UE4 Comparaisons de variances

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesDiversLes livres recommandés :1 Biostatistique. Régis Beuscart, (Bénichou, Roy et Quantin)Edition Omnisciences. 2009.2 Mathématiques L1/L2 : Statistique et Probabilités en 30fiches. Daniel Fredon, Myriam Maumy-Bertrand, FrédéricBertrand. Editions Dunod, 2009.

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesPlan1 Contexte2 Comparaison d’une variance à une référence3 Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleTest en situation unilatérale

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesPlan1 Contexte2 Comparaison d’une variance à une référence3 Comparaison de deux variances

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesComparaison de variances : contexteLa variance (paramètre de dispersion) caractérise une distributionau même titre que la moyenne• deux contextes différents :comparaison de la variabilité d’une mesure dans deux groupesévaluation de la précision d’une mesure (un groupe unique)Quelques exemples :savoir si le dosage d’une molécule par deux techniquesdifférentes présente la même variabilitésavoir si la variabilité d’un dosage dépend de la températurede dosage (dosage à deux tp diff.)savoir si la variabilité d’un paramètre présente la mêmedispersion dans deux populations différentes

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesComparaison de deux variances : contexteDeux applications différentes :(1) les tests de comparaison de moyennes ⇒ homoscédasticitéhypothèse à tester par une comparaison de variancessi rejet de l’homoscédasticité, test t de Student non applicable(2) comparaison de deux populationsEx. effet du tabac sur le poids de naisssancesi effet ✭ simple ✮ : décalage des poids de naissance vers le basmais l’effet pourrait dépendre en plus de caractéristiques dufoetus et/ou de la mère et donc introduire une sous- ou unesur-dispersion des valeurs fonction des moyennes de chaquegroupe → porteur d’information

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesPlan1 Contexte2 Comparaison d’une variance à une référence3 Comparaison de deux variances

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancescomparaison d’une variance à une référenceLa situation est peu fréquente.H 0 : σ 2 = σ 2 RH 1 : σ 2 ≠ σ 2 Rsoit une V.A. X → N (µ ; σ)soit s 2 la valeur observée dans un échantillon de taille nalors, sous H 0 est vraie, F = s2σ 2 Rd’où le test : calcul de F = s2σ 2 R→ F n−1∞→ F n−1∞et comparaison à lavaleur seuil de la loi de Fisher (ou Fisher-Snedecor) avec n − 1et ∞ ddl.

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesRappel : la loi de Fisher est définie sur [0, ∞[

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéralePlan1 Contexte2 Comparaison d’une variance à une référence3 Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleTest en situation unilatérale

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleComparaison de deux variances• On cherche à comparer la variabilité d’une mesure entre deuxgroupes• Les hypothèses du test (en bilatéral) sont :H 0 : σ 2 A = σ2 BH 1 : σ 2 A ≠ σ2 B

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleFluctuation d’échantillonnage sous H 0• Soit une V.A. X et deux populations A et B dont les variancessont σ 2 A et σ2 B• Si X → N (µ,σ), alors :Y A = sA2 n A − 1σA2 → χ 2 n A −1et Y B = sB2 n B − 1σB2 → χ 2 n B −1Si les deux échantillons sont indépendants, alors, par définition dela loi de Fisher :F = Y A/(n A − 1)Y B /(n B − 1)suit une loi de Fisher à n A − 1 et n B − 1 ddl.

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleFluctuation d’échantillonnage sous H 0Alors, en remplacant les valeurs de Y A et Y B , on a :Donc, sous H 0 , le rapportF = s2 A σB2sB2 σA2σ 2 Bσ 2 A= 1

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleFluctuation d’échantillonnage sous H 0• Si les deux échantillons sont indépendants, alors, le rapportsA2sB2∼ F n A−1n B −1• c-à-d. le rapport suit une loi de Fisher F à n A − 1 et n B − 1 d.d.l• où, par convention, on choisit A et B tels que s 2 A > s2 B• Rappel : Loi de Fisher = Loi de Fisher-Snedecor

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleComparaison de deux variances : le testLe test de Fisher de comparaison de deux variances :consiste à calculer F = s2 As 2Bà partir des valeurs observées des variances, dans chaquegroupecomparaison de la valeur de F avec la table de répartition dela loi de Fisher à n A − 1 et n B − 1 ddl.

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleComparaison de deux variances : le test bilatéralLes hypothèses sont :H 0 : σ 2 A = σ2 BH 1 : σ 2 A ≠ σ2 BOn réalise le calcul : F = s2 As 2Bon conclut H 1 quand le rapport s’éloigne trop de 1, vers lehaut ou vers le basdonc deux valeurs seuil F inf et F sup à définir :Pr(F n A−1n B −1 > F sup) = α/2 et Pr(F n A−1n B −1 < F inf ) = α/2lecture de la tableen pratique les seuils pour les rapports supérieurs et inférieurssont l’inverse l’un de l’autre

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleRappel : la loi de Fisher est définie sur [0, ∞[

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleTable de Fisher-SnedecorLa table donne la limite supérieure de F = s2 As 2B, pour le risque 2,5%(valeur ayant 2,5% chances sur 100 d’être égalée ou dépassée), enfonction des nombres de degrés de liberté l A et l B ,Tab.: Table de F (point 2,5%) l A 1 2 3 4 5 6 7 8 9l B 1 647,79 799,48 864,15 899,6 921,83 937,11 948,20 956,64 963,2810 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,7811 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleExemple• On veut comparer les variances de deux groupes pour unevariable aléatoire X afin de réaliser un test de Student.• On dispose de deux échantillons de taille 10 et 12respectivement, avec des variances s 2 = 10,2 et s 2 = 3,1.• On pose :H 0 : les deux variances ne diffèrent pas : σ 2 A = σ2 BH 1 : les deux variances diffèrent : σ 2 A ≠ σ2 Bun risque α = 0,05• On identifie A et B de manière à ce que : sA 2 = 10,2 soit plusgrande que sB 2 = 3,1 et donc n A = 10 et n B = 12.

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleExempleOn calcule :F = 10,23,1 = 3,29On compare cette valeur à la valeur du F dans la table du F auseuil de 0,025 : F n A−1n B −1 ; α/2 = F 9 11 ; 0,025 = 3,59Tab.: Table de F (point 2,5%) l A 1 2 3 4 5 6 7 8 9l B 1 647,79 799,48 864,15 899,6 921,83 937,11 948,20 956,64 963,2810 6,94 5,46 4,83 4,47 4,24 4,07 3,95 3,85 3,7811 6,72 5,26 4,63 4,28 4,04 3,88 3,76 3,66 3,59

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleExemple• On conclut que le rapport observé est plus petit que le rapportde référence : F < F 9 11 ; 0,025 et donc on ne rejette pas H 0.• On admet que les variances ne diffèrent pas et on peut doncréaliser le test de Student.

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation unilatéralePlan1 Contexte2 Comparaison d’une variance à une référence3 Comparaison de deux variancesTest en situation bilatéraleTest en situation unilatérale

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation unilatéraleComparaison de deux variances : le test unilatéralLes hypothèses sont :H 0 : σ 2 A = σ2 BH 1 : σ 2 A > σ2 BOn réalise le calcul : F obs = s2 As 2Bon conclut H 1 quand le rapport s’éloigne trop de 1, vers lehautRem. si F obs est d’emblée inférieur à 1, le test est inutilesi F obs > F n A−1n B −1 : rejet de H 0sinon, acceptation de H 0

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation unilatéraleRappel : la loi de Fisher est définie sur [0, ∞[

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation unilatéraleComparaison de deux variances : le test unilatéralOn veut comparer la précision de deux appareils de dosage, lenouveau (B) devant être plus précis que l’ancien (A).dosage d’une solution de référence, de concentration connuedosage réalisé 13 et 15 fois avec A et B resp.H 0 : σ 2 A = σ2 BH 1 : σ 2 A > σ2 Bon observe s 2 A = 6,3 et s2 B = 3,2F obs = 6,3/3,2 = 1,97

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation unilatéraleTab.: Table de F (point 5%) l A 10 12 15 20 24 30 40 60 120 +∞l B 1 241,88 243,9 245,95 248,02 249,05 250,1 251,14 252,2 253,25 254,3113 2,67 2,60 2,53 2,46 2,42 2,38 2,34 2,30 2,25 2,2114 2,60 2,53 2,46 2,39 2,35 2,31 2,27 2,22 2,18 2,1315 2,54 2,48 2,40 2,33 2,29 2,25 2,20 2,16 2,11 2,07la valeur seuil (5%) de la loi de Fisher F n A−1n B −1 = F 1214 = 2,53F obs < F 1214 = 2,53, donc on ne rejette pas H 0on admet que le nouvel appareil n’est pas plus précis quel’ancien

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation unilatéraleCommentaires1) Sur le test unilatéral :parfois on veut tester H 1 : σA 2 < σ2 B (au lieu de >)les tables de la loi de Fisher donnent habituellement lesprobabilités de dépasser F n A−1n B −1la solution : inverser le rapport et comparer à F n B −1n A −1tester infériorité de σ 2 A ⇔ tester supériorité σ2 B2) Sur l’indépendance des mesures : les échantillons doivent êtreindépendants pour que le test soit valide. Or ici, mesure sur lemême objet.population : population de mesureunité statistique : la mesure et pas la solution de référence

Contexte Comparaison d’une variance à une référence Comparaison de deux variancesTest en situation unilatéralesynthèseun test de comparaison de variances peut être :unilatéralbilatéraltest d’un paramètre observé contre un paramètre de référencetest de comparaison de deux paramètres observésbasée sur la loi de Fisher-Snedecor