pp* pdV +58

Avec :+( c1AT( T-kAAchT0 ) Tln( )) s0( T T0) G0T0k1{ S +( + )2*mt, k+ * m ,k + }+kTch+ { c[(T T0) T ln( )] s0( T T0) G0}(41)Tk0m,kk (42)L'incrément de la fraction volumique de la martensite .m la fraction volumique de la martensite. (43)Pour N , k 0 ,N: est le nombre total des régions de martensite.11 - L'énergie de Gibbs s'écrit donc:G 11 S - [E +2 Epm 1E ] - E m ( )d+0pE ,Tch pc [ T T0 ) T ln( ) s0( T T0) G0 G(44)TmE ,0E : sont la déformation plastique moyenne, la déformation de transformation et ladéformation thermique respectivement données par:pE =1ppdV(45)mE =1mm* mt dV = kk*mt,k =kkEm(46)E =E + kk* m ,k 1 = E + mm k ,* m dV ,* m ,kE= (47)12- L'énergie d'interaction produite par la déformation plastique est:pG =12 p p dV59(48)

13- La différence de l'énergie libre chimique:chG 0A chG 0+ (M chG A ch0-G 0) (49)On a obtenu une formule d'énergie libre de Gibbs Eq (44) pour un alliage à mémoire de formeavec une déformation plastique non nulle.La fraction martensitique , la déformation de transformation de phasemE sont introduitespour caractériser de la martensite. Les contraintes résiduelles ( et ) sont introduites pourdécrire l'influence des contraintes locales définies par la déformation de transformation et ladéformation plastique sur la transformation de phase.14 - Sélection des variables internes:Les contraintes , sont définies comme étant des contraintes moyennes locales dans levolume incrémentalm,k. Ces contraintes résultent de changement due à l'évolution de lamicrostructure établie lors de la phase de transformation et de la déformation plastique. Lavariation de ces contraintes résulte des faibles valeurs de la consolidation. Cependant, cescontraintes peuvent créer un changement d'énergie globale substantielle dans l'élément devolume représentatif (EVR).Les contraintes , représentent dans l'équation (41), l'énergie d'interaction élastique due auxcréations des variantes de martensite.Les deux contraintes , représentent alors une mesure globale de l'effet de changementmicrostructurale. Elle peuvent être considérées comme des variables internes dans cetteformulation. La déformation plastiquepE , qui représente un changement microstructuraleirréversible, est aussi une variable interne. Cependant, pour simplifier la formulation, onsupposepE constante dans la première partie de la formulation.La principale raison pour que initialementpE = cte, est que pendant le début du cycle detransformation de phase, le changement de la microstructure du à la déformation plastique esttrès faible comparé à la microstructure causée par la transformation de phase.La déformation plastique peut être prise comme une variable interne, son évolution estfonction de la variation du nombre de cycles.60

A faible nombre de cycles, l'augmentation de la déformation plastique n'affecte pas latransformation pendant ce même cycle, mais l'accumulation des déformations plastiques peutêtre couplée à la transformation de phase dans une succession des cycles.En tenant compte de ces hypothèses, l'énergie libre totale de Gibbs, fonction des différentesvariables peut être représentée par une fonction .G G ( , T,,Em , E p , ,)(50)Si nous considérons uniquement la transformation de phase sans la réorientation des variantesexistantes, le changement du système devient possible uniquement par changement de lafraction volumique de la variante . Donc, dans ce cas est sélectionnée comme variableintrinsèque de l'élément de volume représentatif "EVR", les autres paramètresm pE , E , , évoluent avec .Ainsi, G sera fonction de:G G ( , T, )(51)Expérimentalement [77], on montre que la séquence du mouvement de transformation dephase à un niveau microscopique reste la même pour différent chargement de cycle, et latransformation de phase inverse suit approximativement la séquence inverse du mouvement.Donc, peut être supposée comme un paramètre de chargement.L'énergie libre de Gibbs est donc réduite à la forme suivante:G ( , T, ) = G AM A( ,T ) + G ( , T, ) + G mix ( )(52)AG ( ,T ): est l'énergie libre de Gibbs d'austénite,M A G ( , T, ) :la différence de l'énergie libre chimique de Gibbs entre les deuxphases.M A 11 G ( , T, ) = S - [ 1E ( )+ E m ( )] - 2 E m ( )d+0Avec;Tch c [ T T0 ) T ln( )] s0( T T0) G0(53)T061

E ( ) =1 mm *dV (54)mix 1G ( ) = - E m ( ) [ ( ) ( )]d(55)0mixG ( ) : l'énergie de mélange induit par la transformation de phase (terme sélectionné).La formule de l'énergie libre de Gibbs est écrite sans le terme lié à la déformation plastique.Elle est exprimée aussi par Raneicki et Lexcellent {57], Lagoudas [78].15- Evolution des variable internes.L'équation obtenue précédemment (53) considère les déformations plastiques constantespendant la transformation de phase.Dans cette section, on s'intéresse à obtenir une évolution d'équation des variables internessous un chargement thermomécanique non proportionnel.Tout d'abord, une forme fonctionnelle est adoptée à, pour un chargement proportionnel,puis une simple généralisation est portée pour un chargement thermomécanique nonproportionnel.L'évolution de la déformation de transformationles différents chargements thermomécaniques non proportionnels.mE est proposée directement en considérantmPour étudier l'évolution de l'équation en fonction de et E , l'auteur considère 3 cas: Les évolution , sont estimées pour un AMF non dressé (sous chargementproportionnel).Les évolutions pour AMF dressé sous chargement proportionnel. Finalement, une généralisation pour , dans le cas d'un chargement thermomécaniquenon proportionnel.1 er cas: évolution de la fraction volumique de martensite:L'évolution de l'équation pour la fraction volumique peut être obtenuesystématiquement en introduisant un potentiel de dissipation en conjonction avec la secondeloi de thermodynamique. Cette loi peut être écrite suivant une forme locale interne d'un62

taux de dissipation:T = - ( E + G ) G- (s ) TTAvec;E: est le tenseur de déformation totale,s : est l'entropie.G 0(56). : est le taux de dissipation locale.Par identification aux autres équations et en satisfaisant l'inégalité (56) on obtient:E = - G = S E0 Ep Em(57)Gs T1 ET= c ln( ) s0 TT0En tenant compte de l'équation d'énergie libre de Gibbs, le taux de dissipation locale internedevient:..T = 0(59)(58)avec; : est le conjugué de la force thermodynamique de donnée par:avec: = G(60)E m 1 SET = eff c[(T T0 ) Tln( )] s0( T T0) + 2 TeffG Em eff contrainte effective , " la force conjuguée demE " .Pour obtenir une loi évolutive de , on utilise l'approche de Edelen's [79].Le potentiel de dissipation est relié à la variable interne par la relation:0chG 0(61)(62). = .(63)les .satisfont les conditions de Khun -Tucker:63

. 0* Y , . *( Y ) 0(64)Pendant la phase de transformation*Y supposée constante.Pour un potentiel de dissipation de forme quadratique convexe:1 2 2(65)Selon les conditions de Khun -Tucker [46], et pour le castransformation de phase martensitique est donnée par: . 0 , la condition de la* 12) ( 2Y(66)( signe (+) austénite - martensite ; signe (-) martensite -austénite).Cette équation peut être utilisée pour obtenir l'évolution de sans utiliser l'Eq (63), encombinant les deux équations (64) et (66), le critère de transformation s'écrit comme: 0 0.. Y 0 . Y 0 : est appelée la fonction de transformation .(67)2 ème cas : Evolution de la déformation macroscopique de transformationLe taux de déformation totale est donné par: E E EE T TE .: le taux de la déformation inélastique totale calculé à partir de l'équation (70):E = - G = S E0 Ep Em(69)inĖE ..= . .mSE( ) E(70)Le terme. SE.( ) , représente l'effet de changement de tenseur de compliance et le changement de coefficient thermique.Le terme E.mest l'incrément de la déformation de transformation.64

Pour déterminer l'évolution de ce terme en fonction de la transformation de phase, onconsidère qu'au cours de la transformation plusieurs variantes peuvent être transformées dansla composante résultant de la déformation de transformation.La déformation de transformation est supposée être donnée selon [71] comme:.mE = .2 3 eff '.m E 0 ; .effmE0(71) : est le tenseur de transformation normalisé. > 0 : est le facteur de transformation.Cette équation est utilisée pour le cas d'une transformation de phase pour un chargementproportionnel, ou l'effet de réorientation est négligeable.La contrainte effective (la force thermodynamique conjugué de la déformation detransformationeffmE ):G Em (72)eff '1 = eff eff- (73)3eff': est la contrainte "déviatoric" effective.La contrainte effective de Von Misesdonnées par:eff et la déformation de transformation effective sonteff =3 eff ' eff ' et2 mE23EmEm(74)Pour déterminer le facteur de transformation , trois cas du chargement sont possibles:Cas: la contrainte isotherme:Dans le cas des polycristaux des AMFs, la déformation de transformation est souventplus faible que dans le cas des monocristaux [80]. Ce qui implique que les variantes demartensite développées dans les polycristaux s'orientent elles mêmes dans les différentesdirections. En plus, l'augmentation de la fraction volumique de la martensite peut65

provoquer l'augmentation de la déformation de transformation macroscopique effective m.E23. mE. mEà différents stades de transformation.Le facteur de transformation peut être écrit comme:. = H .; H > 0 (75)H : correspond à la contrainte de traction uni axial maximale (constante) .Cas : la charge appliquée constante.On considère la déformation maximale obtenue par refroidissement de l'austénite aumartensite est différente sous différents niveaux de chargement thermique appliqué. Cettedéformation est fonction de charge appliquée et de nombre de cycles.Le facteur de transformation proposé peut s'écrire comme:. = Hcur ( ). (76)curH ( ) : est la déformation de transformation maximale (expérimentalement, elle peut êtreobtenue par un recuit et / ou par un revenu ).La forme donnée pour le facteur de transformation implique que l'incrément demErésultantde la même quantité de l'incrément de est identique à travers la phase de transformation. Ilest donc raisonnable que cette équation est aussi valable pour le cas de déchargement(martensite - austénite).Cas: la contrainte et la température sont variables pendant la transformationde phase.Dans ce cas, la même équation peut être utilisée si la réorientation des variantesexistantes n'est pas considérée. En effet, quand la température diminue, l'alliage se transformede l'austénite en martensite, la force appliquée oriente la martensite et induit une déformationde transformation. Elle relaxe les contraintes internes dans l'élément de structure formé, etensuite elle fait diminuer la contrainte appliquée. Dans tel cas, il n'y a pas de réorientation demartensite provoquée, ainsi l'équation ( 71) est valable.66

Au cours de la décharge, on suppose que la déformation de transformation est déterminée par maxun rapport de Em / E mmaxégale à / .mmaxE : correspond à la déformation de transformation effective à la décharge.max: correspond à la fraction volumique totale.Le facteur de transformation inverse s'écrit donc :.mmmax = ( E /max ) .(77)En combinant les 3 cas, la déformation de transformation.mE =mE peut être exprimée par:. = 3 eff '( ).. curmmaxmax H 0;E / 0 (78)2eff : le tenseur de transformation .Eq (78 ) peut être intégrée, elle se réduit à une forme simple dans les deux premiers cas dechargement:mE = (79)Si la contrainte et la température varient ( chargement non proportionnel ), l'équation devientdifficile à intégrer.3 ème cas: Evolution des contraintes , (contraintes locales résiduelles).Les contraintes, , sont liées physiquement au contraintes résiduelles associées àl'hétérogénéité de matériau (changement de la microstructure).Deux possibilités sont à considérer :- Hétérogénéité provenant de la transformation de phase initiale:Cette possibilité résulte principalement de la différence de composition chimique (précipités,annihilation desdislocations etc..). Ce cas est représenté par un champ de contraintesrésiduelles. Les deux variables sont données par une portion moyennem 0 ,m0 .- Hétérogénéité provenant de la transformation de phase:67

Pendant la transformation, la distribution des variantes de martensite et leurs interactions avecles joints de grains, ou / et entre elles mêmes introduisent une hétérogénéité supplémentaire.Pour ce type deux différents aspects sont associés.Une hétérogénéité due à des variantes moins actives, l'effet moyenne est représenté par un1champ des contraintes résiduelles m1 , m . Une hétérogénéité reliée aux contraintes résiduelles provenant de la déformation de2transformation, elle est déterminée par les contraintes m2 , m .Ces trois contraintes sont supposés agir indépendamment, l'effet final est obtenu par unesommation de trois portions individuellement.m0 m1m2 (80) (81)m0 m1m20- Evolution de m0 , m associées à une hétérogénéité initiale.On suppose que l'énergie élastique de Gibbsel G 0associée aux premiers défauts entrel'austénite et la martensite est purement produite par l'interaction de ces premiers défauts avecla variante de martensite en un point particulier de matériau. Comme ces défauts (dislocations,précipités, des trous, …) ont une certaine orientation,d'orientation.el G 0marque aussi un effetel G 0dépend; de la position, yi( un point matériel dans EVR), d'un paramètre qui indique le lien entre les variantes de martensite. L'énergieel G 0s'écrit :el G 0= ( y , )(82)elG 0iPour obtenir l'effet deel G 0sur la transformation de phase sous différent chargement, nousintroduisons une fonction d'énergie en chaque point du matériau.1 *el ( yi, ) = G 0( yi, ) - ( y i) (83) : est la différence d'énergie libre locale de Gibbs variant d'un point à un autre point si leschamps de contrainte et de température sont supposés uniformes dans EVR, et S = 0 .68

Si est sélectionnée comme variante au point* y , nous avons ( ) =iy i*m,k (amplitude dedéformation de transformation dans le domainem,k), dans ce casel G 0= ( y , ) laelG 0imoyenne de dansm,kest donnée par:1 =m,km , k1 el 1 * dV = ( G) dVm k0, m , k 1 el 1 * m , k= ( G) dVm k0, m , k0el m,k= G ( ) -1 * mt , k * m , k ( ) (84)*mt ,k: la moyenne de l'amplitude de déformation de transformation due au proprechangement de forme.* m ,k: la moyenne de l'amplitude de déformation de transformation due au changementthermique entre les deux phases.Sim,k 0 l'équation (84) devient:el 1 E m E = G0 ( ) - ( )(85) ESi on considère que la température est uniforme, et si on néglige l'interaction aux voisinages2des points , m1 , m 1 2, m , m 0 .Si en plus, on considère que les tenseurs de compliance sont identiques S = 0, en comparantà l'équation (83): = G =eff E m 1 SET c[(T T0 ) Tln( )] s0(T T0) 2 T0+ (86)chG 0On peut remarquer que est la valeur négative de la fonction sous des conditions limitessur .69

=1 m0( yk) * ( yk) G0 Gmin01 E m E ) - ( )(87) EL'orientation de la variante de martensite et la déformation de transformation locale aupoint yi, peuvent être déterminées par minimisation de la fonction d'énergie en fonction deparamètre . ( , y ) min ( y ,)ii(88)Avec : la variante qui minimise au point yi:Nous définissons alorsG 0( yi) comme:el G 0( yi) = G 0( yi, )(89)A contrainte appliquée,G 0( yi), ne peut pas être égale àmin G 0qui est définie par:minel G ( y ) = min G ( y , )(90)0 i0 iEn plus, *etG 0sont respectivement égales àm ,k * etel G 0avec les hypothèses quela température et la contrainte sont uniformes et S = 0.Dans le cas d'une contrainte locale équivalentetransformation de phase on a :1 m0( yk) * ( y* En remplaçant ( ) pary kel G 0sera donnée par:k) G*m,k et0 Gmin0G 0parm0el G 0., en donnant une direction privilégiée à la(91)el G 0(m , m,k 1 ) =m, k1el G 0dV =m, k1( m0* m,k Gmin0) dV(92)En négligeant le terme*mt, , l'Eq (92) devient:el G 0=m0*mt ,km0 (93)m0 etm0 sont données par:m0 m0 m,k = ( )m0 =1 =m, k1 =m, km0 m,k ( )En tenant compte des Eqs (46), (78) , l'Eq (93) devient:m0 dV(94)m0* m,kmin( G) dV(95)070

el G 0=m0E Mm0 = m0m0 (96)m0 ,température.m0 sont les charges thermomécaniques qui sont fonctions, de la contrainte et de laSi on néglige l'influence de la contrainte appliquée on obtient:el 1 G 0= m0 Gmin0etm0 = 0 (97)- Evolution de l'hétérogénéité due à l'incompatibilité géométrique des différentesvariantes et des joints des grains:On considère que la progression de la martensite est située localement suivantdifférentes directions . En effet, avec la croissance de la martensite, plusieurs obstacles entrenten jeu.En présence de ces obstacles, la formation de la martensite devient très difficile, cet effet peutêtre minimisé par auto accommodation, car la transformation de phase localement estgouvernée par la minimisation de l'énergie de déformation élastique. La transformation dephase prouve un déplacement global qui fait diminuer le potentiel des forces appliquées. Cedurcissement apparent n'a pas d'effet important au début de la transformation de phase, maisquand la transformation de phase devient complète, le taux d'énergie d'interaction devant laquantité de l'incrément de martensite devient grand.Pour expliquer ce durcissement du à l'hétérogénéité matérielle on utilise lesLes effets dem1m1 et de sont proposés comme:m1 m1 et .avec :m1m0 m1 Em1 + = D3 [ ln(1)] mE(98)D3et m1sont des fonctions dépendantes de la charge. Une forme identique de fonction estdonnée pourm0 m1 + :m0 +m1m1 Em2 = D5 [ ln(1)] mE(99)71

D5et m2sont des fonctions dépendantes de la charge.- Hétérogénéité associée avec la progression de l'inclusion de la martensite :Cette hétérogénéité peut être produite lors de la progression de l'inclusion de lamartensite durant la formation de la transformation de phase ou lors de la décharge , cettehétérogénéité signifie une distorsion de l'énergie élastique. Cette énergie, peut être importanteque celle due à la formation de début de la martensite, ce mécanisme est identique à uneréaction de chaîne et il est appelé " effet auto- catalytique [81, 82].Pour estimer cette énergie d'interaction de progression de martensite ou de l'austénite lors dela décharge, une analyse micro mécanique est utilisée par {64].On considère une contraintem2 produite par l'amplitude de la déformation de transformationdans un milieu homogène, cette contrainte est due aucontraintem,k 2 due au*m,k sur le domainem,k .*m sur le domainem , et uneEn utilisant l'Eqs (34), (36a) et (36b) , les contraintesm2 correspondant àm2 etm2correspondant àavec;m,k 2 sont:m2 1 m21 m,k 2 = ( ) dVm,km, k 21m2m2m,k 2 * mt,k = ( ) dVm, km,k 2*mt,k est donnée par l'Eq (38)1(100)(101)En tenant compte des Eqs (30), (46) et (101), l'énergie de déformation d'interaction élastiqueassociée aux termesHypothèses:(m2 m,k 2 et est donnée par:1 Nm2m,k 2 * mt , k- On considèrem,k 2 =,k( k 1 m,k, avecm,k1 2) dV )E mm2m2= ( ) d(102), une très petite région devant . Au voisinage de,k la contrainte près de l'inclusion à l'infini.En utilisant Tanaka- Mori's [83], la moyenne de 0dans la matrice est::m,k ,2 = (103)avec;72

N 1 dVm (104)m k1 ,mN k 1m,k(105)m2- Si on considère que peut être remplacée par < m2>, et en notant que la déformation detransformation est supposée purement deviatoric, en substituant, Eqs (43), (46), (10 4) dans(102) on a alors:E mm2m2 ( ) d= - 1 N1 ,k * mt( (' ), k dV ) m k 20k 1 ,N1',k ' * mt,k * mt,k= ( dV m k (),2m,kk 1m' E= ( D0 ) d(106)0kAvec,' , etk ' sont les parties deviatoric de et'k respectivement et D0est donnée par:D01, k * mt,kdVm,k2 (106)m,kD0: est interprété comme l'énergie de déformation élastique par unité de volume d'uneinclusion dans un milieu infini sous action de l'amplitude de déformation*mt,k . Elle décritl'accumulation de l'énergie élastique lors de la progression de la transformation de phase.La quantité' est la moyenne de , dans le domaine'm . Leurs magnitudesdépendent de l'orientation et de la forme de chaque variante de martensite, mais ne dépend pasdu volume total de martensite,En exploitant les expression des Eqs (78) et (105) on a: ' reste constante dépend uniquement de appliquée.Avec ;0m2m21 2( )d D0 2 : est donnée par l'équation (105). ' peut être estimée à:' (107) ' = - D (108)273

D2: Paramètre du matériau, dépend de la forme d'inclusion de martensite dans EVR.Dans l'équation (107) on ajoute un terme de correction à la droite, ce terme provient dem2m2l'hypothèse que l'on a posée = < >.1 2En substituant l'équation (107) dans (108) en ajoutant D4on obtient:2m2m21 ( )d D0 D2202122 D4(109)En comparant ces termes à droite et à gauche de l'Eq (109) on peut identifier que:m 22 D (110)m 2 D4 D0(111)Finalement, l'expression de et pour un AMFs recuit sous chargement proportionnels'écrit:Avec;mEm1 = D3 [ ln(1)] mEmEm2 = D5 [ ln(1)] mEE(7 5)D2=215(1 )11+ D 2(112)+ D4 D0 (113)D2: Fonction de la forme de l'inclusion dans EVR et de chargement.D4: est introduit pour tenir compte de l'effet auto- accommodation(114)Dans le cas général, pour un chargement non proportionnel, l'évolution des contraintesrésiduelles est la suivantemcurE H m1 = D3 [ ln(1 )] mHEmEm2 = D5 [ ln(1)] mE11+ D 2 + D 1(115)+ D4 D0 (116)74

MODELISATION DE CHARGEMENT CYCLIQUEOn a représenté un formulaire mathématique permettant d'établir une réponsethermomécanique des AMFs sans tenir compte de l'évolution de la déformation plastique. Lechangement de structure est relié aux contraintes internes résiduelles.Il nous semble important de suivre l'évolution de la déformation plastique en fonction dechargement cyclique en examinant: L'évolution de la déformation plastique pendant le chargement cyclique. L'effet de structure due à la déformation plastique sur la transformation de phase.Le premier problème a une grande importance pratique à cause de l'accumulation de laplasticité dans les alliages au cours des sollicitations.Le second, est aussi important dans les déformations des alliages éduqués, et dans les courbes(température- déformation, contrainte- déformation, cycles d'hystérésis etc..).Dans ce modèle, 'évolution de la structure est décrit par les contraintes résiduelles déterminéesprécédemment . La méthodologie utilisée pour construire ce modèle est semblable à celledéveloppée dans la théorie de viscoplasticité sans rapport de surface, ou le temps est définicomme étant l'accumulation de la valeur absolue de l'incrément de la fraction volumique demartensite. L'incrément de la fraction est utilisé dans ce modèle pour remplacer le réel tempsutilisé dans les modèles viscoplastiques .EVOLUTION DE LA DEFORMATION PLASTIQUEOn considère que l'écoulement plastique est donné par [84]:. PE .(117)ou . est le facteur d'écoulement. Ainsi,. .p = E (118)Le taux de la déformation plastique est fortement dépendant de la magnitude de chargementappliqué. Il dépend également de l'accumulation de la déformation plastique.Dans ce modèle, on se base sur des conditions micro mécaniques, le taux de la déformationplastique peut être influencé par l'évolution de la microstructure, qui est supposée fonction dela fraction volumique de la martensite.75

.pE =f (.pd , E , ,sign( )) (119)d définit comme:t. dd ( ) d, d (120)H0H curou H est la valeur maximale decurH pour les grandes valeurs de , t est le temps.Selon la théorie cinétique des dislocations, cette formulation peut être écrite:.pE = Dp( ,sign( )( )z r1d(121)r1: constante de matériau, qui engendre le taux de l'évolution de la déformation plastique.La fonctiontransformation de phase.pD représente l'effet de la plasticité créée non uniforme pendant laNotons que le présent modèle tient compte de l'évolution de ladéformation plastique dans le cas où les chargements appliqués ne dépassent pas la limiteréelle de la déformation plastique de la martensite et de l'austénite.Dans la section suivante on représente un modèle thermodynamique en présence des défauts. APPROCHE MICROMECANIQUE DU COMPORTEMENT EN FATIGUE D'UNAMF MONOCRISTALLIN DANS LE DOMAINE SUPER ELASTIQUE [ 56 ]Il s'agit d'un modèle qui permet d'étudier les effets des interactions entre la variante de lamartensite formée à partir d'un élément de volume d'austénite d'un AMF monocristallin et lesdéfauts crées lors d'un chargement cyclique (schéma 2).Fraction volumique de la martensitefZone plastiquedans le volume d'austéniteFractionZone plastiquedans le volume de MartensiteFaFraction FMSchéma 2: Microstructure et domaines déformés plastiquement dans un monocristal.76

1- Cinématique:On considère une phase d'austénite de volumeVM, chaque phase contient une certaine quantité de défauts.Va, et une phase de martensite de volumeLe volumepa.Avec;Vaest formé d'un volumeVpade défauts (dislocations) de déformation plastiqueVa= V pa+ V aa(122)Vaa: volume d'austénite libre de transformation.Le volumeVMest constitué de VpMde défauts de déformation plastique pM.VM= V pM+ V MM(123)VMM: volume de martensite de déformation transformation inélastiqueDu point de vue cinématique, le champ de déformation local est composé par unetransformation élastiquep .e , une déformation thermiquetht ., et une déformation plastiqueOn considère qu'une seule variante est activée parmi les 24 cristallographiquement possibles,avec une déformation de transformation uniforme de valeurLes mêmes hypothèses pour le champ de la déformation plastique:t de volume VM.ppa papM pM ( r) ( r) ( r)(124)papM (r) respectivement (r)sont des fonctions indicatrices de volume VparespectivementVpM.Pour des faibles déformations, la déformation macroscopique est:paE pMtpa( r)dVV pM+ ( r)dVV V t+ 1 e( r)dV + 1 thdV + dVVOn suppose que les déformations élastique et thermique sont uniformes:V VV VV V(125)V Ve th t VMpa pa VapM pM VME E E (126)V V V V Ve th t pa apM M= E E f F (1 f ) F faM77

Avec;fVM ;VVa paF ;VaVM pMF (127)VMLes fractions volumiques de chaque phase en transformation.2- Potentiel Thermodynamique en présence des défauts:On considère que l'énergie libre est composée d'une énergie chimique, d'une énergieélastique, et d'une énergie potentielle due au changement du système.L'énergie libre est fonction d'une série de paramètres (contrainte, Température) et desvariables internes reliées à la transformation de déformation et des paramètres microscopiquesdues aux chargements cycliques:Le potentiel ainsi s'écrit:t p 1t pa apM M 1in ( ,T , , ) SB(T T0 ) f ( f F (1 f ) F f ) (r) ( r)dV (128)22V : contrainte interne reliée à la déformation inélastiquein : est composée d'une déformation de transformation et de contribution des déformationsplastiques.On considère que l'énergie d'interaction due aux incompatibilités de déformation inélastiquein .in peut être composée des différentes contributions d'origine physique,uniforme, l'intégral dans l'expression du potentiel notéinW :Vin est supposéeAvec;1ininW = ( r) ( r)dV =2VVV2VVVMM t MM pa pa pa pM pM t pM ( ) (129)2Vx 1in ( r) ( r)dV(130)2VV XL'indice x est référé aux volumesV aa, VpM, Vpa2VinW =12f (112M t MMa pa paM pM t pM F ) (1 f ) F fF ( ) (131)7812

On considère des inclusions plastiques sphériques, en utilisant Eshelby, le champ descontraintes internes s'écrit dans chaque domaine comme:MM pM (132)pM M pM F (133)pa pa (134)En tenant compte des différentes contraintes, l'énergie d'interaction 2ina pa pa M pM pMW = [(1 f ) F fF ]inW devient:(135)On considère que la fraction volumique des zones plastiques au voisinage de la martensite estproportionnelle à la fraction des zones plastiques de l'austénite. La fractionégalement fonction de la fraction volumique de la martensite f .En tenant compte de ces deux considérations, la relation enavec;FMMFs’écrit:MFest supposéea F ( 1af )(136)Le paramètre "a" est un coefficient inconnu. Finalement pour des faibles valeurs deaF . Le potentiel devient:MF et det p 1a pa paa pM pM ( ,T, , ) SB(T T0) f [(1 f ) F f (1 af ) F ] (137)22Par dérivation du potentiel, on obtient la force dérivée pour la transformation:f F B2t a pa pa pM pMa pM pM( T T0 ) F ( ) afF (138)Le modèle est appliqué pour un alliage à mémoire de forme CuZnAl, sous des conditionsexpérimentales T exp = -174°C B = 0.2 J K -1 . La déformation de transformationvaleur 8.5%, le coefficient inconnu a = 1.t est d'une deSur la figure 16, on représente les résultats du modèle, évolution de la contrainte en fonctionde la déformation en faisant varier la fraction volumique d'austéniteaF .79

Figure 16: Evolution de la contrainte en fonction de la déformation cas d'un monocristalA partir de ces résultats, les calculs montrent que les faibles quantités des défauts crées sontresponsables du changement du comportement mécanique..En comparant les deux modèles [56, 71]:- Le premier modèle a décrit un potentiel thermodynamique fonction de l'évolution de ladéformation plastique, et deux champs de contraintes internes dues respectivement à latransformation de phase et à l'évolution de la structure après accumulation de ladéformation plastique d'un alliage AMF .- Le second modèle, décrit un potentiel thermodynamique en présence des défauts formésaprès fatigue. Il ne tient pas compte de l'évolution de la déformation plastique.Les deux modèles utilisent une approche thermodynamique, seulement aucun des deux n'autilisé des concepts microscopiques. A partir de ces modèles, il nous semble important dedécrire cette complexité du système en insistant sur les défauts crées après fatigue(dislocations).80

CONCLUSIONDans ce chapitre, on a représenté quelques résultats de fatigue des alliages à mémoire deforme. Ensuite, on a représenté quelques modèles du comportement en fatigue des AMFs .Dans les alliages à mémoire de forme fatigués, les résultats expérimentaux ont montré desmodifications aussi bien dans les propriétés mécaniques, thermiques et microstructurales.L'introduction des défauts après fatigue entraîne l'accumulation d'une déformation résiduellepermanente.A partir de ces résultats et de ces modèles présentés. Les effets de la plasticité et del'évolution de structure qui sont à la base de l'hétérogénéité du système après fatigue, sont liésà des champs de contraintes internes d'incompatibilités résultant de la répartition hétérogènedes dislocations. Ces contraintes sont prise, en considération dans les deux approchesprésentées.La modélisation thermodynamique illustrée par l'approche de BO. LAGOUDAS, a faitune série d'équations dont les paramètres sont fonctions à la fois de l'histoire du matériau etdes dissipations internes.Dans le modèle micro mécanique présenté par E. PATOOR, particulièrement adapté à unmonocristal, la méthode utilisée ne converge pas vers une modélisation de l'évolution de lastructure.A partir de ces résultats, il nous semble important de réaliser un modèle qui seracapable de tenir compte des différents paramètres macro - micro afin de décrire les différentseffets influençants sur le comportement en fatigue de l'alliage. Ce modèle sera validé parcomparaison aux résultats expérimentaux. Il permet le couplage entre la transformationmartensitique et l'évolution de structure établie au cours du cyclage. Il permet de déterminerl'influence de la plasticité sur le comportement en fatigue des alliages à mémoire de forme etd'établir les mécanismes nécessaires lors de la déformation et de l'évolution de la structure.81

CHAPITRE IIIMODELISATION DE LA LOI DU COMPORTEMENTEN FATIGUEDES ALLIAGES A MEMOIRE DE FORME MONOCRISTALLINS INTRODUCTION 82 GENERALITES 83FORMALISME1- Principes généraux. 842- Les éléments de base: cinématique de la transformation 853- Formalisme général: potentiel thermodynamique-métallurgique 88e h h Cas d'un solide élastique : ( T,, , , f )89ep h Cas d'un solide présentant une plasticité : ( , f ) 921- La théorie de la plasticité. 932- Position du problème 933- Choix des variables internes ( fonction de charge) 95p4- Champ des contraintes internes d'incompatibilité entre leszones plastiques et les variantes 98 COUPLAGE 99 CONCLUSION 10182

MODELISATION DE LA LOI DU COMPORTEMENTEN FATIGUEDES ALLIAGES A MEMOIRE DE FORME MONOCRISTALLINSINTRODUCTIONDans les alliages à mémoire de forme (AMFs), l'existence d'une transition de phaseinduit de nouveaux mécanismes (microplasticité) dont les effets se superposent à ceux desmécanismes classiques.Ces nouveaux mécanismes sont intrinsèquement liés: aux caractéristiques du changement de phase (températures de transformations,compositions,... ), aux modes de déformation, aux changements de structures créés au cours de transformation, aux interactions entre les dislocations et les plaquettes de martensite, à la localisation de la déformation plastique dans les zones transformées.Ils peuvent intervenirde façon couplée.A des sollicitations répétées, plusieurs variables doivent être prises en compte, le mode desollicitation, la température d’essai, la contrainte critique, la déformation imposée, lescontraintes internes, les températures de transformation, la déformation plastique, les fractionsvolumiques de la martensite et de la structure des dislocations formées lors de la fatigue.L'ensemble de ces paramètres rend l'analyse du comportement très complexe.L’objectif de ce chapitre est de présenter un modèle de calcul qui permet de décrire lecomportement en fatigue d'un alliage à mémoire de forme, de réaliser le couplage entre lesvariantes de martensite et les dislocations .Du point de vue méthode, ce modèle utilise:- la cinématique de la transformation,- un potentiel thermodynamique métallurgique associé à la transformation martensitique.- un module métallurgique fondé sur la connaissance des paramètres physiques qui sont àl'origine des concepts microscopiques.- un champ des contraintes internes d’incompatibilité entre les zones riches en dislocationset la variante de martensite.83

GENERALITESUn grand nombre de résultats ont été obtenus dans les alliages à mémoire de forme( AMF s), en particuliers dans le domaine mécanique. On précise le mécanisme réversible dela transformation martensitique [9 , 10, 19, 31, 57].La déformation de l’alliage se traduit par une variation de la fraction volumique de martensite(variable interne) et de la déformation de transformation.Un autre type de déformation a été également étudié, il s'agit d'une déformation parréorientation des variantes due au mouvement des interfaces entre l'austénite et la martensiteet inversement [8, 11]. Cette transformation, à l'opposée de celle attachée à la transformationde phase n'est provoquée que par une application d'une contrainte d'une manière orientée dansle sens de cisaillement d'une variante donnée. Le résultat de cette technique produit unedéformation opposée à la première inférieure à celle obtenue pour la transformation de phase.A des sollicitations cycliques "essais de fatigue", la structure continue à évoluer. Ceci entraînedes modifications : dans les propriétés mécaniques (contrainte critique) [18, 25]. dans les propriétés thermiques (températures de transformations) [21, 26], dans les propriétés microstructurales (formation des parois de dislocations) [22].Ces essais sur les AMF présentent un caractère d'irréversibilité particulier, établissementd'une structure des dislocations où se localise une déformation plastique permanente. Cettehétérogénéité a un caractère plus microscopique, elle correspond à des perturbations riches endislocations qui glissent dans des plans de glissement privilégiés.De nombreux travaux, modèles de Marikawa et Tajiwara [26], attribuent cette origine desdéfauts créés à des contraintes internes normales au plan de glissement des dislocations.D'autres modèles M. Sade et al [85], ont montré que cette évolution de microstructure est dueà un autre type de mécanisme de déformation, interaction entre les dislocations et lesvariantes.E. Patoor et al, à l'aide d'une approche micromécanique ont développé un potentielthermodynamique en présence des défauts (des dislocations formées lors d'un chargementcyclique). Le modèle a pris en considération des champs des contraintes internesd'incompatibilités de déformation résultant des défauts formés dans chaque phase plastifiée.Des champs fonctions de la déformation plastique (chapitre II ).Le modèle n'a pas convergé vers l'évolution ni de la déformation plastique, ni de lamicrostructure.84

Dimitrie Lagoudas et al [71], ont décrit un modèle thermodynamique d'un AMFpolycristallin. Le modèle tient compte d'une série de paramètres (constantes) liés auchargement cyclique du matériau.Des constantes reliées à la transformation de chaque phase et à l'évolution des champs descontraintes internes dues à la transformation de la première phase (martensite) et la secondephase en évolution microstructurale.Le modèle considère en deuxième lieu la déformation plastique comme variable internefonction de l'écoulement plastique. Ce modèle n'a pas utilisé des concepts microscopiquesd'origine métallographique tel que l'interaction entre les dislocations et entre les variantes..Pour étudier le phénomène de l'hétérogénéité dans les AMFs , il nous semble importantd'intégrer au niveau des modèles homogénéisés continus, des phénomènes qui se situent àl'échelle du discontinu, l'introduction par exemple du concept des dislocations.Le but de ce chapitre est de développer un modèle qui permet de décrire cette hétérogénéitéde structures.Le modèle sera fondé sur des principes généraux gouvernant des variables représentatives del'état du matériau. En tenant compte des actions à distance (contraintes internesd'incompatibilité entre les zones riches en dislocations et les zones pauvres en dislocations),de la déformation plastique prise comme variable imposée (variable de fatigue) associée auphénomène de durcissement et de l'écrouissage, de la fraction volumique de la variante(variable interne), de la fraction volumique de la zone plastique.Le modèle nous permet: de s’approcher d’avantage de la réalité non encore ou peu traitée. d'augmenter la précision sur l'étude globale du comportement des AMF de fournir des informations et des lois complémentaires sur la transformationmartensitique qualifiée de micro mécanique. d'associer à chaque phénomène une variable, et d'associer à chaque variable une loi.FORMALISME1- Principes générauxPour la cinématique de la transformation, on considère comme élément de basepour la modélisation du comportement en fatigue du matériau, la déformation de85

transformation.Cette déformation intrinsèque est fonction de la nature de transformation, de la variationde volume, de l'amplitude du cisaillement associée au changement de phase et detenseur d'orientation de la variante activée.Dans le cas d'un mécanisme de simple déformation, on choisit un potentielthermodynamique - métallurgique associé à une transformation martensitique. Cepotentiel est défini à partir de l'énergie d'Helmoltz.L'aspect hétérogène (évolution de la structure), découle de l'analyse microscopique de ladéformation, de la signification physique des différents paramètres compatibles auxchangements de structure.Le couplage décrit l'état du système entre les deux transformations (transformationmartensitique et l'évolution de structure), il sera lié directement à l’interaction entre les deuxtransformations.Les résultats obtenus pour un élément de volume mettent en évidence les principauxmécanismes établis au cours des transformations.2- Les éléments de base: cinématique de la transformationOn considère un élément de volume représentatif V d'austénite, sous chargement, unepartie de volume se transforme en martensiteavec;hhMhVM.V V a V(1)Va: volume d'austénite non transformé (schéma 1).On suppose que la déformation macroscopique totale- d'une déformation macroscopique élastiqueeEij,- d'une déformation macroscopique de transformation E trij,- d'une déformation macroscopique plastiqueEijeijtrijpijpEij.Eijest la somme: E E E(2)86

volumeinitialVV a-a-VMSchéma 1: schéma d'une microstructure après transformation cyclique- a- formation de la variante domaine « ».- b- bandes, ou parois de dislocations domaine plastique « p ».Vpp-b-A partir de ces définitions discutées ci-dessus, plusieurs hypothèses peuvent être utilisées:Chaque déformation " Eij " peut être obtenue à partir de la moyenne volumique de toutes lesdéformations locales ij dans un domaine { D ouEij1VDijdVD p} correspondant:(3)Toutes les contraintes satisfont à l'équation d'équilibre dans le domaine . ij , j 0 dans et n(4)iij*jOn définit comme élément de base pour cette modélisation, la déformation de transformationassociée à la formation d'une variante de martensite87hijdonnée par:trhij (r)= hij (r)(5)hr : vecteur position de la variante active, h (r)est définie comme:h (r) = 0 sir VhM ; = 1 si rhh VM (6)hSelon la théorie de transformation martensitique, la déformation de transformation est donnéepar:trij =hRij: est le tenseur d'orientation,g (7)hh h h h gR ( n m n m )ijh 2i j j ihg : est l'amplitude de déplacement dans la direction de transformation,hnethm sont respectivement la normale au plan d'habitat et la direction de transformationde la variante h (schéma 2).

X 1n mX 2Schéma 2: représentation d'une déformation de transformation par un élément de volumeLa déformation de transformation macroscopique s'écrit:Avec:trEij =1VtrijdVtr V= ijVhhMtr h= ij fh h= g R ijf(8)hhh Vf h M= V(9)La fraction volumique occupée de la variante h (la plus activée), parmi les 24 variablescristallographiquement possibles.Les limitations physiques se traduisent par:fh00hfh1Suivant l'hypothèse de faibles déformations, la déformation macroscopique plastiquepEijs'écrit:1ppE =V p(9b)Va1 pdV = ( dVV V) (10)pa On substitue les Eqs (1), (9) dans l'Eq (10),phE = 1f ]hpg[ 1E = dV =pVa ppEijs'écrit:pEg(11)88

pgpVp p= p f(12)VaE : la déformation plastique totale accumulée dans l'échantillon après fatigue.p : la déformation plastique moyenne dans l'inclusion (domainep ou parois desdislocations), elle peut être considérée comme une variable de fatigue due àl'écoulement plastique.pf =VVpaLa fraction volumique de la région plastifiéep .Vp: représente le volume de la paroi des dislocations formées,En tenant compte de l'Eq (12), la déformation plastique macroscopique s'écrit:phE [ 1f ] hp(13)pf (14)Mathématiquement cette relation peut relier la frontière entre le domaine martensitique et ledomaine en évolution au cours de la fatigue.Pour un essai de fatigue à déformation plastique imposée,p est fonction de mode desollicitation et de tenseur d'orientation des parois des dislocations formées lors de la fatigue,elle peut être exprimée par la relation suivante:Avec;pijpp pp P P P= Rij ( NiMj NjMi)(15)2pN : le vecteur normal à la paroi des dislocations,de glissement des dislocations.Mp: représente la direction du planp: représente l'amplitude de déformation plastique imposée.3- Formalisme général: potentiel thermodynamique - métallurgiqueNotons toutefois, que la thermodynamique présentée ici sera utilisée sans thermiquepour la plupart des phénomènes étudiés mais son cadre est très précieux pour guider et limiterles choix possibles de la modélisation phénoménologique.On considère un potentiel thermodynamique - métallurgique comme :89

e tr p h (T,, , , , f )(16)On suppose que le comportement élastique est indépendant du comportement plastique, ceciimpose d'écrire l'énergie libre sous la forme:e tr hp p ( T,, , , f ) ( , f )(17)epe h hLe premier potentiel ( T, , , , f ) à fait l'objet de plusieurs travaux [9, 14, 15, 31, 58],eil permet de décrire l'état d'un système austénite - martensite sans donner de précisions surl'évolution de la structure et en particulier sans tenir compte de la complexité de la structurep p(l'hétérogénéité). Le second potentiel ( , f ), potentiel inélastique découle des conceptspmicroscopiques, il permet de fournir des lois de comportement complémentaires en tenantcompte de l'évolution de la structure, et de l'accumulation des défauts (dislocations).e h h Cas d'un solide élastique (pas de plasticité) : ( T,, , , f )Dans ce paragraphe sont rassemblés les principaux résultats des modèles décrivant l'étatd'un AMF au cours de la transformation martensitique [9, 31, 32, 58].L'énergie libre s'écrit :e h he tr ( T, , , , f ) = E :E (GWW)e (18):ch surf ee- : E : représente l'énergie mécanique associée au champ de contrainte appliquée .- G ch: correspond à l'énergie chimique due au changement de transformation, elle estdéfinie comme une fonction linéaire de la température [9, 31, 49]:h G ch = B ( T T0 ) f(19)hB : coefficient de proportionnalité,T0: température d'équilibre thermodynamique des deux phases [31].Lors de chargement T0s'écrit:T M (M M f(20)0 s fs)Ms: température de début de martensite,M : température de fin de martensite.fLors de déchargement T0s'écrit:90

T A ( A A f(21)0 f Sf)As: température de début d'austénite,Af: température de fin d'austénite.Lors de refroidissement à contrainte nulle jusqu'à une température T= M ( f 0), on a: G ch = 0 ce qui donne T0 MsA la fin de transformation (saturation) , T = M ( f 1), dans ce cas on a: = 0 ce qui donne T ( M f M )G ch0 sfs- Wsurf: correspond à l'énergie de surface associée à la formation de l'interface austénitemartensite, elle est proportionnelle à la surface totale de l'interface .Wsurf = (22)Cette énergie devient très faible devant les autres énergies 5210 cal / cm[12].- We: représente l'énergie de déformation élastique, elle est la somme de deux termes:We 21ijMijklkl1tr- ij ijdV2VLe premier terme, représente l'énergie de déformation élastique due aux contraintesappliquées .Le second correspond, à l'énergie de déformation élastique due aux incompatibilités dedéformation entre l'austénite et la martensite, et entre les variantes elles mêmes.Le champ de contraintes internes dans l'intégrale de l'équation (23) est fo nction de lagéométrie de l'inclusion, des propriétés élastiques et de la déformation de transformation.En utilisant la théorie d'Eschelby Kröner relative à une inclusion ellipsoïdale [86], lechamp des contraintes internes s'écrit:(23)ijhklpqtrpqtrpq C ( I S)( E )(24)ijklhklpqLe tenseurCijkl: tenseur d'élasticité,Iklpq: tenseur Identité d'ordre 4,hSklpq: tenseur d'Eschelby associé à la variante h [32, 87].hSklpqest symétrique en (k,l) et (p,q) ce qui se traduit par:91

hklpqhlkpqhlkqpS = S = S =hS klqpOn substitue l'Eq (24) dans l'Eq (23) et après intégrationWe 21ijMijklkl C2Ainsi, le potentiel thermodynamique Eq (18) s'écrit:Wedevient:1 h tr( )(trijklIklpq SklpqEpqpqhh) (25)trijf1e =2 ij M ijklkl ijtrijhhf B T T)(0hfh1 h tr( )(trijklIklpq SklpqEpqpqh C2h) (26)e tr hPour un chargement direct austénite - martensite, ( T , , , , f ) s'écrit:etrijfe =12 ijMijklkltr hh f B(T ( M ( M M ) f ) f +ijijhsfsh1 h tr( )(trijklIklpq SklpqEpqpqh C2Si on développe le dernier terme, l'Eq (27) devient:e =1212 ijMijklhCijkl[ Iklpqkl92h) (27)trijftr hh f B(T ( M ( M M ) f ) f + Sijijh1h h h hhklpq] pqijf Cijkl[I Sklpq]2 h ksCe potentiel décrit l'état d'un système austénite- martensite en absence des défauts dedislocations.e tr hLors d'un chargement inverse ( T , , , , f ) s'écrit:12e =hC12ijkl M ij ijkl[ Iklpq Seklfstr hh f B(T ( A ( A A ) f ) f +ijijhh h h hhklpq] pqijf Cijkl[I Sklpq]2 h kPour suivre l'évolution de la transformation, les forces thermodynamiques correspondantes,nous permettent de définir les conditions pour que la transformation puisse se faire.1fsfkpqhhhijfkijhfhijkfhfk(28)(29)

Suivant l'hypothèse des faibles déformations et selon l'inégalité de Clausius - Duhem,on obtient la contrainte macroscopique comme: e e =E1 eM : E(30)Du même on peut définir les variables forces thermodynamiques associées aux variablesinterneshf . A l'équilibre :Pe feh 0En introduisant l'Eq (7) et en dérivant par rapport àhf on a:(31)B R hij ij ( T T0) gg2h hk k k h C [ Iklpq Sklpq] Rij[Iklpq Sklpq] Rij[ Rpq Rpq] f (32)k ijkl- kCette relation traduit l'activation d'une variante h lorsque sa contrainte résolue atteint unevaleur critique fonction de la température et des interactions entre les variantes de martensite.L'expression (32) peut être réduite à:h BijRij )ghk k( T T0 H f =kBgk( T T ) H hk 0f(33)BLe terme ( T T0) est la contrainte critique initiale supposée identique pour toutes lesgvariantes activées sous les mêmes conditions de contrainte et de température.khkH =gC2ijkl[( Iklpq S ) R - ( I )kklpqkijhklpqS klpqhijhpqR )]( R kpq R ) (34)hkH : représente l'énergie propre des variantes lors des transformations, il représentel'écrouissage au sens de la plasticité de transformation.Cette transformation résulte uniquement de la transformation martensitique.93

p p Cas d'un solide présentant de la plasticité: ( , f )1- Théorie de la plasticité :p(HILL [88], ARGON [89], LEMAITRE [90], CHABOUCHE [91],PADMANABHAN [92], BATHIAS et BAILLON [93])Suite aux observations microscopiques réalisées sur le microscope électronique entransmission [18 , 94], il semble important de tenir compte des mécanismes responsables dela plasticité dans les AMFs , afin de voir comment caractériser l'influence de la déformationplastique sur le comportement macroscopique après fatigue, et comment prédirel'accumulation de la déformation plastique dans les parois formées au cours du chargementcyclique.Dans le cas d’une théorie générale faisant intervenir les paramètres d’écrouissage, l’hypothèsede partition des déformations est liée à l’existence d’une configuration intermédiaire quisimplifie les phénomènes d’élasticité et de la plasticité lorsqu’ils sont présents simultanément.Pour introduire des variables qui permettent de traduire les effets d’écrouissage observés lorsde la fatigue. Il n’y a pas une méthode destinée à définir les variables d’état. C’est par le choixde la nature et du nombre des variables d’état que l’on peut décrire plus ou moins finement leproblème d'écrouissage plastique.Dans notre cas, les variables seront reliées à l’évolution des transformations. La plasticiténécessite l’introduction de la variable déformation plastique, une variable associée à laconfiguration intermédiaire, les autres variables (densité de di slocations, tailles desmicrofissures, cavités…) n’interviennent pas directement dans notre loi. Là encore, c’estl’expérience, le sens physique et bien souvent le type d’application envisagée qui guident cechoix. Pour décrire les processus de l'écoulement plastique, en particulier l'évolution de lap pmicrostructure, il faut développer le potentiel de dissipation ( , f ) .p2- Position du problème:Dans cette section, on s'intéresse à suivre l'évolution de la déformation plastique lorsd'un chargement cyclique.94

La déformation plastique prise comme constante au tout début de la modélisation, dans ceparagraphe sera une variable qui décrit l'écoulement plastique.En élastoplasticité, les déformations n’interviennent que sous la forme de leur partition:ep (35)Soitce qui montre que :e tr hp ( T,, , , f ) = ( , T,,)ee p : variables internes.On utilise l’inégalité de Clausius- Duhem avece (36)95(37) : eTe(38)TPour la loi relative aux dissipations on obtient une expression de la dissipation qui doit êtrepositive :p hqp( , f ) = : p P p . gradT0(39)TOn remarque que le potentiel de dissipation est la somme de produits des variables forces telsque ,Pp, gradT , respectivement à des variablesp , ,La somme des deux premiers termes, définit la dissipation mécanique, c’est la dissipationplastique . Elle représente la différence entre l’énergie dissipée plastiquement et les énergiesq .Tbloquées dans l’élément de volume, par exemple le réseau des dislocations formé.Le second terme est la dissipation thermique par conduction . C’est une loi de la chaleur, ouloi de Fourier, une relation linéaire entre le flux de la chaleur q et sa valeur associée g. Onn’en prend pas compte dans notre étude.Suivant l'hypothèse de découplage entre le comportement élastique et le comportementplastique, et dans le cadre du découplage entre dissipations intrinsèques et thermique, onp psuppose que le potentiel de dissipation ( , f ) vérifie certaines propriétés :p- Une fonction convexe de toutes les composantes des variables correspondantes.- Positif,

Selon l'inégalité de Clausius - Duhem, on peut écrire:oùp p : q P 0 et gradT 0(40)TPP représente la variable force thermodynamique associée à . Par analogie avec lestermes précédents, elle est donnée par:P pP (41)Chaque loi complémentaire d’évolution est linéaire par rapport à sa variable associéecorrespondante.Pour les variables internes, on n’emploie qu’une seule variable cinématique, une variable liéeà l’état actuel de déformation, dans le cas de chargement cyclique, elle peut traduire lescomportements réels à cause de leur évolution au cours de chaque cycle, la variable choisiepest la déformation plastique ( ).Le comportement de plasticité doit être considéré tel qu’on peut imaginer que dans l’espacedes contraintes une surface de charge où l'écoulement plastique existe, cette surface de charge" " est fonction de tenseur de contrainte et de la température.ddPour un écrouissage positif, 0 , on suppose que l'écoulement se produit si les deuxpconditions sont réunies simultanément: 0 et 0 condition de consistance. (42)3- choix des variables internes (Choix de la fonction de charge)Selon les théories de plasticité phénoménologique, si on considère une fonctionobéissant au critère de Von Mises :F ( ,T,Z)(43)où la fonction indique la forme de critère (fonction de Von Mises) de la limite d'élasticitéfaisant intervenir des invariants du tenseur de contrainte .pZ : représente la force thermodynamique associée à la variable interne ( ).En utilisant les relations de normalité on peut écrire:P F (44a)96

F PPoù ; représente le multiplicateur de plasticité.On substitue (39) dans l'équation (34) l'inégalité devient:p p p(T, , , f ) = ( F F: Z )Z(44b) 0(45)Selon les conditions de consistance ( 0 et 0 ), au cours de l'écoulement plastique on a:d ( : + ZZ T) = 0 (46)TEn utilisant les relations entre les variables internes et la variable thermodynamique on a:Z ² T ² + T On substitue (47) dans Eq (46):(47)d ( : + ( ² T+ ² =0 (48) ZT En tenant compte des relations de normalité Eq (44) et pour une température T uniforme on a:: [( ² F ) ] = 0 (49)Z d'où l'on tire : H ( ) = : h (50)avec ;h : le module d'écrouissage positif. ² Fh = ( ) ] 0Zf (51)H ( ) : désigne la fonction d'HeavisideH ( ) 0 si 0 ; = 1 si 0(52)Le symbolex est tel que:x = 0 si x 0(53)x = x si x 0Dans ce cadre, on peut déterminer l'incrément de la déformation plastique Eq (44a):H ( ) F P : :h (54)La définition de la fonction de charge pose un problème difficile dans la mesure où elledépend de la nature d'écrouissage et du mode de sollicitation.97

Dans notre approche, on se limite au cas d'écrouissage cinématique linéaire isotrope employésous chargement cyclique.Le critère de plasticité qui obéit au critère de Von Mises s'exprime sous la forme: j ( Z)k0(55)où;2k : limite d’élasticité, lors de la décharge, il représente la limite élastique avant d’atteindrela contrainte nulle.j2 ( Z): l'invariant des déviateurs de et Z , exprimé comme:'j ( )2=2Z13[ ( Z): ( ' Z)](56)2avec;' 1 = tr( ) 1(57)3La loi " " présentée ici correspond à la translation de la surface de charge de la variable Z(terme d'écrouissage).On suppose que ce terme « Z » peut se traduire sous la forme :dZ Cpdcumuléé(58)C : coefficient de durcissement.pdcumuléé : taux de la déformation plastique cumulée, fonction du nombre de cycle N etde la déformation plastique imposéeppcumuléé 4NpA partir de l'expression de multiplicateur de plasticité l'Eq (43) en remplaçant F par .L'hypothèse de normalité et la condition de consistance conduisent à l'expression:où;pd ==dH ( )h: :h : :représente le module d'écrouissage définit comme:h =23C:(59a)(59b)(60)98

Si on calcule :' 3 ( Z)=2 j ( 'Z)2On tire alors l'incrément de facteur de plasticité:d =32H(f )2C'Zj 2( 'Z)(61)(62)L'incrément de la déformation plastique est alors:p 9d 24Ck (' Z ) : d ' ( ' Z)(63)Une des premières caractéristiques à noter est que ce modèle développé dans ce paragraphecorrespond à une formulation de plasticité classique avec le choix d'une surface de chargelinéaire de l'invariant j2qui permet de donner un écoulement plastique à écrouissagecinématique linéaire.L’identification des coefficients caractéristiques du matériau, C, k se fait en tractioncompression à partir des boucles d’hystérésis, méthodes numériques (Annexe III).4- champ des contraintes internes d'incompatibilité entre les zonesplastiques et la variante.Le modèle est effectué avec une hypothèse de faible déformation, c'est à dire que lesdeux transformations "martensitique et la structure des parois des dislocations" peuvent avoirun déplacement d'ensemble dans la direction de la sollicitation.Les données de l'écrouissage ne peuvent concerner que la phase en évolution structurale. Eneffet, il a été montré que les propriétés mécaniques de la martensite ont relativement peud'effet sur l'état de contraintes internes. Contrairement, dans le cas du métal de base(austénite), les effets des contraintes internes sont importants [94].Pour cette analyse, le modèle suppose que l'austénite seule se plastifie, et que la martensitereste élastique. Au niveau microscopique, le champ des contraintes internes est purementathermique. Le choix de ce champ dépend de la forme du réseau des dislocations formées.Pour notre cas, à la limite des zones affectées, le champ de contraintes présente desparamètres qui sont à corréler à l'expansion volumique de la martensite (variante).99

COUPLAGEConformément à la méthode thermodynamique phénoménologique exposée auxparagraphes précédents, on considère que l'énergie de dissipation s'exprime comme:p ppp( , f ) = E Wine: (64)Wine: représente l'énergie inélastique associée à l'évolution de la structure au cours dechargement cycliqueA la suite de toutes ces considérations données, et par analogie aux énergies exprimées aucours de la transformation de phase, l'énergieWine = -12 *:pV pWines'écrit comme:VpdVa 1 *= ( : dV ) (65)2VVa( ) : champ de contraintes internes due aux incompatibilités de déformation résultant*ijde la répartition hétérogène de dislocations.Cette répartition peut être schématisée sous forme d'un réseau des dislocations verticalrectiligne de longueur infini, formé d'un groupe de dislocations distinctes d'une distance l devecteurs de Burgers b .On suppose que la variante " point M " est située à une distance X du réseau formé, le plande glissement ( O , X,Y)de la variante est défini par un angle et par les coordonnées( X , Y Xtg)(schéma 3).YplMXSchéma 3: Arrangement des dislocations après fatigue sous forme des parois .Par analogie avec le champ de contraintes internes lié à ce type de réseau de Li [103],peut être écrit:100* ij

Avec;* = A [bsin2sh 2sin 2 + ( ch 2cos21) cos 2] (66)2XA ( ch2cos2) ; = ll(1);Y (67)ll : la distance entre deux dislocations de la même paroi (schéma 3), : coefficient du poissonOn substitue l'Eq (66) dans (67) l’énergie inélastique devient [32, 95, 96]:W ineA [ sin22sh 2En tenant compte de l équation (15), l'Eq (68) s'écrit:W ine2A [sin2sh 21sin 2+( ch 2cos21) cos 2]V sin 2+ ( ch 2cos21) cos 2] p R pfp ppdV (68)h( 1 f ) (69)Cette énergie tient compte d'un nombre important de paramètres microscopiques, (ladéformation plastique, la distance entre variante et les parois des dislocations formées, desfractions volumiques de la martensite et des dislocations formées).Si on substitue l'équation (69) dans l'équation (64), le potentiel due à l'écoulement plastiqued'origine métallurgique est alors:p p p p ph ( , f ) f R (1 f ) +A[sin2p( ch 2cos21) cos2]hpfpRpsh 2hsin 2 +h( 1 f )(70)hAinsi le potentiel thermodynamique - métallurgique de l'Eq (17) s'écrit:e tr p h 1p ( T,, , , f ) = : M : + : R (1 f212hC :[ I Sh]:b( ch2cos2)l(1)2+[sin2sh212hkhh) tr tr hh tr : f C :[ I S ]: :pp phf R (1 f )hsin 2+( ch 2cos21) cos 2 ](71)pfptrfhfk101

Le potentiel obtenu décrit le lien entre la transformation martensitique et l'évolution de lamicrostructure. Il tient compte des interactions entre les variantes au sein d'un même grain het k , de l'interaction entre la variante h le (point M) et les dislocations formées (schéma 3). CONCLUSIONDans ce chapitre on a développé un modèle de calcul des transformations dephase en fatigue.Le modèle a été développé pour le cas d'une transformation martensitique seule et enprésence des structures hétérogènes des dislocations.Par rapport aux modèles déjà développés qui permettaient une bonne description ducomportement des alliages à mémoire de forme, on a montré que le calcul thermodynamiquemétallurgique décrit en plus de façon satisfaisante les distributions de microstructures et decouplage entre les deux transformations.Sur le plan théorique, le modèle a mis en évidence des formulations basées sur des conceptsmicroscopiques.Sur le plan numérique, le travail a utilisé des machines informatiques, plus rapides pourrésoudre numériquement les équations.Sur le plan des applications, notre modèle permettra d’élargir la vision et de combler leslacunes des modèles purement mécaniques.Sur le plan des propriétés microscopiques, c’est la théorie de dislocations qui a pu mettreen valeur l’originalité de ce travail.Sur le modèle, il constitue l’apport original sur chacune des grandes classes du comportementet les mécanismes de déformation. Pour le couplage, le modèle choisit un critère dit critère decouplage qui permet de suivre l’évolution de la microstructure établie au cours de la fatigue.102

CHAPITRE IVAPPLICATIONS DU MODELERESULTATS MECANIQUES ET THERMIQUES INTRODUCTION 104 APPLICATIONS DU MODELE 104 RESULTATS MECANIQUES 106 CONCLUSION 113 RESULTATS THERMIQUES 114 CONCLUSION 119103

APPLICATIONS DU MODELERESULTATS MECANIQUES ET THERMIQUESINTRODUCTIONDans ce chapitre, on présente les principaux résultats des simulations numériquesobtenus par le modèle développé sur un alliage à mémoire de forme CuZnAl monocristallin.Dans la première partie, on s’intéresse aux propriétés mécaniques (contrainte decisaillement, fraction volumique de la martensite) à température ambiante et en absence de ladéformation plastique, sans tenir compte de l'aspect hétérogène établi au cours de la fatigue.Dans la seconde partie, on représente les résultats numériques obtenus à déformationplastique non nulle.A l’aide du critère de couplage, on représente la courbe d’écrouissage, et on définit lesmécanismes de déformations nécessaires lors des transformations.On examine également l’effet de la déformation plastique sur quelques variantes demartensite moins actives.Enfin, on présente l'effet de la plasticité sur le cycles thermiques, en examinant cet effetsur les températures caractéristiques et sur le comportement après accumulation des défautsdans le matériau sollicité en traction cyclique.APPLICATION DU MODELELe choix de la composition chimique, de la cinétique du cristal, de la microstructure et dumode de sollicitation semble le moyen principal pour étudier le comportement en fatigue del'alliage .L'alliage à mémoire de forme utilisé :Cu Zn Al , de composition Cu 14,1; Zn 17,0; Al,de module de cisaillement 40GPa, du coefficient de Poisson 0. 333. Les températuresde transformations sont données parM 248K, 47 C, la température d'essaisM fT 20°C (varie au cours de cyclage thermique), l'amplitude de déplacement dans la directionde transformation est g = 0.23, coefficient chimique B = 0.23MPa K -1 , de normalen 0.182;0.72;0.699et de direction m 0 .165; 0.737;0.655.La résolution numérique est obtenue en utilisant une méthode du gradient conjugué [97].104

Elle consiste à encadrer le minimum par un intervalle [a, b] et à évaluer la fonctionnelle en unpoint intermédiaire x. On obtient ainsi un intervalle [a, x] ou [x, b]. le gradient déterminera sile prochain point à tester appartient au premier intervalle ou au second. Le processus itératifcontinue jusqu'à ce que cet intervalle soit petit.Cette méthode consiste à chercher pour chaque ( ,T ) les valeurs de la fraction volumiquehf qui minimisent le potentiel . La fraction volumique de la zone plastifiée est considéréecomme f p cte 0. 01 .Le réseau des dislocations observé après fatigue à température ambiante est suivant ladirection , ce réseau est déterminé par une méthode de simulation techniquementdéveloppée [18, 42, 43].ijL'amplitude de la déformation plastique varie dans le domaine 104 p 3.103, le matériausubit des sollicitations en traction cyclique.Pour quantifier l'effet des variations des propriétés mécaniques et thermiques, on a effectuédeux simulations:- L'une représentant les résultats mécaniques à température ambiante,- L'autre en prenant en compte les variations de la température d’essai, et les températuresde transformations.Lors de l’écoulement plastique, et pour un écrouissage cinématique linéaire, fonction demodule d’écrouissage et de la déformation plastique cumulée, on représente l’évolution de ladéformation plastique en fonction du nombre de cycles.On examine aussi l’effet de la plasticité sur les températures de transformations et sur lescycles complets de transformation avec l'évolution de la déformation plastique.De tels résultats engendrent une étude globale du comportement en fatigue de l’alliage àmémoire de forme considéré.105

RESULTATSMECANIQUES106

Figure 1 : représente l'évolution de la contrainte en fonction de la déformation detransformation à déformation plastique nulle.240235Contrainte /MPa230p 0225220215Déformation de transformation2100 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07Figure 1: Evolution de la contrainte en fonction de la déformation de transformationau cours de la charge et la décharge.A déformation plastique nulle, les résultats montrent une évolution de la contrainte enfonction de la déformation de transformation. Le niveau des contraintes obtenu correspond àla contrainte seuil de la formation de la martensite.Au cours de la décharge, " martensite - austénite", le palier linéaire est toujours présent,suivi d’un niveau de contrainte plus faible. Le résultat obtenu est cohérent aux différentsrésultats expérimentaux [3, 11].La figure 2 : représente l'évolution de la contrainte en fonction de la déformation detransformation à différentes amplitudes de déformation plastique240Contrainte/MPa235230 p =0 p = 10 -3 p = 2.10 -3 ' p = 3. 10 -30 3 p 3.10 .225220215Déformation de transformation2100 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07Figure 2: Evolution de la contrainte - déformation de transformation pour différentesamplitudes de déformation plastique.107

L'examen de cette courbe montre une diminution du niveau de contrainte pour toutes lesamplitudes de déformation plastique étudiées.Dans tous les cas, la déformation de transformation reste de l'ordre de 6% . Les résultatsobtenus sont cohérents aux résultats expérimentaux [10, 12].L'évolution de la contrainte en fonction de la fraction volumique de la martensite en absenceet en présence de la déformation plastique est présentée dans la figure 3 .240 Contrainte/MPap = 0 p = 3.10 -3 235230225220215Fraction volumique de martensite2100 0.2 0.4 0.6 0.8 1Figure 3: Evolution de la contrainte en fonction de la fraction volumique de martensitehf .La courbe obtenue montre un résultat identique aux résultats précédents avec une diminutiondu niveau de contrainte en présence de la déformation plastique et une saturation de lahfraction volumique de martensite f 1.Sur la figure 4, on rapporte l’effet de l’écrouissage au cours de l’écoulement plastique. Pourdifférentes contraintes imposées 100 250MPa, on représente le taux de ladéformation plastique en fonction du nombre de cycles pour un écrouissage cinématiquelinéaire (Z).La fonction Z, est fonction du module d’écrouissage et de la déformation plastique cumulée( ).pcumuléLa déformation plastique cumulée est fonction du nombre de cycle N, elle est donnée par laprelation 4N).cumulép108

0.50.4Déformation plastique % M f M f0.300.20.1 M sM f As00 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000Nombre de cycle NFigure 4: Evolution du taux de déformation plastique en fonction du nombre de cycles pourdifférents niveaux de contraintes de charges constantes .L'examen de cette courbe montre, une évolution de la déformation plastique en fonction de lacharge.Pour une M 210MPa(contrainte de fin de formation de martensite), et pour un grandfnombre de cycles (600 cycles ), la courbe augmente d'une manière rapide. Des résultatsidentiques ont été obtenus pour les alliages type NiTi AMF [35, 38].Pour une contrainte A sle matériau reste élastique., l'état austénitique (initial), l'effet de la plasticité est négligeable,Pour une contrainte située dans le domaine suivantMs Mf, l'évolution de ladéformation plastique en fonction du nombre de cycle évolue au début des premiers cycles,puis elle demeure constante quelque soit le nombre de cycle. Ceci signifie qu'il y a unéquilibre entre la multiplication et l'annihilation des dislocations dans ce domaine.Les résultats des simulations numériques des cycles d'hystérésis sont présentés sur la figure 5ppour différentes amplitudes de déformations plastiques. 0 ,p3 0.5.10 p3, 1.10 etpour une amplitude de déformation plastiquep3 2.10 .109

240235Contrainte/MPa p = 0Contrainte/MPa240235 p = 0.5 10 -32302302252252202202152152100 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07Déformation de transformation240240235235 p = 1.10 -3 210Déformation de transformation p = 2.10 -32302302252252202202152152100 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07Déformation de transformation2100 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06Déformation de transformationFigure 5: boucles d'hystérésis: évolution de la contrainte - déformation de transformation au coursde la charge - décharge pour différentes amplitudes plastiquesAu fur et à mesure que la déformation plastique augmente, le niveau de contraintediminue et les cycles deviennent fermé. Le début de la décharge est très accentué, il estcaractérisé par un décalage de début de la déformation de transformation. Ceci peut êtreexpliqué par la stabilité de la variante de martensite.Pour vérifier l'effet de la plasticité sur l'orientation des variantes, on représente sur la figure 6l'évolution de la contrainte en fonction de la fraction volumique à température ambiante, àp3amplitude de déformation plastique nulle et à 3.10 .On considère trois variantes 3, 7, 12 d'orientation respectivement donnée par les Anglesd'Euler suivants( 1, 2, 3) :( 1 207.8,2 74.35,3 231.97),( 1 354.730 ,288.910 ,3 229.610)et ( 1 54.49,2 76.14,3 69.66).110

240220200Contrainte/MPaVariante 3180160Variante 7140Variante 121200 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1fhFigure 6: Evolution de la contrainte en fonction de la fraction volumiquehf pour différentespvariantes pour une amplitude de déformation plastique 0 et p 3.103L'effet de la plasticité sur les variantes 7 et 12 est moins important, on note une légèreinfluence sur le niveau des contraintes. Une saturation de la fraction volumique pour toutes lesvariantes étudiées.Si on revient à l'expression de l'énergie inélastique, et spécialement au champ des contraintesinternes choisi, le paramètre X dans l'expression joue un rôle important dans le calcul. X :est un paramètre microscopique et peut être lié à l'endommagement du matériau.Sur la figure 7: on représente l'évolution de la contrainte en fonction de la déformationp3de transformation pour 3.10 à différentes valeurs de X.240235230Contrainte/MPaX= 0.05AX=5 AX=50AX=100A225220215Déformation de transformation2100 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07Figure 7: la contrainte en fonction de la déformation transformation pour différentes valeurs de X111

Les résultats de cet essai donnent une information importante.Prés de la paroi des dislocations, le champ des contraintes internes est très élevé, loin de laparoi le sens est inversé, le champ de contrainte est mois important. Même si l’écart encontrainte reste faible. Les effets de l’accumulation de déformation plastique sur lecomportement en fatigue des alliages à mémoire de forme, ne peuvent pas être indépendantsde l'initiation du 1 er défaut (variante). Ce phénomène microscopique peut être concrétisé enreliant la variante de martensite à l’évolution de la structure.Le couplage entre les deux transformations (transformation martensitique et la structure enévolution) peut être défini par un critère, dit critère de couplage [36, 98].Critère de couplage: le couplage est réalisé en considérant l'évolution de la différence decontrainte à saturation à déformation plastique nulle 0, et la contrainte à saturation àdéformation plastique non nulle sen fonction de la déformation plastiqueSur la figure 8 on représente l'évolution de la différence de contrainte en fonction de ladéformation plastique (courbe d'écrouissage).p .87( 0s)/MPa6543III213 x10 p00 0.5 1 1.5 2 2.5 3Figure 8: Evolution de la différence de contrainte 0sen fonction de l'amplitude déformationplastiqueOn distingue deux domaines distincts:- Un domaine I; où la pente contrainte- déformation est sensiblement nulle.- Un domaine II; où la différence des contraintes augmente du façon rapide et régulièreavec la déformation plastique.Ce durcissement du matériau est donc lié à l'interaction entre la martensite et les dislocationsformées et ou à la multiplication des dislocations.112

CONCLUSIONEn première conclusion, les résultats mécaniques du modèle montrent des modificationssignificatives sur le comportement en fatigue des alliages à mémoire de forme.La contrainte critique diminue, les cycles d'hystérésis changent de formes, la décharge est trèsmarquée, la variante ne se détache pas facilement des contraintes internes. Il y a stabilité de lamartensite.Le modèle a mis en valeur le rôle des contraintes internes d’incompatibilités de déformationentre la structure formée et les variantes.L’accumulation de la déformation plastique dans les parois des dislocations n’a lieu quelorsque l’état de déformation actuel (plastique) se trouve sur la surface de charge àécrouissage. En effet, à faible déformation plastique, les résultats mécaniques obtenus nemodifient pas la réversibilité du comportement. Autrement dit, la valeur de la contrainte deformation de martensite reste identiquement la même.A très courte distance, l'interaction entre les dislocations et les variantes est très accentuée,d'où l'effet de champ des contraintes internes.Pour les variantes moins activées, la plasticité n’a pas un grand effet. Ceci est expliqué parl'activation d'autres systèmes de glissement.A l’aide du critère de couplage, le modèle a permis de réaliser le couplage entre cette structurecomplexe (parois des dislocations) et la variante de martensite.113

RESULTATS THERMIQUES114

L'effet de la plasticité sur le cyclage thermique.En faisant varier la température, la figure 9 représente les résultats mécaniques obtenuspour deux amplitudes de déformation plastiques imposées :L'évolution de la contrainte en fonction de la déformation de transformation pour deuxamplitudes de déformations plastiquesp= 0 ,en passant de la température ambiante à 5°C.240230Contrainte/MPa3 3.10pet pour différentes températures220210T=20°C200190T=10°C180170T=5°CFigure 9: Evolution de la contrainte en fonction de la déformation de transformation pourdifférentes températures àp= 0 et115p 3.10Les résultats de ces essais montrent, une évolution de niveau de contrainte dans de trèsgrandes proportions. A des faibles températures, la contrainte nécessaire à la formation demartensite est faible, ce niveau de contrainte augmente en fonction de la température. Onobserve pour tous les essais appliqués, une influence de la déformation plastique. Résultatscohérents aux résultats expérimentaux sur le même type d’alliage [32, 96 ].Pour une même température de transformation3Ms= -30°C, on représente les cyclesd'hystérésis (contrainte –déformation de transformation) à différentes températures figure 1 0.Ce type de résultats nous permet d’examiner l’effet de la déformation plastique sur lecomportement de l’alliage.Déformation de transformation1600 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07Un autre paramètre est aussi examiné par ces essais, l’aire des cycles. Au cours du cyclagemécanique, l’aire des cycles, paramètre d’endommagement et de dissipation d’énergie, varieen fonction de la déformation plastique [27, 35].

Ms=-30°C T=20°C240240240230220230p= 0220 p 2.10 = 0.5 10 -3 3230220p2102001901801701602102001901801701602102001901801701601500 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.071501500 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07Ms=-30°C T=10°C240240240230220230p= 0p220 = 0.5 10 - 3 230p= 2. 10 - 32202102001901801701602102001901801701602102001901801701601501500 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.071500 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07Ms=-30°C T=5°C2001901801702001901801702001901801701601501401301200 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.071601601501501401401301301200 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 1200 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07Figure 10: Cycles d'hystérésis (charge - décharge) pour différentes amplitudes dedéformation plastiques .116

La différence de contrainte = représentant l'épaisseur du cycle d'hystérésischadéchavarie au fur est à mesure que la déformation plastique évolue.Comme dans le cas du cyclage mécanique, l’influence d’un traitement thermique estimportante sur le comportement en fatigue des AMFs.Pour les différents cycles thermiques représentés, les résultats des simulations numériquesmontrent, une évolution des températures de transformations avec l'évolution de ladéformation plastique.Sur la figure 11, on représente l'évolution des températures de transformations pour l'alliageen fonction de la déformation plastique.-20-25température-30A f-35-40Ms-45-50-55M fA s-600 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3Déformation plastique %Figure 11: Effet de la plasticité sur les températures de transformationsA partir de ces résultats, non seulement la température de début de martensite est affectée,mais aussi, les températures de transformations inversesA , A .Qualitativement, on peut dire que l'effet de la déformation plastique sur les températuresA , Mssest le même.Afin de contrôler l'effet de la plasticité sur le cycle complet de la transformation , on areprésenté la différence des températures au cours de la déformation plastique figure 12 , Ms=sM ( p= 0 ) - Ms( p 0 ) et As As( p= 0) - As( p 0 ) .sf117

Cet écart des températures, peut être classé de microscopique. En effet, ces résultats vontnous permettre de lier entre le début de transformation martensitique et la fin de chaque stadede transformation (martensitique - austénitique) avant et après l'interaction variante –dislocations.1098765.4321 M A ss00 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3Déformation plastique %Figure 12: l'effet de la plasticité sur lesMset AsEn fonction de la déformation plastique, les différences des températures varient, ce quiprouve l’accumulation des défauts, et l'influence de l'effet plastique sur le cycle complet detransformation. Résultats cohérents avec [23, 26].Sur la figure 13 on représente l’évolution de la contrainte en fonction de la température pourdifférentes amplitudes de déformation plastique.Contrainte /MPa250200150100ppp 01.10 3.10335005 10 15 20 25 30 Température °CFigure 13: Evolution de la contrainte en fonction de température à différentes 118p

La représentation donne une idée du comportement sous l'influence de la plasticité. Lacontrainte évolue avec la température, la pente contrainte température est sensible à ladéformation plastique ( B g ).CONCLUSIONLes résultats des simulations numériques pour les AMFs déformés plastiquementmontrent un effet de la plasticité sur le comportement de l’alliage, aussi bien sur les propriétésmécaniques et thermiques.Le matériau se durcit d’avantage à des sollicitations répétées. Le durcissement est alors uneconséquence de l'accumulation des défauts dans le matériau.Les courbes contraintes - déformations sont affectées. Comme dans le cas de cyclagemécanique, l'influence de la température est importante.Le chemin direct et inverse du chargement est différent. On note, une fermeture des cyclesd'hystérésis au fur et à mesure que le nombre de cycles augmente. Cet effet peut être lié à laperte de l'effet de mémoire du matériau.L’effet de mémoire lié aux différentes caractéristiques du matériau est influencé parl’accumulation des défauts dans l’échantillon.119

CHAPITRE VKDISCUSSION INTRODUCTION 121 ANALYSE MICROSTRUCTURALE 121 ANALYSE DU MODELE 122 ANALYSE DES RESULTATS MECANIQUES 124 ANALYSE DES RESULTATS THERMIQUES 126 ANALYSE DE COUPLAGE 126 L'EFFET DE LA PLASTICITE SUR LES AUTRES VARIANTES 129 ANALYSE DE CHARGE ET DECHARGE " EFFET HYSTERETIQUE" 129 CONCLUSION 130CONCLUSION GENERALE 131REFERENCES 134ANNEXE I 139ANNEXE II 143ANNEXE III 146RESUME 149120

DISCUSSIONINTRODUCTIONLa plupart des travaux sur les alliages à mémoire de forme ont été réalisés dans ledomaine de la mécanique lors de la transformation martensitique. Ces études conduisent à uneunicité du comportement. Peu d’études ont étudié ces matériaux dans le domainemétallurgique.Sous chargement cyclique le matériau évolue vers une structure très complexe riche endislocations, où se localise une déformation plastique qui dépend du nombre de cycles et dumode des sollicitations. Ce changement de strucure entraîne des modifications dans lespropriétés mécaniques, thermiques et caractéristiques de l’alliage.L'objectif principal de ce chapitre est :- d'analyser les différents résultats microscopiques, mécaniques et thermiques.- d'interpréter les résultats numériques obtenus lors de la transformation martensitique etl'évolution de la microstructure avec et sans évolution de la déformation plastique.- comparer nos résultats avec les résultats de la littérature.- Enfin, on cherche à apporter une contribution à la connaissance du comportement enfatigue des alliages à mémoire de forme en se basant sur l'analyse microstructurale.ANALYSE MICROSTRUCTURALELes observations microscopiques sur le CuZnAl fatigué révèlent la présence des bandesou parois des dislocations. Ces traces de plasticité correspondent généralement àl’accumulation des défauts des dislocations.L'approche des mécanismes de déformation qui en sont la cause, demande une parfaiteidentification des systèmes de glissement.Suite aux résultats expérimentaux obtenus sur le {Cu-Zn 19wt%; Al 7.0wt%}[14, 17, 99], lesystème de glissement privilégié correspond au plan (111), de direction du cisaillement110. Ce phénomène est amplifié dans les segments renforcés.121

La transformation martensitique "formation de la variante de martensite" (phase I) etl'évolution de structure de dislocations (phase II) semblent alors composées toutes les deuxdes défauts. Mais il est probable qu'elles présentent des mécanismes de déformationdifférents.Une analyse très fine de dislocations menée sur des échantillons de CuZnAl monocristallinsdéformés à faible nombre de cycle montre que la majorité des dislocations observées peuventse déplacer dans le plan primaire [ 39, 33, 46].Même pour un monocristal orienté pour un glissement simple, des systèmes secondairespeuvent être activés et conduisent à la formation des parois probablement moins denses.L'activation de ces systèmes secondaires peut être facilitée par un champ de contraintesinternes important près des parois formées. Ce mécanisme pourrait être à l'origine dudéveloppement collectif des bandes que nous avons décrites précédemment.ANALYSE DU MODELEAvant d'aborder l'analyse des résultats obtenus par le modèle, il nous semble importantd'analyser le modèle envisagé. Cette analyse, nous permettra de donner les principalesorientations de la recherche sur ce sujet.Il s'agit d'un outil de calcul intégrant des phénomènes mécaniques, thermiques, métallurgiqueset leurs interactions. Il tient compte des paramètres microscopiques qui ont un effet sur lecomportement des alliages à mémoire de forme au cours de l’évolution de la déformationplastique. Ce qui permet de suivre le matériau lors du fonctionnement.Dans le modèle, le potentiel thermodynamique - métallurgique obtenu, a un caractèreénergétique.Au départ, le potentiel est une fonction de plusieurs énergies sans tenir compte de l’évolutionde la déformation plastique. Il est constitué ; d’une énergie élastique, d’une énergie chimiqueet d’une énergie mécanique.L'énergie mécanique est fonction de deux termes:- un terme linéaire en fraction volumique de martensite (variable interne), il correspond àl'énergie propre de transformation.- un terme quadratique en fraction volumique de martensite, il correspond à l'énergied'interaction entre les variantes proches.122

Ensuite, le modèle met en évidence dans le potentiel une énergie inélastique Cette énergiedécoule des concepts microstructuraux.Cette combinaison, nous offre une opportunité de poursuivre l'état du matériau au cours dessollicitations cycliques.Six avantages très importants découlent de cette étude:- Le suivi du changement de structure, ce problème est lié à la création et à la multiplicationde dislocations au cours de la fatigue.- A chaque phénomène on a associé une variable, et à chaque variable on lui a associée uneloi.- L'influence des dislocations formées (trac e de la plasticité) sur les autres paramètreschoisis.- Le rôle et la nature des contraintes internes prises en compte dans le modèle, cescontraintes assurent l'incompatibilité de déformations entre les différentes zones del'échantillon après fatigue.- Le couplage entre les deux transformations en évolution (la transformation martensitiqueet la structure en parois des dislocations) .- Les mécanismes de déformations nécessaires lors des transformations.Dans le modèle, on a introduit des variables supplémentaires qui sont reconstruites parla procédure d'homogénéisation à partir des variables microscopiques.La fraction volumique de la martensite dans un AMF est en général une variable de typemicroscopique. Dans une variante de martensite, elle exprime le rapport entre le volume qui adéjà subi la transformation martensitique et le volume total.La variable associée avec le taux de phase transformée possède un sens physique explicite. Eneffet, elle représente la force motrice qui provoque la croissance des variantes de martensite.Dans le cas de la pseudo élasticité, cette variable décrit la différence entre les énergiesinternes spécifiques des phases austénitique- martensitique, tandis que dans le cas de l'effet de123

mémoire de forme, cette variable désigne le changement de l'énergie interne spécifique dû auréarrangement des plaquettes de martensite.La nouveauté dans ce modèle consiste à tenir compte non seulement de la transformationmartensitique mais aussi de la structure de dislocations. Dans ce cas, on a introduit dans lemodèle une énergie inélastique récupérée dans les parois de dislocations formées aprèsfatigue. Cette énergie est fonction d'une déformation plastique et d'un champ de contraintesinternes d’incompatibilité entre les zones riches en dislocations et les zones pauvres endislocations.Pour décrire l’écrouissage, on a présenté à l’aide de la théorie des dislocations le taux de ladéformation plastique.Au cours de l’écoulement plastique, la loi de comportement est un cas particulier de laplasticité. Dans ce domaine de plasticité, les surfaces équipotentielles constituent une fonctionde charge dans laquelle l’écoulement plastique peut se produire. En tenant compte de cesfrontières de la fonction de charge, on a développé le taux de la déformation plastique quipermet de suivre l’écrouissage pour une loi cinématique linéaire. Cette loi est liée à ladéformation plastique cumulée, et au module d’écrouissage.L'utilisation de la déformation plastique comme variable interne qui décrit l’écrouissage,augmente la précision du modèle.ANALYSE DES RESULTATS MECANIQUESA partir des relations obtenues à l'échelle microscopique et suivant les hypothèses desfaibles déformations, on analyse les principaux résultats mécaniques obtenus par le modèle.Les résultats numériques obtenus pour les différents essais mécaniques montrent desmodifications dans les propriétés mécaniques et thermiques.L'effet de la déformation plastique se traduit principalement par une diminution de lacontrainte critique ou contrainte seuil de la formation de la martensite.A partir de ce constat, la diminution des contraintes est liée au changement de structure et àl'interaction entre la martensite formée et la structure en évolution au cours de la fatigue.L'analyse des résultats mécaniques est faite dans le cadre d'un modèle qui permet le couplageentre les deux phases. Ce couplage permet de suivre l’effet de la plasticité sur les propriétésdes AMFs et de décrire les mécanismes établis au cours de la déformation. Il peut être réaliséà l'aide d'un critère, dit critère de couplage [96, 98].124

Critère de couplage: On considère que le couplage est déterminé par la différence descontraintes obtenues à déformation plastique nulle et les contraintes obtenues pour uneamplitude de déformation plastique non nulle.L'évolution de cette différence des contraintes avec l'amplitude de déformation plastiqueprésente deux domaines:- Le premier domaine reste relativement très réduit. En absence et à faible amplitude dedéformation plastique, la pente contrainte – amplitude de déformation plastique restesensiblement nulle, ce qui semble t'il dû à la création de la variante et au mouvement dedislocations. Dans ce domaine, les murs des dislocations sont mal formés, les dislocationsprésentent assez peu l'effet des contraintes de compatibilité, elles se déplacent assezfacilement en choisissant les chemins où les contraintes de compatibilité sont les plusfaibles. Ce qui correspond à un mécanisme réversible [9, 29, 36].- Le second domaine; la différence des contraintes continue à croître avec l'amplitude de ladéformation plastique d'une façon d'autant plus importante que l'amplitude de déformationest grande. Dans ce domaine, il semble que les dislocations sont soumises entièrement auxeffets des contraintes d'incompatibilité. Il s'agit probablement de l'établissement d'un autremécanisme de déformation (microplasticité) [32 , 50 , 76, 96, 98].Pour un essai de fatigue, les modifications des propriétés mécaniques sont alors lesmanifestations directes des contraintes internes qui représentent une part importante de lacontrainte de fatigue. Ces contraintes assurent l'incompatibilité de déformations entre leszones déformées qui présentent des propriétés élastiques différentes.L'analyse de la variation de la distance parois - variante permet de décrire le rôle de cescontraintes.Au voisinage des parois des dislocations formées à faible distance "x", le niveau de contrainte(contrainte globale) est plus important. Ceci peut être interprété par un éventuelréarrangement des dislocations voire l'annihilation de certaines d'entre elles.Loin des parois, à grande distance, le niveau de contrainte est moins important. Dans ce cas,les dislocations se réarrangent et se regroupent d'avantage prés des murs (obstacles durs).Ces contraintes internes liées aux incompatibilités de déformations, résultant de la répartitionhétérogène des dislocations, jouent un rôle prépondérant sur les caractéristiques de laplasticité classique et expliquent en particulier les résultats obtenus. Ces contraintes évoluentle long du cycle de fatigue.125

L’évolution de taux de déformation plastique en fonction du nombre des cycles, montre uneaccumulation de la déformation plastique au cours de cyclage, en particulier après laformation de la martensite. En effet, dans le domaine austénite (l’état initial), la déformationplastique reste sensiblement nulle tout le long de cyclage.A grand nombre de cycles, la déformation plastique évolue d’une manière plus rapide, ce quipeut être expliqué par l’activation d’autres systèmes secondaires, par la multiplication desdislocations et par l’élargissement de la surface d’écoulement plastique. Ces résultats sontidentiques aux résultats expérimentaux obtenus sur les alliages NiTi [46, 56, 71].ANALYSE DES RESULTATS THERMIQUESLa multiplicité et la complexité de la structure au cours du fonctionnement rendentdifficile l'interprétation de la loi de comportement en fatigue. Parmi les propriétés les plusfréquemment utilisées, l'effet de la plasticité sur les températures caractéristiques de l'alliage.Dans le domaine de la métallurgie, la température constitue un paramètre primordial.L'analyse des résultats obtenus au cours des différents essais de températures montre un effetsur le comportement de l'alliage.Pour des variantes de martensite faiblement orientées, l'effet de la température est moinsimportant, ceci quelque soit la déformation plastique imposée.Pour la variante la plus active, on note un effet très sensible à la déformation plastique. Cecipeut être traduit par un effet thermiquement activé.L'examen des boucles d'hystérésis montre également que ces cycles se développentdifféremment en fonction de la déformation plastique et des températures.On observe pour tous les essais une influence, sur les températures de début de formation demartensite et de fin de martensite. Même remarque pour les températures de début et de fin del'austénite. Ces résultats sont en bonne concordance avec les résultats expérimentaux [27, 80].Malheureusement, on ne dispose pas d'observations microstructurales nettes d'un teltraitement.ANALYSE DE COUPLAGEL'essentiel des résultats obtenus nous a permis de corréler les paramètres mécaniques àl'évolution des microstructures. Ces résultats présentent un phénomène essentiellement126

qualitatif, car il nous permet à la fois de chiffrer les niveaux de déformation et de contrainteauxquels sont soumises les zones plastifiées, et de suivre l'évolution de la structure aprèsfatigue.L'énergie inélastique introduite dans la formulation est un terme qui marque la dissipation.Comme on l'a interprété, c'est un terme qui découle des concepts microscopiques, liés àplusieurs paramètres physiques de nature microstructurale. En premier lieu, on peut dire quec'est exactement cette énergie de lien entre la transformation martensitique et l'évolution de lastructure qui décrit les mécanismes de déformations nécessaires au cours de cyclage.Dans ce paragraphe, on va analyser la technique utilisée pour décrire le couplage entre lamartensite et l'évolution de la structure.Cette technique se base sur un critère d'étude des mécanismes microscopiques de ladéformation, il repose sur une analyse très fine des résultats mécaniques.Le critère de couplage: Il représente l'évolution de la différence des contraintes en absencede l'amplitude de déformation plastique et les contraintes obtenues lors de changement destructure en fonction de l'amplitude de déformation plastique imposée.Cette différence des contraintes détermine la meilleure valeur des contraintes internes liées àl'incompatibilité de déformation entre les zones riches en dislocations et les zones pauvres endislocations.En absence de déformation plastique, l'analyse des simulations numériques est faite suivantune approche thermodynamique ( modèle de référence [9, 29, 31, 35]. Cette approche neprend pas en compte la complexité des microstructures.La complexité est apparue au fur et à mesure que les observations au microscopeélectronique en transmission (MET) se faisaient plus précises.L'évolution de la différence de contrainte dans ce domaine d’amplitude est cohérente avec leshypothèses retenues dans le modèle.L’évolution est due uniquement à la variation du volume de martensite transformée, de samorphologie (tenseur d’Eschelby) et d’interaction entre les variantes (terme d’écrouissage ensens de la transformation plastique). Le mécanisme présenté est réversible.A faibles amplitudes de déformation plastiques imposées, l'analyse des résultats127

mécaniques montre que la contrainte à saturation n'évolue pratiquement pas. Ceci peut être dûà des éléments intrinsèques de nos matériaux (particules, précipités, lacunes, etc…). Dans cestade on ne peut tirer des conclusions sur la nature des mécanismes et de différencier lecomportement de notre alliage.A quelques 10 -3 de l’amplitude de la déformation plastique, les résultats mécaniquesmontrent une augmentation de la différence de contrainte, au fur et à mesure que l'amplitudede déformation plastique imposée augmente. L'évolution de niveau de contrainte est cohérenteavec les microstructures observées. C'est en particulier l'établissement d'une structure dedislocations bien fermée qui est responsable de l'augmentation de la différence de contrainteobservée par le biais de l'effet plus marqué des contraintes internes de compatibilité.A l’aide de ces résultats, le comportement en fatigue est décrit par les manifestations directesdes contraintes internes, qui représentent une part importante de la contrainte totale. On admetque ces contraintes évoluent peu au cours de la transformation martensitique et à très faiblesamplitudes, c'est à dire qu'un éventuel réarrangement des dislocations voire l'annihilation decertaines d'entre elles n'affectent pas le champ de contraintes de compatibilité. Ce phénomèneest très accentué dans des zones très déformées et où des véritables interactions entre lesdislocations des parois formées et la variante se développent dans la direction de glissement(microplasticité).Les mêmes conclusions sont données par Sade et col [50], sous sollicitations cycliques, levolume associé à la transformation martensitique est large, le rapport entre la dimension de lavariante et la distribution des nouveaux défauts formés peut être expliqué par l'interactionentre les dislocations formées et la variante. D'autres modèles ont confirmé également cettehypothèse [26, 101], ils ont attribué ces défauts à des contraintes internes.Lagoudas et al, suggèrent que l’accumulation de la déformation plastique et due à descontraintes internes, fonctions des paramètres d’origine du matériau.L’approche de E. Patoor (chapitre II), modèle micromécanique, qui utilise un potentielthermodynamique en présence des défauts, met en évidence également des champs descontraintes internes reliés à la déformation plastique dans chaque phase en évolution. Lemodèle lie la fraction volumique de la martensite plastique à la fraction de l’austéniteplastique. Seulement le modèle ne converge pas vers une modélisation microscopique.128

L'EFFET DE LA PLASTICITE SUR LES AUTRES VARIANTESLe calcul thermique, métallurgique et mécanique a ensuite été appliqué aux autres typesde variantes.Dans cette étude on a choisi 3 variantes des 24 variantes possibles [102]. Le calcul permet deprévoir de façon satisfaisante l'orientation.Pour les variantes moins actives, l'effet de la plasticité sur le comportement de l'alliage resterelativement faible par rapport à la variante active. Ce fait a été attribué principalement à laposition des variantes au cours de leur formation, phénomène purement cristallographique quisort de notre étude.Toutefois une simulation numérique a permis de montrer que les différentes variantes étudiéesse caractérisent par l'effet des défauts sur la martensite formée. ANALYSE DE CHARGE ET DECHARGE « cycles d’hystérésis ».Dans les alliages à mémoire de forme, le chemin direct (austénite – martensite) n’est pasle même que le chemin inverse (martensite – austénite).Les alliages à mémoire de forme présentent des boucles d'hystérésis lors de la charge etdécharge de l'échantillon.A la décharge, l'allure générale de la courbe est analogue à celle de la charge, avec cependantune hystérésis, le niveau de la contrainte de début et de fin de transformation inverse diffèredu niveau de contrainte de début et fin de contrainte de formation de martensite.Si on définit l'étalement en contrainte H M s A) ou en température HT ( As Mf)(sla courbe change.L'examen particulier de ces courbes montre, un cycle d’hystérésis, dépendant du mode desollicitation.Au fur et à mesure que l'amplitude plastique augmente, le cycle devient de plus en plus fermé.Le début de la décharge est très particulier, ceci peut être expliqué par la stabilité de lamartensite, phénomène tout à fait naturel si on évalue le taux de contraintes internes et dedéfauts crées au cours de la déformation.Ces résultats en parfait accord avec les travaux en fatigue des métaux purs et les alliages àmémoire de forme [8, 13, 96, 104] .129

CONCLUSIONL'analyse des différents résultats numériques qu’on vient d'effectuer, a montré la mêmetendance pour les profils des contraintes internes; une diminution des niveaux de contraintes,une influence de la plasticité sur les différents paramètres caractéristiques du matériau, pertede l’effet de mémoire, influence sur les températures de transformations, stabilité de lamartensite, durcissement du matériau.L'ensemble des données introduites dans le modèle ainsi que les différentes hypothèsesutilisées pour la modélisation décrit de façon cohérente l'état initial et l'état final del'échantillon sous chargement cyclique.L'originalité de ce travail, tient compte à la fois des résultats expérimentaux, concernantl'évolution de la structure (mobilité des dislocations) à partir des paramètres microscopiques.Il tient compte également des contraintes internes à grandes distances liées auxincompatibilités de déformations résultant de l'hétérogénéité de la microstructure.Le modèle montre bien l’effet de l’écrouissage cyclique sur le comportement de l’alliage, ilmontre que la déformation plastique ne peut avoir lieu qu’après la formation de la martensite.Ces objectifs ont été atteint en travaillant sur un état monocristallin où les interactions detypes intragranulaires sont absentes, et où on a interprété les résultats mécaniques etthermiques obtenus, issus des paramètres thermodynamiques et microscopiques .A partir de ces analyses, on peut dire que ce travail a permis de mettre en évidence l’effet dela plasticité sur les alliages à mémoire de forme, problème peu ou pas assez développé.Il serait important de connaître quantitativement les mesures des paramètres microscopiquesutilisés dans ce modèle et de modéliser le cas d’un polycristal.130

CONCLUSION GENERALELe travail qu’on a présenté a pour objectif de réaliser un modèle qui permet decontribuer à l’étude du comportement en fatigue d'un alliage à mémoire de forme lors del’évolution de la déformation plastique, de le valider par comparaison à l'expérience, ensuitede réaliser un couplage entre la transformation martensitique et l'évolution de structure,d’établir les mécanismes de déformations, et enfin de montrer l'influence de la plasticité surles propriétés mécaniques et thermiques.Notre mémoire comporte cinq chapitres dont les points essentiels peuvent ainsi être résumés:Dans un premier temps, on a représenté une étude bibliographique sur la transformationmartensitique. Une étude générale sur la description de la transformation martensitique, on areprésenté les différents effets influençants sur les alliages à mémoire de forme, les différentesclasses des mécanismes étudiées dans les AMFs compris le mécanisme de fatigue. Dans lamême partie, on a présenté quelques modèles de références qui ont été réalisés pour latransformation martensitique.Au regard de cette étude bibliographique, il nous est apparu important de décrire lecomportement global des AMFs en tenant compte de l’évolution de la structure établie aucours de la fatigue.Au second chapitre, on a représenté quelques principaux résultats, et quelquesprincipaux modèles effectués sur des alliages à mémoire de forme fatigués. Cela nous aconduit à définir les principales mesures influençants sur les AMFs.En général, ces mesures mécaniques devront être corrélées à une caractérisationapprofondie de la microstructure.A partir de ces données bibliographiques, on a situé notre problème: C'est dedévelopper une approche thermodynamique en présence des défauts des dislocations forméesau cours des sollicitations cycliques en tenant compte de l’effet de l’accumulation de ladéformation plastique sur la transformation martensitique.Dans la suite de notre étude (troisième chapitre) on a développé un modèle qui permetde contribuer à l’étude du comportement en fatigue d'un alliage à mémoire de forme.Du point de vue cinématique, on a présenté les principaux éléments de base de ce modèle etles paramètres liés à la microstructure. Le modèle a mis en évidence l'importance; d'une partdes données thermophysiques du matériau, d'autre part la nécessité de connaître l'évolution dela microstructure après fatigue.131

Le calcul a été développé pour le cas d'une transformation martensitique seule «formation des variantes », et lors de l’évolution de la structure, les défauts des dislocationsformées après sollicitations cycliques.Les résultats des simulations numériques, mécaniques et thermiques ont montré que lepotentiel thermodynamique - métallurgique décrit en plus, de façon satisfaisante, lesdistributions de microstructures et le couplage entre les deux transformations.Le quatrième chapitre a présenté les principaux résultats mécaniques et thermiquesobtenus par le calcul pour un alliage type CuZnAl monocristallin. Ces résultats s'appuient surl'optimisation du potentiel obtenu. Ils font apparaître les points suivants: L'évolution de la structure modifie les propriétés mécaniques et thermiques (le stempératures de transformations, diminution de la contrainte critique de formation demartensite, perte de l'effet de mémoire de forme, dégradation du matériau à grand nombrede cycle, saturation de la fraction volumique de la martensite). Augmentation de durcissement, Perte de l'effet de mémoire (cycles d'hystérésis), Stabilité de martensite, L'ensemble des résultats est en concordance avec les résultats expérimentaux, dans tousles cas, la déformation de transformation est de l'ordre de 6%. Les résultats obtenus, montrent que les paramètres introduits dans le modèle, ainsi que lesdifférentes hypothèses utilisées pour la modélisation permettent de décrire de façoncohérente les résultats expérimentaux.A l'aide d'un critère, dit critère de couplage, on a pu réaliser un couplage entre latransformation martensitique et l'évolution de la structure.Cette étude a montré qu'il existe deux domaines d'évolution:- Un premier domaine ou l'évolution de la différence de contrainte en fonction de ladéformation plastique imposée (variable), est sensiblement nulle. A partir de ces résultats,il ressort que ce stade a un caractère élastique.Si l'on procède après les premiers cycles (courbe déformation plastique en fonction dunombre de cycles),on observe une évolution linéaire. On a rattaché cette faible sensibilité àla nature du traitement, caractéristique du matériau, « mécanisme réversible ».132

- Un second domaine où la courbe évolue d'une manière rapide. On a pensé que dans cedomaine, le comportement est très différent de celui du premier domaine. Cet écart à la loiest d'autant plus prononcé que les déformations plastiques sont importantes. Ceci peut êtreattribué à un autre mécanisme athermique « Mécanisme inélastique » .De la même façon, l’examen de la courbe déformation plastique en fonction du nombre decycles confirme cet aspect, une augmentation significative pour certains niveaux descontraintes. Ce qui peut encore expliquer le début de la microplasticité.Les résultats du modèle ont montré également pour l'ensemble des amplitudes dedéformations plastiques étudiées, un changement dans les courbes d'hystérésis (charge -décharge). Tous les états des sollicitations montrent au cours de la décharge, qu'il subsiste unedéformation permanente et une stabilité de la martensite, une difficulté de relaxer lescontraintes internes d’incompatibilité de déformation entre le réseau formé et la varianteactivée .Au dernier chapitre, on a procédé à l'analyse des résultats du calcul en corrélation avec lesmicrostructures.L'analyse des résultats mécaniques est faite dans le cadre du modèle de comportementproposé pour un alliage à l'état d’une structure donnée; zones riches en dislocations assimiléesà des parois.Les contraintes internes liées aux incompatibilités de déformation résultant de cette répartitionhétérogène des dislocations jouent un rôle important sur les caractéristiques de la déformationet expliquent en particulier la présence d'une dissymétrie évolutive le long de latransformation.A partir des simulations numériques, il ressort que pour des variantes faiblement orientées,les variations des paramètres de calcul du procédé ne conduisent qu'à des très faiblesvariations des niveaux des contraintes. On a lié cette faible sensibilité à d'autres plans deglissement.Pour aller plus en avant, on pense qu'un travail important reste à faire pour définir le profiloptimal des contraintes internes par rapport au comportement en fatigue de même alliage et dedéterminer expérimentalement les paramètres physiques intégrés dans ce procédé de calcul.Il reste aussi à appliquer la procédure pour le cas d’un polycristal déformé plastiquement,d’étudier les points de symétries le long de cycle de fatigue (effet Baushinger). Prendre unréseau des dislocations fini (n dislocations), relier les paramètres physiques à la densité desdislocations et à la vitesse de sollicitation.133

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ANNEXES139

ANNEXE IMODELE THERMODYNAMIQUEPrésentation du modèleCas d'un monocristalBENSALAH. M. O et al, PATOOR. E et alLe modèle consiste à considérer chaque variante de martensite comme une inclusionellipsoïdale de fraction volumiqueLa déformation macroscopique totale s'écrit :hf dans un milieu homogène équivalent (MHE) tel que:où;S : tenseur d'EshelbyPour une inclusion ellipsoïdale a > b > c, S s'écrit:Sh1111 Sh222213 8c 32 (1 ) a12cS h 3333114ah h 8 1S1122 S2211 32(1 )Sh3311S h1212h S3322 (1 (1 )7 8c 32 (1 ) aca4 18h h 1 2 cS1313 S2323 (1 )2 14 a : coefficient de Poisson,c)atr: déformation dans l'inclusion (variante)La déformation de transformation localetransformation m et par l'amplitude de glissement g ,de la variante h .g2tr = (nimj njmi) = gRijtr déterminée par sa normale n , sa direction de140trest supposée uniforme au voisinaget tr S -M1--M2--M3-Rij: est le tenseur d'orientation de la variante dans un grain donné hLes auteurs ont utilisé une méthode thermodynamique par l'intermédiaire de la théorie deGibbs qui se révèle la mieux adaptée du fait qu'elle exprime le potentiel comme une fonctiondes variables de pilotage que se sont la contrainte et la température.

Pour un volume V d'austénite, et pour un état de déformation E . L'énergie libre d'Helmholtz associée à V s'écrit: = Gch Wsurf Wméc-M4-* Gch: l'énergie libre chimique définie comme: = B T T ) fG ch(0h*T0: température d'équilibre thermodynamique.surfW : représente l'énergie associée à la formation de l'interface austénite / martensite .Cette énergie devient négligeable devant les autres contributions énergétiques, car la varianteformée sous forme des plaquettes ayant une forme morphologique caractérisée par un rapportdes surfaces d'interfaces important pour les très faibles volumes, de ce fait,rapport volume/ surface est négligeable .surfW reliée au* Wmec: est la somme de deux termes, une énergie élastique et une énergie due aux contraintesinternes générées par les incompatibilités de la déformation de transformation, définiecomme:1 h tr h hCijkl[(Iklpq Sklpq)( Epq pq) ijf2 hWmec= ij M ijklkl21Ainsi, l'énergie libre de Gibbs " G" se définit à partir de l'énergie libre d' Helmholtz comme: G = - ij Eij= GchWméc - ijEijijEij: représente l'énergie mécanique associée au champ de contrainte macroscopiqueappliquéijEijla déformation macroscopique totale, elle peut s'écrire:eE = E Eijijtrij-M5--M6--M7--M8-on peut également prendre la combinaison de ces deux énergies, dite potentielle .Ainsi, le potentiel associé à une transformation directeAM1 ijMijklkl B(T T0)21141hfA M s'écrit:h tr h h h Cijkl[(Iklpq Sklpq)(Epq pq)] ijf-M9-2 hh ijhijfh

avec ;T0 Ms ( Mf Ms) fCe potentiel décrit l'état d'un système austénite - martensite en fonction de la contrainte ijappliquée, de la température T et des fractions volumiqueshf des variantes de martensiteactives, il est fonction également de la morphologie de la martensite (tenseuret de leurs orientations.Cas d'un polycristalhS d'Eschelby)Pour un polycristal, les auteurs proposent un modèle basé sur le comportement des (N)grains qui constituent un polycristal. Chaque grain (I) est considéré comme un monocristal, devolumeVIet de fraction volumiqueFI.VFI= IVSi on considère les mêmes écritures établies précédemment, la transformation associée à laformation d'une variante de martensite du volume dans un grain s'écrit:( ) g ( R )hijIhijLa déformation de transformation totale macroscopique s'écrit:ItrhEij (ij)IhIfhIFIL'énergie de déformation associée aux champs des contraintes internesij:Wi1 2 VijtrijdVPour une inclusion ellipsoïdaleij s'écrit: C ( S I ) ijijklklmnklmntrmnoù ;C: est le tenseur d'élasticité,S : tenseur d'Eschelby,I : tenseur Identité.D'après la théorie de Mori Tanaka,ij peut être relié àijpar les deux relations suivantes:ijV fijI V M-M10--P1--P2--P3--P4--P5--P6-142

ij = ij-ijV A-P7-f ; la fraction volumique totale de la martensite formée, elle s'écrit:fVVMIhfhIFI-P8-A partir de ces équations, l'énergie de déformation élastiqueW[i1 C2Jk( ijklkij)JIIf[kJAinsi, le potentiel s'écrit:hF( IJ]klpq ( Shklpq) ( Ihij) fhI] FI1 C2Widevient:ijkl[1hh h. = ijMijklkl B(T T0 ) fIFI ij(ij) fIFI-2IhIh( Iklpq ( Shklpq) ( Ihpq)IfhIFI]1C2[JijklkI( [kij)hJI( IfklpqkJF ( SJ]hklpq) ( Ihij) fhI] FI-P9--P10-1 C2ijkl[Ih( Iklpq ( Shklpq) ( Le potentiel pour le polycristal est également fonction de la contrainte appliquée, de latempérature T et des fractions volumiquesIhpqhfIdes variantes de martensite actives.Notons bien que le modèle brièvement présenté ne tient pas compte de la dissipation. En effetau cours des sollicitations répétées, la microstructure du matériau évolue, ce qui entraîne deschangements dans les propriétés mécaniques, thermiques, et caractéristiques du matériau.ij)IfhIFI]143

ANNEXE IIModèle de SUN, HWANG et alLe modèle envisagé est de type micromécanique, basé sur la thermodynamique dela transformation. L'auteur considère un polycristal comme un ensemble de grains assimilés àdes monocristaux. Les grains transformés se comportent comme une inclusion de fractionvolumique f , dans une matrice élastique de volume V .Dans le domaine de faibles déformations et en négligeant la variation de volume, l'auteur aconsidéré la déformation totale macroscopique comme étant la moyenne volumique desdéformations locales (élastiqueE ve et une déformation inélastiqueevpvp )suivant ces hypothèses, le potentiel thermodynamique associé à la transformation est donnésous la forme:p ( ,T,f , ) E W WW surf G)(1 2ch-S1--S2-où :* W1: l'énergie élastique, liée à la contrainte macroscopique W1=12 : M :-S3-* W2 : représente l'énergie due aux contraintes internes générées par la transformationAvec;B1W21 B1g42(5 7)15(1 )2f12B1f2ppVI V IPour une inclusion sphérique selon Eschelby et Tanaka: : module d'élasticité.-S4--S5- : module de poisson.pV I: la déformation moyenne dans l'inclusion, elle peut s'écrire:p =V I3g S2 144-S6-

Avec;g 3pequpequ: est la déformation équivalente cumulée donnée par:tp 2 p pequ= 3 ijijdt0S : représente la mesure de l'effet combiné entre les contraintes macroscopiques et lescontraintes internes.* Wsurf: représente l'énergie associée à la formation de l'interface austénite martensite6sWsurf= fd0où;s: énergie surfacique des phases ( austénite martensite ),d0: diamètre du grain,* Gch: énergie libre chimique, G ch= GA MT T f = ( G G fM A)GMet GAsont respectivement énergie libre chimique de martensite et de l' austénite .A l'aide du second principe de la thermodynamique, les auteurs ont obtenu une loi decomportement ce qui permet de décrire l'effet pseudoélastique.Avec;oùf W dfWd: représente l'énergie dissipée durant la transformation, cette énergie considérée parl'auteur comme étant proportionnelle à la fraction cumulée de martensite.W d= D0f cumulée 0-S7--S8--S9--S10--S11--S12--S13-D0: constante matérielle, fonction à la fois de la fraction volumique de martensite et de lafraction volumique de mémoire notéeaprès la décharge pour la transformation inverse).fmem( correspond à la valeur de la fraction f cumuléejuste145

etffcumulée=0dfD (f cumuléé f0 mem)-S14--S15-Le modèle se base sur le concept de transition d'échelle. Le principe de cette méthode reposesur le fait qu'un matériau hétérogène est constitué d'un nombre relativement important degrains ayant chacun un comportement spécifique.Dans le présent modèle, le nombre de variables internes est faible, l'auteur a pris la fractionvolumique de martensite formée et la déformation moyenne de transformation.Malgré son aspect quantitatif, la théorie phénoménologique donne un modèle théorique quipermet la détermination de la transformation martensitique.146

ANNEXE IIILois à écrouissageLe comportement de plasticité est considéré comme un cas particulier du schéma plusgénéral de la viscoplasticité.Dans l’espace des contraintes, les surfaces équipotentielles de l’écoulement constituent unefamille de surfaces emboîtables figure 1.Plus proche du centre de surface, on a une vitesse d’écoulement nulle. Plus loin, la vitessed’écoulement est infinie. Entre les deux frontières se situent le domaine de la viscoplasticité.Dans le domaine plastique, (domaine qui nous intéresse), il existe une surface dans l’espacedes contraintes à partir de laquelle l’écoulement plastique peut se produire. Cette surface f =0est appelée surface de charge.Afin de décrire l’écoulement plastique, il faut introduire un critère de charge décharge.Critère : l’écoulement a lieu, si les deux conditions suivantes sont réunies simultanément :(f = 0 et df =0).Pour un écrouissage positif, on considère que la surface de charge s’exprime en fonction descomposantes déviatoriques du tenseur de contraintes, et dépend de l’état d’écrouissage par desvariables internes (dans notre cas la variable Z).En fonction de l’évolution de la surface de charge, les lois à écrouissage peuvent être définies,à l’identité entre le potentiel de dissipation et la fonction de charge, on choisit un écrouissagecinématique linéaire isotrope ou la déformation plastique se fait à volume constant. Dans cecas, la fonction de charge ne dépend que des invariants J 2 du déviateur de contraintes :J 2 = (3/2 ’ : ’) 1/2La cinématique correspond à la transformation de la surface de charge. Dans ce cas onexprime la loi d’écrouissage sous la forme.dZ= 2/3C d p .La linéarité de la loi d’écrouissage présente l’avantage de rendre l’algorithme de calculnumérique plus stable.147

Méthode d’identification des termes d’écrouissage :Méthode de moindre carrés :Cette méthode permet de minimiser l’écart entre des valeurs expérimentales et des valeurscalculées obtenues par le modèle.Il s’agit de minimiser l’écart entre des valeurs expérimentales et les valeurs calculées par lemodèle. On aboutit généralement à un problème de minimisation d’une fonction écart :Si la fonction est h(a)la méthode s’applique lorsque la fonction écart choisie est la somme des carrés des écarts :cj eth(a)=1 2 1 calculée expérimentalee [jj2 j 2 jej , représentent respectivement la contrainte calculée par le modèle et la contrainteexpérimentale de la j ième point sur la courbe, .La courbe figure 1 représente schématiquement comment est définie cette fonction.Si on posecj fonction des coefficientsai]2III-4cj =A ) a0( j) A1( j) a1.... An( jnIII-5pour minimiser h(a) il suffit d’écrireha k 0Grâce à la linéarité on trouve immédiatement avec A )(ije 0A A ) a A ( A )jkjiLa résolution de système linéaire, dont la matrice jles inconnuesai (figure 2).ijjkjjijA i( jA est symétrique, fournit facilementDans la pratique, le choix est extrêmement simple. Il s'agit de déterminer la limite d'élasticitéà 2 % la contrainte à saturation et l’allongement correspondant à cette contrainte (figure 3).Cette méthode est connue par la linéarité de la loi d’écrouissage, elle présente l’avantage dansles calculs numériques plus stables. Ainsi, on a :uh uyjkA jiIII-8III-7148

1 2figure 1 : surface de l’écoulement 3viscoplasticitéplasticité (vitesse nulle)plasticité (vitesse infinie)centre jc jee Courbe calculéePoints expérimentaux j j+1 figure 2 : Graphe d’identification u Courbe calculéeCourbe expérimentale y2% ufigure 3: Graphe d’identification de l’écrouissage linéaire en tractionméthode directe149

Comportement en Fatigue des Alliages à Mémoire de FormeCas du CuZnAlDirecteur de thèse: Professeur Omar Fassi FehriAvec collaboration: Professeur Ouadi Mohammed BensalahRESUMECette étude porte sur la modélisation du comportement en fatigue des alliages àmémoire de forme et le couplage entre la transformation martensitique et l'évolution destructure. Dans un premier temps nous avons donné une généralité sur la transformationmartensitique des alliages à mémoire de forme. Ensuite, nous avons représenté les principauxrésultats obtenus sur la fatigue des métaux purs et alliages à mémoire de forme.La suite de l'étude s'est effectuée en développant un modèle qui permet de décrire lecomportement en fatigue d'un alliage à mémoire de forme après localisation de la déformationplastique. La fonction obtenue: potentiel thermodynamique- métallurgique est de typeénergitique, reliant les paramètres caractéristiques du matériau aux paramètresmicroscopiques. Un champ des contraintes internes qui assure l'incompatibilité dedéformation entre la variante activée et les parois des dislocations formées est pris en comptedans le calcul. Le calcul a ensuite été appliqué à un alliage à mémoire de forme monocristallinCuZnAl. Nous avons montré que le calcul permet le couplage entre les deux phases enformation. Enfin, l'effet de la déformation plastique sur les différents paramètrescaractéristiques du matériau a été analysé. Une simulation numérique a permis de montrer quela contrainte nécessaire à la formation de martensite diminue au cours du cyclage, une pertede l'effet de mémoire pour un grand nombre de cycle " mécanisme irréversible", influence surles températures de transformation.Nous avons aussi pu comparer les résultats du modèle à des résultats expérimentauxMOTS CLES:Transformation martensitique, parois des dislocations, localisation de la déformationplastique, réversible, irréversible, couplage, évolution de la structure, contraintes internes,potentiel thermodynamique - métallurgique.150

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