Vecteurs - Math'ambouille

VecteursI. DéfinitionsDéfinition 1 : Un vecteur est défini par :− sa direction,− son sens,− sa normeDéfinition 2 : En mathématiques la norme du vecteur ⎯→ u est la longueur de vecteur ⎯→ u.Notation : la norme du vecteur → u est notée ⏐ → u ⏐Si ⎯→ AB est un représentant du vecteur → u , alors ⏐ → u ⏐ = ⏐ ⎯→ AB ⏐ = ABDéfinition 3 : Deux vecteurs non nuls → u et → v sont dits colinéaires s'ils ont la mêmedirection.ExempleuPar définition, ⎯→ 0 est colinéaire à tout vecteur.vUn vecteur a une infinité de représentants. AB ⎯⎯→est le représentant d’origine A du vecteur ⎯→ uII. Vecteurs et parallélogramme.Théorème 1 : ⎯→ u est un vecteur et A est un point.On peut construire un seul point M tel que ⎯⎯→AM = ⎯→ u⎯→uMAThéorème 2 : A, B, C et D sont quatre points. Les phrases suivantes sont équivalentes :⋅ ABCD est un parallélogrammeB⎯⎯→⋅ AB = DC⎯⎯→C⎯⎯→⋅ AD = BC⎯⎯→A⋅ C est l'image de D par la translation de vecteur AB⎯⎯→D⋅ [AC] et [BD] ont le même milieu

III. Somme de deux vecteurs.Définition : On peut remplacer une translation de vecteur ⎯→ u, suivie d'une translation devecteur ⎯→ v par une autre translation de vecteur w = ⎯→ u + ⎯→ v.Construction : ⎯→ u et ⎯→ v sont deux vecteurs. Construire le point M tel que OM ⎯⎯→= ⎯→ u + ⎯→ vOn construit le point P, image de O par latranslation de vecteur ⎯→ u. On obtient :⎯→u = OP.⎯⎯→On construit le point M, image de P par latranslation de vecteur ⎯→ v. On obtient :⎯→v = PM.⎯⎯→On a alors ⎯→ u + ⎯→ v = OP ⎯⎯→+ PM ⎯⎯→= OM⎯⎯→Remarque : ⎯→ u + ⎯→ v = ⎯→ v + ⎯→ uRelation de Chasles : Pour tous les points A, B et C du plan on a :IV. Différence de deux vecteurs.⎯⎯→AB + BC ⎯⎯→= AC⎯⎯→ABCDéfinition : ⎯→ u est un vecteur. A et B sont deux points tels que AB ⎯⎯→= ⎯→ u.On note : BA ⎯⎯→= – ⎯→ uErreur ! –⎯→– ⎯→ u est l'opposé du vecteur ⎯→ u.,u– ⎯→ u et ⎯→ u ont même direction, même longueur mais sont de sens contraire.Remarque : AB ⎯⎯→+ BA ⎯⎯→= AA ⎯⎯→= ⎯→ 0⎯→u + (– ⎯→ u) = ⎯→ 0Définition : ⎯→ u et ⎯→ v sont deux vecteurs. ⎯→ u – ⎯→ v = ⎯→ u + (– ⎯→ v)Construction : ⎯→ u et ⎯→ v sont deux vecteurs. Construire le point N tel que ON ⎯⎯→= ⎯→ u – ⎯→ v⎯→u – ⎯→ v = ⎯→ u + (– ⎯→ v)On construit le point Q, image de O par latranslation de vecteur ⎯→ u.On construit le point N, image de Q par latranslation de vecteur – ⎯→ v.

V. Somme de vecteurs et parallélogramme.Théorème : Les phrases suivantes sont équivalentes :• ABCD est un parallélogramme•⎯⎯→AB + AD ⎯⎯→= AC⎯⎯→Application : Construire le point C tel que OC ⎯⎯→= ⎯→ u + ⎯→ vVI. Multiplication d’un vecteur par un nombre.Exemple :Définition : ⎯→ u est un vecteur et k est un nombre. k. ⎯→ u est un nouveau vecteur :Sa direction est celle de ⎯→ u ;Son sens est :• le même que celui de ⎯→ u si k est positif• le sens contraire à celui de ⎯→ u si k est négatif ;Sa norme est :• k ⏐ → u ⏐ si k est positif• – k ⏐ → u ⏐ si k est négatif.Cas particuliers : Si k = 0 alors 0. ⎯→ u = ⎯→ 0Si ⎯→ u = ⎯→ 0 alors k. ⎯→ 0 = ⎯→ 02 u u32 uPropriétés des opérations sur les vecteurs : pour tous les vecteurs → u et → v , et pour tous lesnombres réels k et k' :k ( → u + → v ) = k → u + k → v (k + k') → u = k → u + k' → u k (k’. → u ) = (k k’). → uSi k. → u = ⎯→ 0 alors k = 0 ou → u = ⎯→ 0