THESE_EL ABIDI.pdf - Toubkal

UNIVERSITÉ IBN ZOHRFACULTÉ DES SCIENCESAGADIRNuméro d’ordre : 80 /2010Année : 2010ThèsePrésentée à laFACULTÉ DES SCIENCES D’AGADIRpour l’obtention du Doctoraten Sciences PhysiquesSpécialité : Physique des solidesOption : Physique des SolidesSujet de la thèse :Modélisation et caractérisation par le transport électronique des semiconducteursII-VI : Application à l’alliage ternaire Hg 1-x Cd x Te etau superéseau HgTe/CdTe.parAbderrahim EL ABIDISoutenue le 17 juillet 2010 devant la commission d’examen :A. El Kaaouachi Professeur, Faculté des Sciences, Agadir PrésidentM. Ouazzani-Jamil Professeur, Faculté des Sciences D El Mehraz, Fès RapporteurA. Taoufik Professeur, Faculté des Sciences, Agadir RapporteurA. Tirbiyine Professeur, Faculté Polydisciplinaire Safi RapporteurH. Chaib Professeur, Faculté Polydisciplinaire, Ouarzazate ExaminateurH. Sahsah Professeur, Faculté des Sciences, Agadir ExaminateurA. Toumanari Professeur, ENSA, Agadir ExaminateurA. Nafidi Professeur, Faculté des Sciences, Agadir Directeur de thèse

UNIVERSITÉ IBN ZOHRFACULTÉ DES SCIENCESAGADIRNuméro d’ordre : 80 /2010Année : 2010ThèsePrésentée à laFACULTÉ DES SCIENCES D’AGADIRpour l’obtention du Doctoraten Sciences PhysiquesSpécialité : physique des SolidesOption : Physique des SolidesSujet de la thèse :Modélisation et caractérisation par le transport électronique des semiconducteursII-VI : Application à l’alliage ternaire Hg 1-x Cd x Te etau super réseau HgTe/CdTe.parAbderrahim EL ABIDISoutenue le 17 juillet 2010 devant la commission d’examen :A. El Kaaouachi Professeur, Faculté des Sciences, Agadir PrésidentM. Ouazzani-Jamil Professeur, Faculté des Sciences D El Mehraz, Fès RapporteurA. Taoufik Professeur, Faculté des Sciences, Agadir RapporteurA. Tirbiyine Professeur, Faculté Polydisciplinaire Safi RapporteurH. Chaib Professeur, Faculté Polydisciplinaire, Ouarzazate ExaminateurH. Sahsah Professeur, Faculté des Sciences, Agadir ExaminateurA. Toumanari Professeur, ENSA, Agadir ExaminateurA. Nafidi Professeur, Faculté des Sciences, Agadir Directeur de thèseCe travail a été réalisé au sein de l’équipe de Physique de la Matière Condenséedu Département de Physique Faculté des Sciences, Université Ibn Zohr d’Agadir.

DédicacesA mes très chers parents Kacem et Fatima qui ont toujours été làpour moi, et qui m'ont donné un magnifique modèle de labeur et depersévérance. J'espère qu'ils trouveront dans ce travail toute mareconnaissance et tout mon amour.A ma chère femme AsmaA ma chère grand-mère ZahraA ma chère sœur Amina et mes chers frères Khaled et HichamA tous ceux qui me sont chersJe dédie ce mémoire

RemerciementCette étude a été effectuée au sein du Groupe de la physique de la matièrecondensée, à la faculté des sciences d’Agadir, sous la direction de Monsieur leProfesseur A. Nafidi qui a suivi pas à pas le déroulement de ce travail. Je suisheureux de lui témoigner ici mon attachement et ma reconnaissance pourl'efficacité et la bienveillance avec laquelle il a constamment guidé et encouragéce travail. Il a toujours su proposer les choix scientifiques adaptés à la résolutiondes problèmes que j'ai rencontrés au cours de ce travail. Je l'en remerciesincèrement. J'ai été très marqué par ses qualités professionnelles et humaines.Qu'il trouve ici, l'expression de ma profonde gratitude.Je tiens à remercier vivement Messieurs les membres du jury pour l’intérêtqu’ils ont porté à ce travail :• Monsieur A. El Kaaouachi, Professeur de L’Université IBN ZOHR,Faculté des Sciences d’Agadir pour m’avoir fait l’honneur de présider cejury.• Messieurs : M. Ouazzani-Jamil Doyen de la Faculté des Sciences Dhar ElMehraz, de Fès, A. TAOUFIK Professeur de L’Université IBN ZOHR,Faculté des Sciences d’Agadir et A. Tirbiyine Professeur à la FacultéPolydisciplinaire de Safi pour avoir accepter la tache de rapporteurs de cetravail.• Messieurs H. Chaib Professeur à la Faculté Polydisciplinaire d’Ouarzazate,A. Toumanari professeur à l’école nationale des sciences appliquées(ENSA) à Agadir, et H. Sahsah Professeur à L’Université IBN ZOHR,Faculté des Sciences d’Agadir pour avoir accepter la tache d’examinateursce travail.

Ma reconnaissance va aussi aux membres du groupe pour les discussionsenrichissantes, leurs suggestions et leurs conseils et surtout pour l'ambianceamicale qu'ils ont su créer autour de moi. Je n'oublierai pas le temps que nousavons passé ensemble.Enfin, merci à toute ma famille pour sa patience, ses encouragementsauxquels elle a consenti pendant ces années de recherches.

TABLE DES MATIERESINTRODUCTION………………………………………………………………………….......... 1CHAPITRE I :Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage Hg 1-x Cd x Te etdu superréseau HgTe/CdTe………………………………………………….... 6I.A Introduction……………………………………………………………………………… 7I.B La photodétection infrarouge ………………………………………………………...…. 7I.C Le tellurure de mercure et de cadmium …………………………………………………. 13I.D Les super-réseaux HgTe/ CdTe ………………………………………………………….. 25I.E Applications des détecteurs d’infrarouges ……………………………………………….. 34CHAPITRE II : CADRE THEORIQUE .................................................................................... 38II.A Introduction ……………………………………………………………………………... 39II.B Théorie de transport de Boltzmann …………………………………………………….. 39II.C Modélisation de la mobilité et mécanismes de diffusion ………………………………. 48II.D Effet Shubnikov-de Haas et gaz d’électron bidimensionnel …………………………… 52II.E Structure des bandes du superréseau ………………………………………………….. 58.CHAPITRE III : Rappel sur les techniques expérimentales .................................................... 69III.A Introduction …………………………………………………………………………... 70III.B La technique de l'épitaxie par jets moléculaire ou MBE ……………………………... 70III.C Préparation des échantillons …………………………………………………………. 74III.D Techniques de mesures ……………………………………………………………….. 75CHAPITRE IV : Application à l’alliage Hg 1-x Cd x Te (x=0.22) ……………………………... 81IV.A Introduction ……………………………………………………………………………. 82IV.B Analyse de la constante de Hall ……………………………………………………….. 82IV.C Calcul de l’énergie de Fermi …………………………………………………………... 86IV.D Calcul de l’état donneur ………………………………………………………………. 88IV.E Analyse de la conductivité …………………………………………………………….. 89IV.F Modélisation de la mobilité ……………………………………………………………. 90IV.G Conclusion ……………………………………………………………………………... 91CHAPITRE V : Application aux sperréseaux HgTe/CdTe ………………………………….. 94V. A Introduction …………………………………………………………………………….. 95V. B Résultats de calcul des spectres d’énergie ..……………………………………………. 95V. C. Application au superréseau HgTe (56 Å)/ CdTe (30 Å) ………………………………. 97V. D. Application au superréseau HgTe (180 Å)/ CdTe (44 Å) ……………………………... 103V. E. Conclusions…………………………………………………………………………….. 107CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES ……………………………………………………….. 110ANNEXES ……………………………………………………………………………………..... 114RESUME ………………………………………………………………………………………... 139

INTRODUCTIONObserver par l'image des phénomènes grâce à un rayonnement invisible à l'oeil estsans doute un vieux rêve de l'humanité. La voie suivie pour observer l'invisible consiste àétudier une rétine artificielle constituée d'une matrice d'éléments sensibles au rayonnementconsidéré et de l'associer à un système d'acquisition et de traitement de l'information. Enbref, un appareil photo ou une caméra numérique sensible à d'autres rayonnements que lalumière visible. Les détecteurs élémentaires sont constitués de simples jonctions p - nréalisées dans un matériau semi-conducteur dont la hauteur de bande interdite est adaptée àl'énergie des photons infrarouges (IR) que l'on souhaite détecter.Les détecteurs d’infrarouges ont connu plusieurs avancées technologiques récentes.Les matrices de microbolomètres ont permis de démocratiser des caméras non refroidies.Les applications haut de gamme connaissent aussi des avancées prometteuses, avec lesmultipuits quantiques.Les rayons infrarouges ont une fréquence moins élevée que la lumière visiblerouge. Ces ondes sont invisibles à l'homme car sa vision dans le spectre du rouge ne va pasen deça de 0,60 µm. Selon leurs fréquences, les différentes radiations électromagnétiquessont plus ou moins absorbées par les molécules présentes dans l'atmosphère en fonction duspectre d'absorption de celles-ci. Il existe des fenêtres atmosphériques de transmission,c'est à dire des plages de fréquences pour lesquelles les radiations ne sont que faiblementabsorbées par l'atmosphère terrestre. La fenêtres d’infrarouge sont : proche NIR (NearInfraRed), court SWIR (Short Wave InfraRed), moyen MWIR (Medium Wave InfraRed),long LWIR (Long Wave InfraRed) et lointain FIR (Far InfraRed).Issue de plusieurs dizaines d'années de recherche, la technologie de l'analyse del'infrarouge est largement reconnue et utilisée dans les secteurs les plus pointus de lasécurité, la police et le militaire. Ces détecteurs de haute technologie, conçus pour détecterdes longueurs d’ondes de 7 à 14 µm, sont équipés d'un logiciel leur permettant d'être plussélectifs quant à la nature de la source de chaleur, c'est à dire la reconnaissance desdifférentes signatures infrarouges : minérales, végétales ou animales. Parmi lesapplications de ces détecteurs, on cite des applications en Astronomie, Métrologie et cartesmétrologiques, Imagerie médicale et scanners, Photos satellites et cartographie, Défense etactions militaires, informations tactiques et stratégiques fiables et récentes pour la1

INTRODUCTIONpréparation d’opérations militaires ou de sécurité, Détection et localisation des minesenterrées, Vision nocturne, Contrôle non destructif, La chasse et surtout nocturne du gibier,Détection infrarouge de passage et antivol.Les détecteurs infrarouges étudiés, dans ce mémoire, ont comme principe dedétection la conversion photovoltaïque. Ce mode de détection identique à celui bien connudes cellules solaires, suppose que l'on dispose d'un semi-conducteur dont l'énergie debande interdite (gap) est voisine de celles des photons à détecter. Parmi les candidatspressentis, l’alliage ternaire Hg 1-x Cd x Te (tellurure de mercure et de cadmium) a été retenucar il présente une propriété unique: son gap direct peut être ajusté continûment de 0 à l,6eV en modulant la stoechiométrie moyenne x de cadmium. Le problème essentiel àrésoudre pour l’emploi de ce détecteur est l’homogénéité de la composition sur l’ensembledu détecteur, en particulier pour les longueurs d’onde λ ≥ 12µm la composition del’alliage ternaire est critique pour x< 0,2.Le travail de Essaki et Tsu en 1970 [1] a causé un grand intérêt à l’étude dessuperréseaux formés à partir de couches alternées de deux semiconducteurs. Ledéveloppement de l’épitaxie par jet moléculaire a été appliqué par succès pour fabriquerdifférents puits quantiques et superréseaux. Parmi eux, les superréseaux III-V (Ga 1-x Al x As-GaAs [1-2]-type I), IV-IV (InAs/GaSb [3] - type II) et plus tard II-VI (HgTe/CdTe [4] -type III). Ce dernier a été prédit comme une stable alternative à l’alliage Hg 1-x Cd x Te enoptoélectronique infrarouge. Spécialement dans la région de la deuxième fenêtreatmosphérique (autour de 10 µm) qui est de grand intérêt dans les communications.HgTe et CdTe cristallisent dans la structure blend-zinc. Le faible désaccord de mailles0,3 % conduit à une faible interdifusion entre les couches de HgTe et CdTe à bassetempérature du substrat près de 200 °C par EJM. HgTe est un semiconducteur à bandeinterdite nulle (due à l’inversion des positions relatives des sommets des bandes Γ 6 et Γ 8[5]) quand il est mis entre deux couches de CdTe (semiconducteur à bande interdite large1,6 eV à 4,2 K) conduit à un superréseau HgTe/CdTe à bande interdite faible qui est la cléd’un détecteur d’infrarouge. Plusieurs papiers décrivent la structure des bandes par laméthode de la liaison serre [4] de ce système aussi bien que les propriétés magnetooptiqueset de transport [6].c2

INTRODUCTIONL’alternative de l’alliage Hg 1-x Cd x Te est donc le superréseau HgTe/CdTe de bandeinterdite ajustable par la variation de la période cristalline d=d 1 +d 2 , selon l’axe decroissance z, et qui est bien contrôlée grâce à la croissance par épitaxie par jet moléculaire.La comparaison des deux matériaux détecteurs s’étend également aux problèmesrencontrés classiquement dans les détecteurs, les courants de diffusion des zones p dudétecteur et le courant Tunnel bande à bande. Le premier terme est lié à la valeur de lamasse effective électronique qui est d’un ordre de grandeur plus grand dans le superréseau(masse transverse) donc correspondant à un plus faible courant. Le deuxième terme est liéà la longueur tunnel. Il apparaît que dans le superréseau, cette longueur est faible comparéeau ternaire. Il y aura ainsi limitation des courants nuisant à la détectivité.Dans ce mémoire nous exploitons nos calculs de la structure des bandes d’énergieélectroniques dans le formalisme de la fonction enveloppe. Nous interprétons nos résultatsde mesures du transport électronique et nous finirons par la description de la corrélationentre les paramètres de transport théoriques et expérimentaux des superréseaux HgTe-CdTe élaborés par épitaxie en jet moléculaire.Ce mémoire de thèse comporte les chapitres suivants :Le premier chapitre décrit des généralités sur la photodétection et les propriétésde l’alliage Hg 1-x Cd x Te et du superréseau HgTe/CdTe. Nous exposons les intérêts, leprincipe de fonctionnement des photodétecteurs, la place de l’alliage Hg 1-x Cd x Te et dusuperréseau HgTe/CdTe dans la photodétection Infrarouge, les propriétéscristallographiques, physiques, la structure des bandes d’énergie, la mobilité des porteursde charges de l’alliage Hg 1-x Cd x Te, les différents types de superréseaux (type I, type II ettype III) et les superréseaux HgTe-CdTe. Enfin nous énumérons les applicationstechnologiques des détecteurs d’infrarougesLe deuxième chapitre porte sur la résolution de l'équation de Boltzmann dansl’approximation du temps de relaxation, l’effet Hall, l’effet Seebeck, la théorie de lamodélisation de la mobilité et les mécanismes de diffusion qui contribuent au transportélectronique, le gaz d’électron bidimensionnel et l’Effet Shubnikov-de Haas. Enfin, nousexposons la théorie de calcul de la structure des bandes du superréseau CdTe et HgTe dansle plan et la direction orthogonale au plan du superréseau. Nous calculons l’influence dedivers paramètres (tels que la température, la période de superréseau, l’écart Λ entre les3

INTRODUCTIONbandes de valence de HgTe et CdTe) sur la structure des bandes d’énergie et la bandeinterdite.Le troisième chapitre sera consacré aux techniques expérimentales en particulier latechnique de l'épitaxie par jets moléculaires et la préparation des échantillons pour lesmesures. Nous décrirons les techniques de mesures, la mesure de l’effet Hall, de laconductivité, de l’effet Seebeck et de la magnétorésistance ou de l’effet Shubnikov- deHaas.Dans le quatrième chapitre nous présenterons les interprétations des résultatsexpérimentaux et la détermination des propriétés du transport (analyse de la constante deHall, le calcul de l’énergie de Fermi, le calcul de l’énergie de l’état donneur et l’analyse dela conductivité) et de modéliser la mobilité dans Hg 1-x Cd x Te (x =0.22).Le cinquième chapitre débute par l’exposé des résultats de calcul d’énergie selon k pet k z des échantillons sperréseaux HgTe/CdTe investies expérimentalement. Ensuite, lesuperréseau HgTe (56 Å)/ CdTe (30 Å) à caractère semiconducteur a été caractérisé par lesmesures de la diffraction de Braag, la magnétorésistance, la conductivité, la constante deHall, la mobilité de Hall, l’effet thermoélectrique, l’effet Shubnikov -de Haas et le calculdes niveaux de Landau. Alors que le superréseau HgTe (180 Å)/ CdTe (44 Å) à caractèresemi métallique a été caractérisé par les mesures de la magnétorésistance, la résistance deHall, la conductivité, la constante de Hall, la mobilité de Hall et le calcul de l’énergie deFermi E F (T) pour un transport parallèle bidimensionnel (2D) et tridimensionnel (3D).Enfin, nous finirons ce mémoire de thèse par une conclusion générale, lesperspectives et cinq annexes théoriques qui traitent la résolution de l’équation deBoltzmann dans l’approximation du temps de relaxation, les tenseurs de conductivité etrésistivité, l’Effet Hall et la formulation générale de la constante de Hall, l’Effet Seebeck etla formulation du coefficient thermoélectrique α, la quantification de l’énergie et lessingularités de la densité d’états d’un gaz d’électrons 3D sous un champ magnétique, etenfin, le formalisme de la fonction enveloppe et les relations de dispersion des sous bandesd’énergie des superréseaux HgTe/CdTe.4

INTRODUCTIONRéférences[1] L. Esaki and R. Tsu, Superlattice and negative differential conductivity inSemiconductors, IBM J. Res. Development, 61-65 (1970).[2] R. Dingle, A. C. Gossard, and W. Wiegmann, Direct Observation of SuperlatticeFormation in a Semiconductor Heterostructure, Phys. Rev. Lett. 34, 1327 - 1330(1975).[3] H. Sakaki, L. L. Chang, G. A. Sai-Halasz, C. A. Chang and L. Esaki, Two-dimensionalelectronic structure in InAs-GaSb superlattices, Solid State Communications,Volume 26, Issue 9, 589-592 (1978).[4] G. Bastard, Theoretical investigations of superlattice band structure in the envelopefunctionapproximation, Phys. Rev. B 25, 7584 - 7597 (1982).[5] J. Tuchendler, M. Grynberg, Y. Couder, H. Thomé, and R. Le Toullec, SubmillimeterCyclotron Resonance and Related Phenomena in HgTe, Phys. Rev. B 8, 3884 - 3894(1973).[6] Ab. Nafidi, A. El Kaaouachi, H. Sahsah, Ah. Nafidi, Band structure and magnetotransportin HgTe/CdTe superlattice, Book of abstracts of the InternationalConference on Theoretical Physics (HT 2002), Paris, France 22-27 July, 274-275(2002).5

Chapitre 1Généralités sur la photodétection etpropriétés de l’alliage Hg 1-x Cd x Te et dusuperréseau HgTe/CdTeSOMMAIREI.A Introduction………………………………………………………………...…….. 7I.B La photodétection infrarouge……………………………………………………. 7I.B.1 Les intérêts de la technologie infrarouge …………………...…………………… 7I.B.2 Principe de fonctionnement des photodétecteurs ………..……………………… 9I.B.3 Place de l’alliage Hg 1-x Cd x Te et du superréseau HgTe/CdTe dans laphotodétection Infrarouge ………………………………………………………. 12I.C Le tellurure de mercure et de cadmium ………………………………………. 13I.C.1 Propriétés cristallographiques du tellurure de mercure et de cadmium ……….. 14I.C.1.a Structure cristalline …………………………………………………………… 14I.C.1.b Les imperfections du réseau cristallin ………………………………………... 16I.C.1.b.1 Dislocations et défauts ponctuels …………………………………………... 16I.C.1.b.2 Atomes étrangers …………………………………………………………… 17I.C.2 Propriétés physiques du tellurure de mercure et de cadmium…………………... 17I.C.2.a Hg 1-x Cd x Te un alliage semi-conducteur à bande interdite continûment ajustable 17I.C.2.b Structure de bandes d’énergie ……………………………………………….... 20I.C.2.c Mobilité des porteurs de charges …………………………………………….... 24I.D Les super-réseaux HgTe/ CdTe ………………………………...………………. 25I.D.1 Les différents types de superréseaux …………………………………………... 28I.D.1.a Superréseaux de type I ………………………………………………………… 29I.D.1.b Superréseaux de type II ………………………………………………………. 29I.D.1.c Superréseau de type III ………………………………………………………. 29I.D.2 Les superréseaux HgTe-CdTe …………………………………………………. 30I.E Applications des détecteurs d’infrarouges ……………………………………. 346

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.I.A INTRODUCTIONLes détecteurs d’infrarouges ont connu plusieurs avancées technologiques récentes.Les matrices de microbolomètres, ont permis de démocratiser des caméras non refroidies.Les applications haut de gamme connaissent aussi des avancées prometteuses, avec lesmultipuits quantiques.Notre attention se porte plus particulièrement sur le cas du tellurure de mercure etde cadmium à savoir l’alliage Hg 1-x Cd x Te et le superréseau HgTe/CdTe, deux matériauxtrès utilisés pour la fabrication de photodétecteurs infrarouge. Après en avoir retracél'historique, nous en présentons les caractéristiques physiques afin de pouvoir mettre enplace un modèle adéquat, capable de rendre compte du comportement électronique dumatériau et des phénomènes physiques qui s'y produisent.I.B LA PHOTODETECTION INFRAROUGEI.B.1 Les intérêts de la technologie infrarougeSelon leurs fréquences, les différentes radiations électromagnétiques sont plus oumoins absorbées par les molécules présentes dans l'atmosphère en fonction du spectred'absorption de celles-ci. Les longueurs d'ondes du domaine de l'infrarouge, situées entre700 nm et 500 µm, n'échappent pas à cette règle et nous avons reporté sur la figure I.1 letaux de transmission des ondes infrarouges en fonction de leurs longueurs d'ondes [1.1].Nous pouvons remarquer qu'il existe des fenêtres atmosphériques de transmission, c'està dire des plages de longueurs d'ondes pour lesquelles les radiations ne sont que faiblementabsorbées par l'atmosphère terrestre. Ces fenêtres de transmission sont classées selon leslongueurs d'ondes concernées de la façon suivante :• La fenêtre d’infrarouge proche NIR (Near InfraRed) correspond aux longueursd'ondes comprises entre 0,7 µm et 1,5 µm;• La fenêtre d’infrarouge court SWIR (Short Wave InfraRed) correspond àl'intervalle de longueurs d'ondes 1,5 µm – 2,5 µm• La fenêtre d’infrarouge moyen MIR (Mid Iinfrared): cette fenêtre se compose dedeux subdivisions : L’nfrarouge médian MWIR (Middle Wave InfraRed) correspond à la plage3,4 µm – 5,2 µm. L’infrarouge thermique ou Infrarouge de long longueur d’onde LWIR (LongWave InfraRed) concerne les longueurs d'ondes comprises entre 7,5 µm et14 µm.7

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.• La fenêtre d’infrarouge lointain : FIR (Far InfraRed) concerne les longueursd'ondes situées en dessus de 14 µm.Figure I.1 : Transmission en fonction de la longueur d’onde par temps clairD'un autre côté, les corps émettent des radiations dans différentes gammes defréquences et en particulier des ondes du spectre infrarouge correspondant aux fenêtresatmosphériques de Transmissions décrites précédemment. La densité spectrale d'énergierayonnante u(λ ; T) diffère selon la température du corps et vérifie la loi de Planck donnéepar la relation (1.1) où λ est la longueur d'onde d'émission, T c la température du corpsnoir, h la constante réduite de Planck, k B la constante de Boltzmann et c la vitesse de lalumière dans le vide.8πhc 1u(λ,Tc)= (1.1)λ5⎛ hc ⎞exp ⎜ ⎟-1⎝ λkBTc⎠Nous avons reporté dans la figure I.2 l'allure de cette grandeur pour destempératures de 5780 K, 300 K et 77 K, correspondant respectivement à la température dusoleil, à celle ambiante et à celle de l'azote liquide.Figure I.2 : Allure de la densité spectrale d’énergie rayonnante u en fonction de lalongueur d’onde et illustration de la loi de Wien relative au déplacement dumaximum d’émission.8

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Chaque courbe pressente un maximum pour une longueur d'onde qui lui est propre.Par conséquent, pour chaque température il existe une longueur d'onde pour laquellel'émission d'énergie par le corps noir est maximale. Ce maximum de la densité u se déplacevers des longueurs d'ondes plus grandes lorsque la température diminue en suivant la loi deWien, donnée par la relation :λ .T = 2898 µm.K (1.2)maxOù λ max est la longueur d'onde correspondant au maximum d'émission. Cetteexpression permet de conclure que le maximum d'émission d'un corps noir se trouvant àune température environnant 300 K sera atteint pour des longueurs d'ondes se situant dansle spectre infrarouge. Par conséquent, la fabrication et la mise en place de dispositifscapables de détecter ces longueurs d'ondes présentent un très grand intérêt. Remarquonsque, plus particulièrement, la longueur d'onde d'émission maximale d'un corps noir setrouvant à température ambiante se situe aux alentours de 10 µm, c'est à dire dans lafenêtre LWIR, ce qui fait de cette dernière une fenêtre de prédilection pour les applicationsde vision nocturne ou en condition de faible visibilité.L'intérêt drainé par la technologie infrarouge a rendu cette fenêtre incontournabledans un grand nombre de domaines, toujours plus nombreux, dont les principaux segmentssont les applications militaires, le contrôle non destructif et l'imagerie médicale [1.2].Ainsi, des dispositifs de vision nocturne équipent les avions de chasse ou les fantassins,permettant la détection, la reconnaissance et la prise en chasse de cibles, quand desdispositifs de thermographie fournissent des informations sur la température des corpsobservés. D'autres systèmes permettent le guidage d'avions et de missiles ou bien lasurveillance par satellite, que ce soit dans le cadre d'applications de défense ou dans ledomaine civil (météorologie, détection des feux de forets, chasse nocturne etc.). Desapplications de spectroscopie infrarouge sont pour leur part mises en oeuvre dans lesdomaines scientifique, médical et industriel.I.B.2 Principe de fonctionnement des photodétecteursAu XIX ème siècle, période à laquelle la technologie infrarouge a fait ses premierspas, les capteurs utilisés étaient des photopiles ou des bolomètres, dont les principes defonctionnement étaient basés sur des effets thermoélectriques [1.3]. Il a fallut attendre lamise en évidence de l'effet photoélectrique et surtout son explication par Albert Einstein en1905 pour que les capteurs thermiques puissent céder la place aux photodétecteursquantiques tels qu’on les conçoit encore aujourd'hui. C'est plus précisément en 1917 quec9

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Case développa le premier photodétecteur basé sur la conversion directe de la lumière ensignal électrique [1.4]. Plus tard, en 1933, la photoconductivité du PbS serait découvertefaisant de ce matériau le premier semi-conducteur à application optronique. Si depuis laseconde guerre mondiale la technologie infrarouge a connu un essor extraordinaire, leprincipe de fonctionnement des photodétecteurs est resté le même, reposant sur l'effetphotoélectrique dont le schéma de principe est reporté sur la figure I.3. Cet effet peuts'énoncer ainsi : Lorsqu'un photon rencontre un électron prisonnier d'un atome, il luitransmet son énergie. Si cette énergie est suffisante, celui-ci peut alors quitter l'atome etdevenir un électron libre.Figure I.3 : Schéma de principe de l’effet photoélectriqueL'énergie nécessaire pour libérer l'électron photoexcité est appelée travail de sortie.Dans le cas des photodetecteurs à base de semiconducteurs, le travail de sortie correspondà l'énergie nécessaire pour faire transiter un électron depuis un niveau dans lequel il setrouve piègé vers la bande de conduction. C'est à ce processus de transformation de lalumière en électricité par basculement d'états qu'ils doivent leur nom de détecteursquantiques. Le niveau piège peut être un état de la bande de valence, comme le montre lafigure I.4(a). Le travail de sortie correspond dans ce cas à la bande interdite du matériau etl'on parle d'un mode de photodétection intrinsèque. Mais ce peut être aussi un atomedonneur [figure I.4(b)] ou accepteur [figure I.4(c)] qui engendre le niveau piège et l'onparle dans ce cas d'un mode de photodétection extrinsèque, respectivement de type n ou detype p. Cette fois-ci, le travail de sortie ne correspond plus à la bande interdite mais al'énergie E c -E d dans la photodétection de type n ou E a -E v dans celle de type p, où lesgrandeurs E a , E d , E c et E v représentent respectivement les énergies du niveau donneur, duniveau accepteur, du minimum de la bande de conduction et du maximum de la bande devalence.10

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Figure I.4 : différents types de photodétection : intrinsèque (a), extrinsèque de type n (b)et extrinsèque de type p (c).Comment est-on passé de la réalisation de simples diodes élémentaires à devéritables rétines infrarouges constituées de dizaines voire de centaine de milliers de pixels(détecteurs élémentaires) ? La réponse se trouve dans l'architecture hybride (figure I.5)retenue pour ces composants [1.5]. Elle est constituée d'une part de la matrice de détectionréalisée dans le semi-conducteur HgCdTe, d'autre part d'un circuit de lecture réalisé entechnologie CCD (Charge Coupled Device) ou CMOS (Complementary Métal-OxideSemiconductor) sur silicium. Ces constituants sont interconnectés par des microbillesd'indium en nombre égal à deux celui des points élémentaires de détection, soit de l'ordrede 300000 pour une matrice de format TV (640 x 480 pixels). Chaque point élémentaire ducircuit de détection convertit le flux lumineux en charges électriques qui sont à leur tourconvertit en tension en bout de colonne de manière à extraire un signal de type vidéo.Figure I.5 : Architecture hybride des senseurs infrarouges montrant l'interconnexion desdiodes photovoltaïques HgCdTe aux pixels du circuit silicium par microbillesd'indium.11

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.I.B.3 Place de l’alliage Hg 1-x Cd x Te et le superréseau HgTe/CdTe dans laphotodétection InfrarougeLa photodétection infrarouge est, à l'image de la télémétrie et de nombred'applications, un domaine qui a pris son essor de par ses nombreuses perspectivesmilitaires. Cependant, si le radar était un outil déjà au point durant la seconde guerremondiale, la photodétection infrarouge n'était pour sa part qu'une technologie naissante.Elle consistait principalement en l'utilisation d'éléments de cellules simples de sulfure deplomb (PbS), opérant dans la gamme de longueurs d'ondes 1,5 - 3µm, pour la détection etla défense anti-missiles [1.6]. Mais, très vite, l'extension du domaine spectral versl'infrarouge moyen 3 - 5 µm (MWIR) puis vers la fenêtre (LWIR) 8-14 µm répondit aubesoin de mettre en place d'autres applications telles que le guidage ou l'imagerie passivequi permet, en particulier, l'observation nocturne de l'ennemi à l'aide de dispositifs nepermettant pas leur détection.A la fin des années 1950, des semi-conducteurs comme l'antimoniure d'indium(InSb), le séléniure de plomb (PbSe) ou le tellurure de plomb (PbTe) permettaient d'opererdans la bande 3 - 5 µm quand des matériaux tels que le germanium dopé par du mercure(Ge : Hg) étaient destinés à la fenêtre 8 - 14 µm. Si les deux premiers sont intrinsèques etpeuvent de ce fait fonctionner à la température de l'azote liquide, ce dernier fonctionne surle principe de la photodétection extrinsèque décrite précédemment et nécessite parconséquent un refroidissement nettement plus important [1.3]. Plus précisément, latempérature de fonctionnement du Ge:Hg est de 30 K, ce qui pose des problèmes en termede coût et implique en même temps des difficultés au niveau de l'embarquement desdispositifs.L'objectif pour la bande LWIR était alors de trouver un matériau intrinsèque etpouvant opérer à 77 K : un matériau qui aurait en quelques sortes les propriétés de l'InSbmais avec une bande interdite réduite de moitié. En 1959, Lawson et al. [1.7] mirent enévidence la dépendance de la largeur de bande interdite du HgCdTe en fonction de lafraction de cadmium. En effet, la bande interdite de cet alliage ternaire peut être ajusté defaçon continue entre 0 et 1,6 eV (à 77 K) permettant théoriquement la détection de toutesles longueurs d'ondes supérieures à 0,8 µm. Par la suite, cette propriété serait mise a profitpour mettre au point des photodétecteurs intrinsèques, à base de Hg 1-x Cd x Te, fonctionnantdans l'ensemble des fenêtres atmosphériques,et en particulier dans l'intervalle de longueursd'ondes 8 - 14 µm (figure I.6), correspondant aux applications de vision nocturne.12

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Malgré de grands obstacles technologiques, tant au niveau de la fabrication que de lacaractérisation du matériau, de rapides progrès furent faits. Ainsi, dès 1965, de premiersprototypes de photodétecteurs à base de HgCdTe firent leur apparition dans des systèmesd'imagerie thermique, débouchant très vite sur la production d'éléments simples ou depetites matrices linéaires. La technologie des détecteurs photoconducteurs atteignit samaturité en 1980, en particulier dans le cas du Hg 0.795 Cd 0.205 Te, utilisé alors dans la fenêtreLWIR pour faire de la cartographie aérienne ou des systèmes FLIR (Forward LookingInfraRed) permettant la navigation et l'attaque en conditions de faible visibilité.De nos jours, le HgCdTe est utilisé pour fabriquer des matrices photodétectricesbasées sur la conversion photovoltaïque et opérant dans les différentes fenêtresatmosphériques [1.8]. Il ouvre des perspectives intéressantes vers des applications dephotodétection multi spectrales [1.9]. Il est utilisé tant dans le domaine militaire (guidagede missile, défense anti-missile, vision nocturne, surveillance aérienne, etc.) que dans ledomaine industriel (contrôle non destructif) ou civil (imagerie médicale, observationssatellites, etc.).Ultraviolet Visible Proche IR IR (Infrarouge)λ (µm)0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 2 4 6 8 10 20SiHgCdTeGaAsPPbSGaPGeCdSFigure I.6 : Longueur d’onde de détection des semi-conducteurs les plus utilisésI.C LE TELLURURE DE MERCURE ET DE CADMIUMEn ce qui concerne le tellurure de mercure et de cadmium, peu de paramètresélectriques, tels que la mobilité ou le cœfficient de diffusion, sont disponibles dans lalittérature. Il est toutefois possible de trouver un grand nombre de paramètres physiques.Nous exposons ici ceux qui nous seront utiles pour mettre en place un modèle décrivantcorrectement ce matériau.13

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.I.C.1 Propriétés cristallographiques du tellurure de mercure et de cadmiumI.C.1.a Structure cristallineL'alliage ternaire Hg1-xCd xTe a une structure de type Zinc blende constitué de deuxsous réseaux cubique a face centrés translatés d’un quart de la diagonale principale du cubeoù chaque ion Te est entouré par quatre plus proches voisins qui peuvent être un ion Hgou un ion Cd (voir figure I.7 (a)). La première zone de Brillouin pour ce type de structureest présentée dans la figure I.7 (b) avec les principaux points et lignes de symétrie.D'un point de vue technologique, le tellurure de mercure et de cadmium est unalliage ternaire fabriqué à partir de tellurure de cadmium (CdTe) et de tellurure de mercure(HgTe), qui sont respectivement un semi-conducteur et un semi-métal de type II-VI (figureI.8). Ces matériaux cristallisant tous les deux dans la structure blende de zinc. La structurecristallographique de l'alliage tellurure de mercure et de cadmium est elle aussi de typeblende de zinc.Figure I.7 : Structure cristalline de Hg 1-x Cd x Te (a). Première zone de Brillouin deHg 1-x Cd x Te (b).Figure I.8 : Extrait de la classification périodique des éléments.14

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Les paramètres de maille du CdTe et du HgTe sont très proches puisqu'ils sont de6.482 Å pour le premier et de 6.462Å pour le second. De fait, ils sont miscibles en toutesproportions et, si l'on note x la proportion de cadmium, celle-ci peut prendre n'importequelle valeur comprise entre 0 et 1. Le paramètre de maille a du Hg 1-x Cd x Te vérifie alors larelation empirique [1.10] :03a( A ) = 6,4614 + 0,0084 x + 0,0168 x² - 0,0057 x (1.3)6.4806.476a ( Å)6.4726.4686.4646.4600.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0Figure I.9 : Paramètre a de la maille cubique de l’alliage Hg 1-x Cd x Te en fonction de laproportion x de cadmium.xCette dernière expression est reportée sur la figure I.9. Remarquons que leparamètre a augmente légèrement de 2% avec x.Il existe aussi une relation empirique liant la proportion de cadmium x à la massevolumique ρ du matériau [1.11], exprimée par :où ρ est exprimée en g/cm 3 .x = 3,628 - 0,44924ρ (1.4)Si elle agit sur les paramètres cristallographiques, la proportion de cadmiummodifie au même titre la structure de bandes électronique du matériau (Figure.I.15).I.C.1.b Les imperfections du réseau cristallinLes principales propriétés physiques dans les semi-conducteurs ou les semi-métauxtels que la mobilité et la densité des porteurs à basses températures, sont contrôlées par lesimperfections du cristal. Il y a trois types d'imperfection d'intérêt majeur : les dislocations,les défauts ponctuels et les impuretés d'atomes étrangers.15

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.I.C.1.b .1 Dislocations et défauts ponctuelsOn peut citer : la dislocation060 a été observée dans CdTe [1.12]. Il n'y a aucuntravail disponible sur la dislocation dans l’alliage qui présente des défauts ponctuels sousforme de lacunes et interstitiels.Il a été observé que le type n ou p dépend de leurs préparations. Habituellement desmatériaux Hg1 − xCdxTede types n ou p avec x=0.2 sont produits par le processus desolidification dans une vapeur riche en Hg ou Te. Trois types de défauts sont à l’origine dece comportement, à savoir des lacunes Hg et Te et des interstitiels Hg.Figure I.10 : Position du niveau accepteur associé aux lacunes Hg en fonction de la bandeinterdite[1.13].L'évidence pour les lacunes Hg a été obtenue dans une composition semiconductriceaussi bien que dans une semi-métallique. Elles correspondent à un étataccepteur résonnant avec la bande de conduction pour x ≤ 0,16 dont l'énergie dépend dela fraction molaire x, c’est à dire de la bande interdite E 0 comme il est montré sur la figureI.10 [1.13].Elliott et al [1.14] ont déduit à partir de mesures du gel thermique des porteurs et dephotoluminescence un niveau accepteur d'approximativement à 20meV au-dessus de labande de valence. Cette valeur d'énergie a été trouvée dans l’alliage semiconducteur detype p pour 0,2 ≤ x ≤ 0,5 . Cet état accepteur est d’origine une lacune de Hg. Lesalliages riches en Hg conduisent au type n. Les alliages de type n peuvent aussi être duesaux lacunes Te ou aux interstitiels Hg ([1.15],[1.16]).16

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.I.C.1.b.2 Atomes étrangersLes propriétés d'atomes étrangers ont été investies dans plusieurs expériences.Cependant, les données fiables sont seulement disponibles pour Cu qui agit commeaccepteur. Son niveau d'énergie est approximativement 1meV au-dessus du bord de labande Γ8dans la région semi-métallique du système de l’alliage [1.17]. Les niveauxdonneurs en rapport avec les atomes étrangers n'ont pas été identifiés. Ceci peut être dû à lafaible énergie d'ionisation dans les alliages pour x faible. Pour x pas trop grand, lespropriétés du transport extrinsèque sont dominées plutôt par les défauts ponctuels que parles impuretés étrangères. Pour obtenir des matériaux purs pour des applications techniques,Il a été plus facile de réduire le nombre d'impuretés chimiques que celui des défauts.I.C.2 Propriétés physiques du tellurure de mercure et de cadmiumI.C.2.a Hg 1-x Cd x Te un alliage semi-conducteur à bande interditecontinûment ajustableLes détecteurs d’infrarouges étudiés, dans ce mémoire, ont comme principe dedétection la conversion photovoltaïque. Ce mode de détection identique à celui bien connudes cellules solaires, suppose que l'on dispose d'un semi-conducteur dont l'énergie debande interdite (gap) est voisine de celles des photons à détecter. Parmi les candidatspressentis, l’alliage ternaire Hg 1-x Cd x Te (tellurure de mercure et de cadmium) a été retenucar il présente une propriété unique: sa bande interdite direct peut être ajusté continûmentde 0 à l,6 eV [1.18] en modulant la stoechiométrie moyenne x de cadmium (Figure1.11).Ainsi, pour réaliser un photodétecteur à base de HgCdTe de bande interdite 0,1 eV etdevant fonctionner à la température de l'azote liquide (77 K), une composition moyenne encadmium de 20,5% est requise (Figure1.11).La bande interdite E g de l'alliage tellurure de mercure et de cadmium vérifie la relationempirique [1.11] :3 -4E g (x,T)= - 0,302 + 1,93x - 0,810x² + 0,832x + 5,03510 (1-2x) T (1.5)où T(K) est la température du matériau et E g (eV) sa bande interdite.L'expression (1.5) est reportée sur la figure 1.12 pour des températures de 4,2K, 77K et300 K. Nous pouvons remarquer que, à 77 K, la bande interdite du Hg 1-x Cd x Te estcontinûment ajustable entre les valeurs -0,3 et 1,6 eV, qui sont respectivement les bandesinterdites de HgTe et de CdTe. De plus, la bande interdite n'est positive que pour des17

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.valeurs de x supérieures à 0,15. Dans ces conditions, ce n'est qu'à partir d'une fraction decadmium de 15 % que l'on peut parler de matériau semi-conducteur.E g(eV)0,45x=0.40,400,35x=0.350,30x=0.30,250,20x=0.250,15x=0.205x=0.20,10x=0.150,050,00x=0.10 50 100 150 200 250 300T(K)Figure I.11 : Evolution de la bande interdite E g de l’alliage Hg 1-x Cd x Te avec latempérature T et la composition x de Cadmium.Si la proportion de cadmium x détermine la bande interdite, il en est de même pourla longueur d'onde de coupure λ c . En effet, l'énergie d'un photon E ph associée à uneradiation de longueur d'onde λ vérifie la relation :hcE = (1.6)λph1,6E g(eV)1,41,21,00,80,60,40,20,0-0,2T=300KT=77KT=4,2K0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0xFigure I.12 : Largeur de bande interdite E g en fonction de la proportion de cadmium pourdes températures de 4,2K, 77K et 300 K.18

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Ce dernier n'est détecté que si E ph ≥ E g où E g vérifie la relation :Eg(eV) = λc ( m)1,24(1.7)µPar conséquent, le matériau semi-conducteur ne détecte que les longueurs d'ondes λvérifiant :1240λ(µm) ≤ (1.8)λc(µm) = Eg (meV)Nous avons reporté sur la figure 1.13 la longueur d'onde de coupure en fonction dela fraction de cadmium x et la température. Pour un x donné inférieur à 0,45, λ c augmentequand T diminue.Remarquons que la quasi-constance du paramètre de maille par rapport à laproportion de cadmium, à laquelle nous avons fait référence précédemment, est unepropriété très intéressante du HgCdTe puisqu'elle permet la croissance de différentescompositions du matériau sur le même substrat. Il devient de ce fait possible de faire desphotodétecteurs infrarouges multispectraux, c'est à dire permettant la détection à partir d'unseul et même dispositif des longueurs d'ondes appartenant à différentes fenêtresatmosphériques. Cet aspect présente actuellement un enjeu important, notamment auniveau de l'amélioration de la détection d'objets noyés dans des environnements complexes[1.9].302520T= 4.2 KT=77 KT= 300 Kλ c(µm)1510500,2 0,4 0,6 0,8 1,0xFigure I.13 : Longueur d’onde de coupure λ cen fonction de la fraction x de cadmium pourdes températures de 4,2K, 77K et 300 K19

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.I.C.2.b Structure de bandes d’énergieHg1-xCd xTe de structure cristalline blende de zinc a une structure de bandeélectronique similaire à celle de InSb. Les propriétés fondamentales sont au centre de lapremière zone de Brillouin Γ où la bande interdite est directe. La méthode k.p établie par Kane [1.19] repose sur la théorie des perturbations. Ellepeut être déduite de l’équation de Schrödinger d’un électron suivante :2⎡ p ⎤⎢ + U r ⎥ ϕ r = Enknk ϕnrk⎣2m⎦ (1.9)( ) ( ) ( ) ( )Le théorème de Bloch donne les fonctions d’ondes ϕ ( r )nk( )nknk ϕ r = u (r)exp(ik.r) solutions comme :(1.10)Où n désigne l’indice d’une bande d’énergie, k est le vecteur d’onde situé dans lapremière zone de Brillouin, etconduit à l’équation (en termes de u nk):unk a la périodicité du cristal de potentiel U( r ) . Ce qui2 2⎡ ħ U ( r ħ 2) ( k p ⎤) u (r) ⎡ E nkn ( k ħ) k ⎤⎢− + + ⋅ = − u (r) ∆ nk2m m⎥ ⎢2m⎥(1.11)⎣ ⎦ ⎣ ⎦Connaissant la solution pour un état donné k 0on peut trouver par extrapolation lessolutions près de cet état. Ce qui conduit à déterminer le spectre d’énergie En( )k dans lapremière zone de Brillouin. L’origine des énergies est au sommet de la bande de valence. La méthode k ⋅pde Kane donne les relations de dispersion suivantes (autour de k-Figure I.14) pour un semi-conducteur à bande interdite E g étroite (i.d E g

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Cette dernière bande décrit l’interaction spin-orbite des électrons et est décalé, versle bas de la bande de valence, de l’énergie δ. P étant l’élément de la matrice de Kane.EΓ 6Γ 8E gB cB vh hl hδΓ 7B S OΓkFigure I.14 : Modèle pour la structure de bande d’un semi-conducteur cristallisant dansla structure blende de zincLa clé du changement de la structure de bandes de l’alliage Hg1-xCd xTe , enfonction de la fraction molaire x est l’inversion d'ordre des bandes Γ 6 et Γ 8 dans HgTe enFigure I.15 : Variation de la structure des bandes de Hg 1-x Cd x Te avec la composition et lapression à 77 K [1.20]21

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.comparaison avec les composés II-VI normaux de structure ZnS. Cette inversion d'ordrerésulte principalement d’effets relativistes abaissant le niveau Γ 6 jusqu'à ce qu’il soit audessous du niveau Γ 8 Figure I.15.La figure I.12 montre que la bande interdite augmente de -0,3 eV (HgTe) à 1,6 eV(CdTe) quand x augmente de 0 à 1. La transition de l’état semimétallique à l’état semiconducteurse manifeste pour x voisin de 0,14. Les bandes interdites étroites sont obtenues≤≤pour 0,14 x 0,25 . L’échantillon étudié dans ce mémoire est dans ce domaine.La masse effective en bas de la bande de conduction m c peut être quant à ellecalculée à partir de ces grandeurs puisqu'elle vérifie la relation suivante [1.10] :3 ħ²E g( δ + Eg)mc=34P²( δ + Eg)2(1.13)Où P est l'élément de matrice de Kane, avec P ≈ 8,28 10 -10 eV.m [1.21]. Nous avonstracé cette relation sur la figure I.16.12m e*(x10 -2 m 0)10864T= 4.2 KT= 77 KT=300 K200,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0XFigure I.16 : Masse effective électronique en bas de la bande de conduction , normalisée àla masse de l’électron libre, en fonction de la fraction de cadmium pour destempératures de 4,2 K , 77K et de 300KSi l'on veut que le modèle représenté sur la figure I.14 soit suffisamment précis etutilisable pour un plus grand nombre de semi-conducteurs, il faut prendre en compte lanon-parabolicité de la bande de conduction. En effet, l’interaction des états de la bande devalence et de la bande de conduction, due à la proximité de celles-ci dans le diagramme22

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.des énergies, induit une non-parabolicité de la courbe de dispersion des états de conduction[1.22]. Elle dépend de l’écart énergétique des deux bandes c.à.d de la bande interdite E g dumatériau. Elle sera d'autant plus importante pour E g faible.La courbe de dispersion de la bande de conduction vérifie alors la relation [1.23]ħ²k² =E(k) 1+αE(k)2mc[ ]Où, de façon équivalente,-1+ 1+4αγE(k)=2α≡ γ(E(k))(1.14)(1.15)La grandeur α décrit la non-parabolicité de la bande de conduction et est de faitappelée coefficient de non-parabolicité. Celui-ci est relié à la bande interdite par la relation[1. 24] :⎛⎡2m ⎞ 1 ⎢E . δcgα = ⎜ 1 - ⎟ . ⎢1 -2⎥⎝ m0 ⎠ Eg⎢ 3(Eg+ δ )(Eg+ δ ) ⎥⎣3⎤⎥⎦(1.16)Où m 0 est la masse de l'électron libre. Notre calcul de α est représenté sur la figureI.17. Conformément à nos attentes, le coefficient de non-parabolicité décroît quand xaugmente, c'est à dire à mesure que E g augmente. De plus, pour les faibles proportions decadmium (x < 0.25), α augmente quand la température diminue.4032T=300 KT= 77 KT= 4.2 Kα (eV -1 )2416800,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0xFigure I.17 : Coefficient de non- parabolicité α en fonction de la proportion de cadmiumpour des températures de 4,2K, 77K et 300K.23

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.I.C.2 .c Mobilité des porteurs de chargesLa mobilité permet d'évaluer la rapidité des porteurs de charges du matériau semiconducteur.On peut alors imaginer l'importance de ce paramètre dans les applicationsoptroniques. Aussi, de nombreuses expérimentations ont été menées afin de mesurer lamobilité du Hg 1-x Cd x Te pour différentes compositions et pour différentes températures.Nous avons reporté dans la figure I.18 les mobilités de Hall mesurées par Scott [1.25] pourdifférents échantillons de Hg 1-x Cd x Te afin d'évaluer la dépendance de la mobilité de latempérature et de la fraction de cadmium. Pour les concentrations considérées, la figureI.18(a) montre que la mobilité croît avec la température jusqu'à 50 K. Puis elle décroîtaprès dans le domaine intrinsèque. Cette diminution est due à l’augmentation des collisionsdes porteurs de charges avec les phonons à hautes températures. De plus, aux bassestempératures (T

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.distribution du potentiel dans le superréseau GaAs/AlAs suivant la direction de croissancez des couches [1.26]. Le potentiel est périodique de période d, unidimensionnel selon z. Lapériodicité artificielle d, plus grande que celle du réseau cristallin cubique a justifiél’appellation de superréseau.La superposition de d à la maille a dans l’espace direct conduit à un rétrécissementde la zone de Brillouin en une zone de largeur 2π/d dans l’espace réciproque selon k z[1.27]. Des mini bandes interdites apparaissent et comme le mouvement dans le plan dusuperréseau est libre suivant k x et k y , on assiste à la formation de sous bandes quantiquesou mini bandes (figure I.20).(a)Figure I.19 : (a)Schéma illustrant un superréseau (b) distribution du potentiel dansle superréseau GaAs/AlAs suivant la direction de croissance z descouchesFigure I.20 : Formation de sous bandes quantiques et de mini bandes interditesdans un superréseau.25

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Les propriétés du superréseau seront dépendantes des épaisseurs respectives d 1 et d 2des couches des deux constituants ainsi que des barrières de potentiel ∆E c et ∆E v ( figureI.19 (b)).Ainsi des électrons d’énergie supérieure à ∆E c ne verront pas le superréseau et lematériau peut être considéré comme tridimensionnel.Si l’énergie des électrons est inférieure à ∆E c , deux cas sont possibles :- Si l’épaisseur d 2 , de la couche du semiconducteur à bande interditeEg 2large, est grandecomparée à la longueur de pénétration de la fonction d’onde du porteur dans le puit depotentiel, chaque puit sera découplé du voisin et le superréseau pourra être traité comme unensemble de puits quantiques découplés.- Dans le cas contraire, il y aura possibilité de passage tunnel des porteurs entre puits etcouplage des fonctions d’ondes par un transport parallele à l’axe z de croissance.La première proposition de synthèse de superréseau a été suggérée par Essaki et Tsu en1969 [1.28] soit par modulation de composition, soit par modulation de dopage parépitaxie par jet moléculaire.Dans le premier cas, cela implique un faible désaccord de maille cristalline des deuxconstituants.L’allure des bandes est présentée dans la figure I.21.a.Les superréseaux à modulation de dopage s’obtiennent par dopage alterné n et p d’unmême semiconducteur au cours de la croissance figure I.21.b.Chaque couche n ou p est séparée par une zone intrinsèque i d’où le nom de nipi [1.29].Les grandes possibilités de croissance qu’offrent les techniques d’épitaxie (jet moléculaireou organométallique) ont permis le développement de structures plus complexes, parexemple, celles à dopage modulé. La figure I.21.c donne un tel exemple : les porteurs dansla couche active (matériau à bande interdite étroite) proviennent du transfert de charge dumatériau à grande bande, dopé, au travers de l’hétérojonction lors de son élaboration. Laprésence d’une couche non dopée sépare les porteurs des impuretés, ce qui confère unehaute mobilité aux porteurs, la diffusion par impuretés étant ainsi fortement réduit.26

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.d’interface. Les technologies modernes de croissance évitent en grande partie lacontribution de ces derniers.Il ressort, en fonction des paramètres précédents que l’on peut classer les superréseauxen 3 types :- Le superréseau de type I décrit par Ga 1-x Al x As-GaAs du groupe III-V ([1.31], [1.32])- Le superréseau de type II décrit par InAs-GaSb du groupe IV-IV ([1.32])- Le superréseau de type III décrit par HgTe-CdTe du groupe II-VI ([1.33])I.D.1.a Superréseaux de type ILa figure I.22.a montre la position respective des extremums des bandes del’hétérojonction GaAs-Ga x Al 1-x As, caractérisée par la relation :Eg 2 – Eg 1 = ∆E c + ∆E v (1.17)Dans le superréseau, les bandes de conduction et de valence du matériau à pluspetite bande interdite, GaAs, vont se trouver entre celle de GaAlAs (Figure I.22.a)Les électrons ou trous sont confinés dans les puits de potentiel ainsi formés.L’énergie des sommets de mini bandes est notée E i ou H i .I.D.1.b Superréseaux de type IILa figure I.22.b donne la disposition des bandes dans l’hétérojonction InAs-GaSb.Dans ce cas nous avons :E g2 +E g1 = ∆E c + ∆E v -2E S (1.18)Nous voyons que l’énergie du bas de la bande de conduction de InAs se situe sousle sommet de la bande de valence de GaSb.Dans ce superréseau, la disposition des bandes est donnée par la figure I.22.b.Le confinement des électrons et des trous se produit dans chaque matériau. Bienque séparés spatialement la présence des deux types de porteurs confère un caractère semimétallique[1.34].I.D.1.c Superréseaux de type IIILa particularité de ce type de superréseau est liée à l’inversion des bandes departicules légères dans HgTe par rapport à celle de CdTe. L’écart en énergie des sommetsdes bandes de trous lourds, estimé nul [1.35] mais trouvé faible égal à 40meV par desmesures magnéto-optiques [1.36], donne le schéma de bande de la figure I.22.c. Unereprésentation du superréseau que nous étudierons dans ce mémoire.28

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Figure I.22 : Les trois types des superréseaux.I.D.2 Les superréseaux HgTe-CdTeCaractérisés par l’inversion de la structure de bandes des particules légères de HgTe[1.37] et les nouvelles possibilités d’élaboration, ce type de matériau a attiré l’attention desthéoriciens dés 1979 [1.35] montrant l’intérêt que pouvait avoir ces superréseaux dans lesapplications comme détecteurs d’infrarouge, spécialement aux grandes longueurs d’onde.Ceci a été montré par Smith et al. 1983 [1.38] dans une comparaison avec le composé29

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.ternaire Hg 1-x Cd x Te. Ce dernier, semiconducteur dont la bande est ajustable par contrôle dela composition, est fréquemment utilisé dans les matrices détectrices d’image.Le problème essentiel à résoudre pour l’emploi de ce semiconducteur est doncl’homogénéité de la composition sur l’ensemble du détecteur, la bande interdite de l’alliagevarie linéairement mais rapidement avec la composition x. ([1.37], [1.39]).Les calculs de structure de bande du superréseau ([1.35],[1.40]) montre qu’il estpossible d’obtenir un matériau avec une bande interdite ajustable en fonction du pas dusuperréseau (épaisseurs relatives et absolues d 1 et d 2 des couches HgTe et CdTe).Pour des épaisseurs facilement accessibles par épitaxie les spectres des longueursd’ondes 8-14 µm correspondant à la fenêtre atmosphérique LWIR est détectable. La figureI.23 montre la comparaison à 77K de la bande interdite E g et de la longueur d’onde dedétection par l’emploi soit de l’alliage ternaire, soit du superréeau.36T=77 K500λ c(µm)322824201612AlliageHg 1-xCd xTe(a)HgTe-CdTesuperréseaud 1= d 2= d(b)400300200E g(meV)8100400,2 0,3 0,4x20 40 60 80 100 120 140d (Å)0Figure I.23 : La longueur d’onde de coupure et l’énergie de la bande interdite enfonction de : la composition x pour l’alliage ternaire Hg 1-x Cd x Te (a), et en fonction del’épaisseur d de la couche pour le superréseau HgTe/CdTe avec d 1 =d 2 (b).[1.38]Nous avons calculé la bande interdite du superréseau dans le formalisme de lafonction enveloppe développé par Bastard [1.40] au centre de la zone de Brillouin et pourun « offset » des bandes de trous lourds Λ = 40meV selon les résultats de Guldner et al[1.36].Nous constatons que pour les longueurs d’onde λ ≥ 12µm la composition del’alliage ternaire est critique pour x< 0,2.c30

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.La comparaison des deux matériaux détecteurs développée par Smith [1.38] s’étendégalement aux problèmes rencontrés classiquement dans les détecteurs, les courants dediffusion des zones p du détecteur et le courant Tunnel bande à bande. Le premier termeest lié à la valeur de la masse effective électronique qui est d’un ordre de grandeur plusgrand dans le superréseau (masse transverse) donc correspondant à un plus faible courant.Le deuxième terme est lié à la longueur tunnel. Il apparaît que dans le superréseau, cettelongueur est faible comparé au ternaire. Il y aura ainsi limitation des courants nuisant à ladétectivité. Les figures I.24 et I.25 représentent les variations des termes précédents [1.38].0.04m e*/m 0m es*/m 00.03Hg 1-xCd xTe0,40,3HgTe-CdTed 1=d 20.02(a)0,2(b)0.010,10.004 8 12 16 20 24λ c(µm)4 8 12 16 20 24Figure I.24 : la masse effective de l’électron en fonction de la longueur d’onde decoupure pour l’alliage Hg 1-x Cd x Te (a), et pour le sperréseau HgTe-CdTe (b). La masseeffective de l’électron est anisotropique, la composante normale à la couche plane estmontrée.320280240200L t(Å)Hg 1-xCd xTe320Lt (Å)280240200HgTe-CdTed 1=d 216012080(a)16012080(b)4040004 8 12 16 20 24 28 4 8 12 16 20 24λ c(µm)Figure I.25 : La longueur tunnel en fonction de la longueur d’onde de coupure pourl’alliage Hg 1-x Cd x Te (a) , et pour le superréseau HgTe-CdTe (b).31

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.En 1983, Faurie et al [1.41] publient la réalisation de superréseaux HgTe-CdTe parépitaxie en jet moléculiare (MBE) par une méthode d’effluent en source thermique suiviensuite par Chow où la technique MBE faisait également appel à l’évaporation laser [1.42].Depuis, de nombreuses publications ont traité le sujet de la croissance et des aspectsstructurels des couches épitaxiées selon le processus mis en jeu et le type de substrat utilisé(par exemple, les publications des Mercury Cadmium Telluride Workshop 1985 et 1986dans le Journal of Vacuum Science and Technology).Un résulat essentiel a été obtenu par Guldner en 1983 [1.36] qui est la déterminationde l’écart des bandes de trous lourds de HgTe et CdTe par magnétotransmission ; cet écart(offset) Λ est de 40 meV ; il est un terme important des calculs de structure des bandes dusuperréseau.Le faible écart du paramètre de maille de HgTe et CdTe induit malgré tout unecontrainte biaxiale aux interfaces ce qui peut avoir comme effet de provoquer l’ouvertured’une bande interdite dans HgTe [1.43] et de modifier les bandes du superréseau.Un autre aspect important est le phénomène d’interdiffusion qui peut se produire lorsde la croissance, la température du substrat devant être un compromis entre celle liée à laqualité cristalline (plus élevée) et le coefficient de collage du mercure (plus bas). Il est bienconnu que le mercure diffuse aisément dans CdTe [1.44]Si les études de croissance, la caractérisation par rayons X ou photoluminescenceou la transmission optique ont fait l’objet de nombreuses publications, les propriétés detransport par contre ont été moins traitée. En 1983 Ong indique un caractère métallique àdeux dimensions dans des échantillons obtenus par évaporation flash [1.45].Ultérieurement Boero [1.46] indique l’existence d’un état accepteur résonnant et observedes oscillations Shubnikov-de Hass. Harris [1.47] et Cheng [1.48] font état d’échantillonsobtenus par MBE ou MBE assistée par laser avec de hautes mobilités et l’observation del’effet Hall quantique.Enfin sur le plan théorique, l’accent a été mis sur le rôle joué par l’état d’interfacefondamental (par opposition aux états résultants de liaisons atomiques non saturées). LiuLin et Sham [1.49] ont montré que la sous bande associée à ces états d’interface a unedispersion dans le plan parallèle au plan du superréseau et que cette sous bande s’hybrideavec les sous bandes de trous lourds. Cette sous bande modifie la bande interditefondamentale et a un effet important sur l’interprétation des transitions optiques et sansdoute aussi sur le transport.32

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.I.E APPLICATIONS DES DETECTEURS D’INFRAROUGESIssue de plusieurs dizaines d'années de recherche, la technologie de l'analyse del'infrarouge est largement reconnue et utilisée dans les secteurs les plus pointus de lasécurité, la police et militaire. Ces détecteurs de haute technologie, conçus pour détecterdes longueurs d’ondes de 7 à 14 µm, sont équipés d'un logiciel leur permettant d'être plussélectifs quant à la nature de la source de chaleur, c'est à dire la reconnaissance desdifférentes signatures infrarouges : minérales, végétales ou animales.On peut citer comme exemples courants :• Astronomie• Métrologie et cartes métrologiques.• Imagerie médicale et scanners.• Photos satellites et cartographie.• Défense et actions militaires. Disposer d’informations tactiques et stratégiquesfiables et récentes est un élément essentiel pour la préparation d’opérationsmilitaires ou de sécurité.• Détection et localisation des mines enterrées.• Vision nocturne.• Contrôle non destructif.• La chasse et surtout nocturne du gibier.• Détection infrarouge de passage et antivol.33

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.Références[1.1] G. Gaussorgues, La thermographie infrarouge, ISBN 2-7430-0290-5. Tec & Doc,Paris, 4 edition (1999).[1.2] G. Destefanis, Comment observer l'invisible ?, Clefs CEA, 40 (1998).[1.3] A. Rogalski, Infrared detectors : status and trends. Progress in QuantumElectronics, 27, 59-210 (2003).[1.4] T. Case, Notes on the change of resistance of certain substrates in light. PhysicsReviews, 9, 305-310 (1917).[1.5] G. L. Destefanis, Semicond. Sci. Technol, 6 (1998).[1.6] P. K. Kruse, The emergence of Hg 1-x Cd x Te as a modern infrared sensitive material.Dans R. K. Willardson, et A. Beer, editors, Semiconductors and Semimetals, vol.18. Academic Press, New York (1981).[1.7] Lawson, W. Nielsen, E. H. Putley et A. S. Young, Preparation and properties ofHgTe and mixed crystals of HgTe-CdTe. J. Phys. Chem. Solids, 9, 325-329(1959).[1.8] G. Destefanis, HgCdTe infrared diode arrays. Semicond. Sci. Technol., 6, C88 C92(1991).[1.9] J. C. Peyrard, Prospective sur les besoins de défense en détecteurs infrarouge. C. R.Physique, 4(10), 1077-1082 (2003).[1.10] S.D .Yoo, et K. D. Kwack, Theorical calculation of electron mobility in HgCdTe,J. Appl. Phys, 81(2), 719 (1997).[1.11] G. L. Hansen, J. L. Schmit, et Casselman, T. N. Energy gap versus alloycomposition and temperature in Hg 1-x Cd x Te. J. Appl. Phys, 53(10), 7099, (1982).[1.12] F. Buch, C. N. Ahlquist, J. Appl. phys.45, 1756 (1974).[1.13] A. Mauger et al. Phys. Rev. B12, 2412 (1975).34

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.[1.14] C.T. Elliott et al. J. Phys. Chem. Sol.9, 325 (1959).[1.15] R.R. Galaszka : Acta Phsica Polonica 24, 791(1963).[1.16] J. Melngailis et al. : J. Appl. Phys. 44, 2647 (1973).[1 .17] G. Bastard, D. Nozière : phys.Rev. B13, 2560 (1976).[1.18] D. Long et J. L. Schmitt . R. K. Willardson et A.C. Béer, editors, Semiconductorsand Semimetals: Mercury Cadmium Telluride and closely related alloys, vol. 5.Academic Press, New York (1970).[1.19] E. O. Kane, Semimetals and semiconductors ed, R. K. Willardson et A. C. Beervol. 1, Chap.3, 75. Academic Press, New York (1966).[1.20] R. Dornhaus, G. Nimtz, Springer Tracts Mod . Phys.78, 1-112, Springer, Berlin,Heidelberg (1976).[1.21] B. Gelmont, B. Lund, , K. Kim, G. U. Jensen, M. Shur, et T.A. Fjeldly, MonteCarlo simulation of electron transport in mercury-cadmiumtelluride, J. Appl.Phys, 71(10), 4977 (1992).[1.22] D. K. Ridley. Quantum processus in semiconductors, Oxford University Press,New York, 4 edition (1999).[1.23] E. M. Conwell, et M. O. Vassel. High field transport in n-type GaAs. Phys. Rev.,166, 797 (1968).[1.24] S. D. Yoo, et K. D. Kwack, Theorical calculation of electron mobility in HgCdTe.J. Appl. Phys, 81(2), 719 (1997).[1.25] W. Scott, Electron mobility in Hg 1-x Cd x Te. J. Appl. Phys, 43(3), 1055, (1971)[1.26] B. R. Nag. Electron transport in compound semiconductors Springer Series insolid state sciences, 11, 50 (1980).[1.27] G. Gregories thèse, I.N.S.A Toulouse (1985).[1.28] L. Essaki, R. Tsu, IBM research note RC 2418 (1969).35

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.[1.29] G. H. Dohler jap. J. Appl. Phys.22, 29 (1982).[1.30] A.G. Milnes et D.L. Feucht. Heterojonctions and metal semiconductor juctions.Academic press, New York and London (1972).[1.31] L. Esaki et R. Tsu, Superlattice and negative differential conductivity inSemiconductors, IBM J. Res.Development, 61-65 (1970).[1.32] R. Dingle, A. C. Gossard, et W. Wiegmann, Direct Observation of SuperlatticeFormation in a SemiconductorHeterostructure, Phys. Rev. Lett. 34, 1327 - 1330(1975).[1.33] G. Bastard, Theoretical investigations of superlattice band structure in theenvelope-function approximation, Phys.Rev. B 25, 7584 – 7597 (1982).[1.34] H. Sakali, L.L. Chang, G.A .Sal-Halasz, C.A. Chang et L. Essaki Sol. Stat.Comm. 26, 58l9 (1978).[1.35] J. N. Schulman et T. C. Mc Gill Appl. Phys. Lett.34 (10), 663, (1979).[1.36]Y. Guldner, G. Bastard, J. P. Vieren, M. Voos, J. P. Faurie et A. Million Phys. Rev.Lett. 51(10), 907 (1983).[1.37] Dornhaus et G. Nimtz, The properties and applications of the Hg 1-x Cd x Te alloysystem,78, Springer –Verlag (1976).[1.38] D. L. Smith, T. C. Mc Gill, J. N. Schulman Appl. Phys. Lett 43, (2), 180 (1983).[1.39] C. Junhao, X. Shichou et T. Dingyuan App. Phys. Lett. 43, (11), 1064 (1983)[1.40] G. Bastard Phys. Rev ; B, 24 (10), 5693 (1981).[1.41] J. P. Faurie, A. Million, et J. Piaguet Appl. Phys. Lett. 41 (8), 713 (1982)[1.42] P. P. Chow, et D. Johnson J. Vac. Sci. Technol. A3(1), 67 (1985).[1.43] J. N. Schulman, Y. Chung Chang J . Vac. Sci. Technol. A4(4), 2114 (1986).[1.44] K. Zanio, J. Vac. Sci. Technol. A4 (4), 2106 (1986).[1.45] N. P. Ong et G. Kote Phys. Rev. B ; 28, 4, 2289 (1983).36

Chapitre I- Généralités sur la photodétection et propriétés de l’alliage HgCdTe et le superréseau HgTe/CdTe.[1.46] F. J. Boero et N.P.Ong, J. N. Cheung sol. Stat. Comm. 54, 1, 35 (1986).[1.47] K.A. Harris J. Vac. Sci. Technol. A4(4), 2061 (1986).[1.48] J. T. Cheung, G. Nizawa J. Vac. Sci. Technol. A4(4), 101 (1986).[1.49] Y.R. Lin-Liu et L. T. Sham Phys. Rev. B; 32, 8, 5561 (1985).37

Chapitre IICADRE THEORIQUESOMMAIREII.A Introduction……………………………………………………………………… 39II.B Théorie de transport de Boltzmann …………………………………………... 39II.B.1 La fonction de distribution et l'équation de Boltzmann ……………………….. 39II.B.2 Résolution de l'équation de Boltzmann dans l’approximation du temps derelaxation ………………….…………………………………………………………... 40II.B.3 Effet Hall ……………………………………………………………………….. 43II.B.4 Effet Seebeck ………………………………………………………………….. 46II.B.4.a Cas de non dégénérescence ………………………………………………….. 48II.B.4.b Cas de dégénérescence forte ………………………………………………… 48II.C Modélisation de la mobilité et mécanismes de diffusion …………………….. 48II.D Effet Shubnikov-de Haas et gaz d’électron bidimensionnel ………………… 52II .D.1 Energie et singularités de la densité d’états sous champ magnétique ………… 52II. D.2 Effet Shubnikov -de Haas …………………………………………………….. 55II. D.3 Mécanisme de l’effet S.D.H …………………………………………………. 56II. D.4 Gaz d’électrons à deux dimensions…………………………………………… 56II.E Structure des bandes du superréseau ………………………………………….. 58II.E.1 Structure des bandes de CdTe et HgTe ………………………………………… 59II.E.2 Approximation de la fonction enveloppe et relations de dispersion …………... 61II.E.2.a Relation de dispersion suivant K z …………………………………………… 61II.E.2.b Relation de dispersion suivant K p …………………………………………… 62II.E.3 Résultats des calculs dans la direction k z (k p =0) Influence de divers paramètres 63II.E.3.a Effet de la période du superréseau sur la structure des bandes et E g ………… 63II.E.3.b Effet de la température sur E g ……………………………………………….. 66II.E.3.c Influence de l’écart Λ des bandes de valence ……………………………….. 6638

Chapitre II- Cadre théoriqueII.A INTRODUCTIONLa clé de la compréhension des dispositifs pour l’optoélectronique réside dans ledéveloppement de modèles permettant de mettre en évidence leurs caractéristiquesphysiques. A cet effet, nous décrirons dans ce chapitre le transport électronique dans unsemi-conducteur, ainsi que les principaux effets de transport tel que la conductivité, lamobilité électrique, l’effet Hall et l’effet Seebeck. La méthode théorique la plusconvenable pour procéder à une telle étude est la méthode fondée sur l’équation cinétiquede Boltzmann. La résolution de cette équation ainsi que ces principaux résultats sontdécrits dans ce chapitreDans ce chapitre, nous allons décrire aussi le cas d’un système à une températuretrès basse et sous champ magnétique, un effet physique lié à ce système est l’effetShubnikov- de Haas, avant de décrire le modèle théorique de la structure des bandes dusupéréseau dans le formalisme de la fonction enveloppe. Les relations de dispersion dans ladirection de croissance du superréseau et le plan des couches sont établis.II.B THEORIE DE TRANSPORT DE BOLTZMANNII.B.1 La fonction de distribution et l'équation de Boltzmann Soit f(r,k,t) la densité en phase (ou distribution) telle que le nombre de particulespossédant à l’instant t la position r à 33f(r,k,t)d r d k3d r prés et l’impulsion k à3d k prés à l’instant t est: Ceci représente le nombre de particules dans l’élément de volume d 3 r d 3 k de l’espace des phases d’un corps à l’instant t. La densité en phase est de type Maxwell -Boltzmann ou Fermi - Dirac selon le système considéré. L’équation de transport de Boltzmann, qui régit l’évolution de f(r,k,t) peut être obtenue de la façon suivante. Entre lesinstants t et t+dt, les points représentatifs se translatent continûment vers l’élément de3333volume d r' d k' égal à d r d k au seconde ordre prés, sous l’action des forces extérieureset de la diffusion.Cependant par suite des collisions certaines particules sont perdus d’autre sontgagnées dans ce volume la conservation du nombre total de particules n’imposant que larelation intégrale, indépendante du temps : 33f(r,k,t) d r d k= constante∫(2.1) 33La comparaison entre le nombre des particules autour de (r,k) à d r d k prés à t, et celui 33autour de (r+dr , k+dk) à d r d k prés à l’instant t + dt, entraîne que :39

Chapitre II- Cadre théorique f(r+dr,k+dk,t+dt) = f(r,k,t) +⎛ ∂f⎜⎝ ∂t⎞⎟⎠colldt(2.2)f⎜⎛ ∂ ⎟⎠⎞⎝ ∂tcollÉtant la variation du nombre de particules due aux collisions. Ceci donne, aupremier ordre l’équation de Boltzmann [2.1]: ∂f dr ∂f dk ∂f ⎛ ∂f⎞ + + = ⎜ ⎟(2.3)∂r dt ∂kdt ∂t ⎝ ∂t⎠coll Pour une particule soumise à la force de Lorentz : F = q( ε + v ∧ B) dans le régimestationnaire elle s’écrit : 1 f - fv. ∇ f F. f0r+ ∇ = − kħτ ( k )(2.4)Le premier terme exprime la variation de densité en phase dans un systèmespatialement inhomogène, lorsque le point considéré se déplace, ce terme est lié à ladiffusion. Le deuxième terme indique la variation de f sous l’effet de la forceélectromagnétique appliquée à une charge q.Le terme de collision est difficile à calculer. On utilise l’approximation dite dutemps de relaxation, selon la quelle :f⎜⎛ ∂ ⎟⎠⎞⎝ ∂tAvec τ ( k ) le temps nécessaire pour arriver à l’équilibre.collf − f0= − (2.5)τ ( k )II.B.2 Résolution de l'équation de Boltzmann dans l’approximation du temps derelaxationLa résolution détaillée est décrite dans l’annexe (A) à la fin de ce mémoire.Nous écrivons l’équation de Boltzmann dans l’approximation du temps de relaxationcomme : 1 f - f0v. g ra d rf + F. g ra dkf = − ħτ (k )En tenant compte des hypothèses suivantes : Régime stationnaire : ∂ f = 0 . tBande sphérique et parabolique :m* = constante. Le champ électrique Exfaible Le champ magnétique B = Bz ezd’amplitude arbitraire.(2.6)40

Chapitre II- Cadre théorique La solution f s’écrit sous la forme : f = f0+ (v.G)(2.7)G est un vecteur vérifiant l’équation suivante :G ∂f0+ Avec : G = ( τ D grad T − q τ ε )(2.8)00 ∂Erqτ ( B Λ G) = Gm*Sous forme tensorielle on définit G comme :G = ∑ g G(2.9)ijij0 jC’est-à-dire :Ĝ = ĝ Ĝ Avec :0⎛⎜ 1⎜1+ ω2τc⎜⎜ − ω τcĝ = ⎜⎜1+ ω2τc⎜⎜0⎜⎝Le vecteur densité de courant est définit comme:22ω1+ ωτ11+ ω2τ0c2ccτ22⎞0⎟⎟⎟⎟0 ⎟⎟⎟1 ⎟⎟⎠ 2q 2q 2q J = v f dk = v3 3 ( f0+ v.G)dk = v (v.G) dk3(2π)∫(2π)∫(2π)∫(2.10)(2.11)Dans le cas d’un gradient de température nul ( grad rT = 0 ) on montre que: f ε ε ω τ ε ω τ εv.G = v.gG ˆ = ( −q τ ∂ )[v ( + ) +v (- + ) +v ε ] (2.12)0 xy c x cy0 x 2 2 2 2 y 2 2 2 z z∂E 1+ ωcτ 1+ ωcτ 1+ ωcτ 1+ ωcτEn portant cette expression dans (2.11) et faisant nos calculs dans le cas d’une bandesphérique ou isotrope nous montrerons que: J = Jx+Jy+JzAvec :⎧⎪J⎪⎪⎪⎨J⎪⎪⎪⎪J⎪⎩xyzq 2 ε=m*q 2ε= −m*q 2 ε=m*xzxττ1+ ω2cω1+ ωττc2c2τ2+q2mq 2 ε+m*ε*yyω1+ ωτ1+ ωτ2c2c2cττ22(2.13)X(E) Étant la moyenne de X(E) , elle est définit comme :∞1∂f0X(E)= ( ) X(E) k 3dE3 2 ∫ −π ∂E0Sous forme tensorielle J c’écrit :41

Chapitre II- Cadre théorique J = ∑ σ ε ; c'est-à-dire : J = σ ˆ εi ij jj(2.14)ˆσ est le tenseur de la conductivité :⎛ Jx ⎞ ⎛ σxx σxy 0⎞⎛ εx⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟J = σ σ 0 εy yx yy ⎟⎜ y⎜ J ⎟ ⎜z0 0 1⎟⎜ ε ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ z ⎠⎧⎪σ⎪⎪⎪Avec : ⎨σ⎪⎪⎪σ⎪⎩xxxyzz= σ= −σq=myy2*q=myxτ2*q=m2*= σ0τ1+ ωω2cτ1+ ωτ22c2 τ2cA partir de ce résultat on peut déterminer le tenseur de résistivité ρˆ telle que :(2.15)ε = ρˆ J(2.16)⎧⎪ρ⎪⎪⎪⎨ρ⎪⎪⎪ρ⎪⎩xxxyzz= ρyy= − ρ1=σzz=σyxσ2xx+ σ= −σxx2xyσ2xxxy+ σ2xy(2.17)II.B.3 Effet HallSoit un échantillon parallélépipédique long et mince placé dans un champmagnétique B(0,0,B ) (Figure II.1).zdFigure II.1: Schéma de l’échantillon en géométrie de HallEn appliquant un champ électrique ε (ε ,0,0) , entre les extrémités de l’échantillon,une densité de courant force : F = q ( ε + v ∧ B).xJxest induite le long du barreau. Les porteurs sont soumis à la42

Chapitre II- Cadre théoriquePour simplifier, prenons le cas d’un échantillon de type n où les porteurs sont desélectrons. Juste après l’application de ε , sous B , les électrons sont déviés dans la direction+y (figure II.2) et viennent s’accumuler sur une face du barreau, un excès de chargespositives s’établit sur l’autre face en regard – par influence électrostatique- jusqu’à cequ’un champ électrique εyappelée champ de Hall (figure II .2) compense l’action de laforce q v ∧ B. Ainsi un courant transversal ne peut échapper du barreau d’où : Jy= 0 .La quantitéRεFigure II.2: Interprétation de l’effet HallyH= s’appelle la constante de Hall. Dans ce qui suit on va donner lesJxBzexpressions de R H trouvées, les calculs détaillés sont dans l’annexe (B).La constante de Hall est donnée par les expressions :RR=1σxyH 2 2B σxy+ σxxω τ2cτ2 21 σxy 1 1+ ωcτH= =2 22 2B σ 2xy+ σxx Bσ0τ ωcτ+2 2 2 21+ ωcτ 1+ ωcτ(2.18)(2.19)Où τ est le temps de relaxation,qBωc= pulsation cyclotron. Etm ∗σ =0q2m ∗τ laconductivité sans champ magnétique.• Dans le cas d’un seul type de porteur (régime extrinsèque) Dans le cas d’un champ magnétique faible ( ωcτ ≪ 1) :L’équation (2.19) devient :Rrq 1rq n= H= H(2.20)H43

Chapitre II- Cadre théoriqueAvec :r=1τH 2τ2facteur de diffusion1 ≤ rH≤ 2 .Pour un cas simple du type n : r H= 1, d’où : RH1= − . (2.21)n eDans l’approximation du temps de relaxation : τ(E) = E = Ep s - 1/2. La valeur de r H dépenddu mécanisme de diffusion dans le semi-conducteur comme le montre le tableau endessous.Tableau II .1 : Valeurs des coefficients de diffusion s, p, r H par rapport au type dediffusion dans un semiconducteur.Type de diffusion s p r HDiffusion par les phononsacoustiques 0 -1/2 r = 3 π / 8 = 1,18HDiffusion par les phonons optiques1 1/2 r = H45 π /128 = 1,13Diffusion par les ions d’impuretés.2 3/2 r = H315 π / 512 = 1,93 Dans le cas d’un champ magnétique fort ( ωcτ ≫ 1) :On montre que :R1τ1 ω≃ (2.22)B.σ 1 ⎞⎜ ω ⎟⎝c⎠cH 20⎛RH1≃ (2.23)q τPour les électrons (q=-e) on aura:1R = - . (2.24)n.eH• Dans le cas de deux types de porteurs (régime intrinsèque)Re t1xy xyH=2 2Bσ+ σe t e t( σxx+ σxx ) + ( σxy+ σxy)(2.25)44

Chapitre II- Cadre théorique2 2Dans le cas d’un champ magnétique faible : RH= ( rt pµ 2 t− re n µe )µeEn prenant r e= r t= r Het b = , on a : µtReσ0r p − n be p n b2HH= ⋅2( + )(2.26)Dans la plupart des semi-conducteurs, la mobilité des électrons est plus grande quela mobilité des trous : (µe≫ µh) c'est-à-dire que : b ≫ 1. La constante de Halls’annule pour :p2= n b .Pour un rapport des mobilité (b =10), la constante de Hall s’annulera pourp=100n, cela veut dire qu’une densité d’électrons n = p/100 est suffisante pour annuler R H .La constante de Hall est négative si p p/100.La constante de Hall est positive si p>n.b², pour un rapport b =10 R H est positifpour n < p/100.• Cas d’un semi-conducteur type pDans un semi-conducteurs de type p (R H >0), on assiste à une inversion de signe deR H en fonction de la température. Cette inversion du type de semi-conducteur de type p au2type n aura lieu autour d’une valeur de n tel que : p = n b . Le comportement de RHenfonction de 1 Tpour deux semi-conducteurs un de type n et l’autre de type p est schématisésur la figure II.3.Figure II.3: Variation de logR H en fonction de 1/T pour les deux type n et p.45

Chapitre II- Cadre théoriqued’accepteursConsidérons le model suivant : le semi-conducteur contient une concentrationélectrique s’écrit :N A ionisés dans tout le domaine de la température. L’équation de neutralitép = NA+ n .Dans le domaine extrinsèque et à basse températureDe l’équation (2.23) on a :H( R )HsatAp ≈ N on a la relation :Ar= (2.27)e ND’où le rapport :II.B.4 Effet Seebeck( R )( H )( R )r( b −1) 2HH= ⋅ (2.28)maxe NA4bHsat( − ) 2R b 1maxb= ( = pour b ≫ 1) (2.29)4b 4Figure II.4: Circuit de mesure du pouvoir thermoélectrique.Soit un semi-conducteur d’extrémités portées à des températures T 1 et T 2 =T 1 +dTdifférentes, il apparaît alors dans un circuit fermé un courant dit courant thermoélectrique.Si on provoque dans ce circuit une rupture (ou on insère un voltmètre), on constatequ’entre les extrémités de ce circuit il apparaît une différence de potentiel que l’on appelleforce thermoélectrique. Cette tension u est décelée par un voltmètre : c’est l’effet Seebeck[2.2].Dans ce qui suit, on va décrire les principaux résultats trouvés lors du calcul dupouvoir thermoélectrique, décrit en détail dans l’annexe (C).u =∫ εxdx; ε x : champ électrique crée par le gradient de température.On avait trouvé lors de la résolution de l’équation de Boltzmann que :46

Chapitre II- Cadre théorique 2q J = v (v.G) dk3(2π) ∫ Si B = 0 :2q ∂f0dT Jx= v3 x² τ (D - qEx)dk(2π)∫∂E dxOn montre que :q² q dT q dT q dE dTm* m*T dx m*T dx m* dT dxFJx= τ εx- E.τ + EFτ - τJx= 0 , car le voltmètre possède une impédance infiniment grande. D’où :1 ⎡ E. τ ⎤ dT 1 dE⎢ ⎥qT ⎣ τ ⎦ dx q dxFεx= − EF+ (q = ±e)On définit α le coefficient ou la force thermoélectrique par la relation :Posons :EX = k T;BE1 ⎡α = ⎢qT ⎣E. ττ⎤− EF⎥⎦Fη = , le coefficient thermoélectrique α est :k TB(2.30)(2.31)(2.32)D’où :k B⎡ X.τ ⎤α = ± ⎢ -η ⎥(2.33)e ⎣ τ ⎦dT 1 dEεx= α +dx q dxF(2.34)et :D D 1 Du = ∫ εxdx =A ∫ α dT + dEA q∫AFOr :1q ∫DAdE = E (D) - E (A) = 0F F FCar les nœuds A et D ont la même température T càd ils ont le même niveau de Fermi.T1 T2 T0∫ ∫ ∫u = α dT + α dT + α dTαM: Coefficient thermique du métal.αSC: Coefficient thermique du S.C.M SC MT0 T1 T2D’où :T1 T2 T2 T2∫ ∫ ∫ ∫u = α dT + α dT = α dT - α dTM SC SC MT2 T1 T1 T147

Chapitre II- Cadre théoriqueEn pratique on a :αMα100du = αS.C - αdTMS.C∼ on mesure alors:∆u uA- uαS.C= =∆T T - T2 1D(2.35)(2.36)II.B.4.a Cas de non dégénérescence : (EF ≪ kBT)Dans le cas de la non dégénérescence la fonction de distribution de Fermi- Diractend vers la fonction de distribution de Maxwell- Boltzmann etmécanisme de diffusion dans le semi-conducteur)On montrera que :ke[ ]Bα= ± s+2-η ;η=EFk TB1τ E s - 2∼ (s dépend du(2.37)La mesure de α = ∆u/∆T nous permet de remonter à la valeur de s (s= 0,1,2, … )ce qui nous permettra de déterminer le type du mécanisme de diffusion dans le semiconducteur.II.B.4.b Cas de dégénérescence forte : (EF ≫ KBT)En 1 ère approximation à basse température ( T 0)fonction de Dirac : δ (E-EF). On montre que :diffusion.F⎛ ∂f0⎞→ , la dérivé ⎜ - ⎟ tend vers la⎝ ∂E⎠2π²kBTα = ± (s + 1)(2.38)3 eELa mesure de α va nous permettre d’avoir une information sur le mécanisme deII.C MODELISATION DE LA MOBILITE ET MECANISMES DE DIFFUSIONLa figure II.5 montre le mouvement des électrons et des trous dans le champ électrique ε :les vitesses des électrons et trous sont opposées mais leurs densité de courant ont le mêmesens, celui de ε . La conductivité totale s’écrit :J + J ⎛ v v ⎞σ = = e ⎜ n + p ⎟ = e nµ + pµε ⎝ ε ε ⎠( )e t e t0 e hµeet µhsont respectivement la mobilité des électrons et celle des trous.(2.39)48

Chapitre II- Cadre théoriquePosant : bµe= on a donc :0e ( p nb)hµhσ = + µ (2.40)Ainsi, la conductivité dépend de la mobilité et de la concentration des porteurs, quidépendent tout les deux de la température.Figure II.5: Mouvement des porteurs decharge dans un champélectriqueFigure II.6: Variation de Log (σ 0 ) avec 1/T dansles semi-conducteurstempérature.La figure II.6 donne l’allure de la conductivité en fonction de l’inverse de laPour un semi-conducteur de type n, la combinaison de la conductivité sans champrHmagnétique σ0= n eµ et la constante de Hall RH= donne la mobilité de Hall :n eµH= σ0RH(2.41)La mobilité des porteurs dans un semi-conducteur est liée directement auxrHdifférents modes de diffusion. On a µH= σ0RH= n e µn eD’où [2.1] : µ = r µ (2.42)H Hµ est la mobilité d’entraînement des porteurs (drift mobility).µHest la mobilité de Hall (Hall mobility).des porteurs.Aux basses températures, la diffusion par les impuretés ionisées contrôle la mobilité49

Chapitre II- Cadre théoriqueAux hautes températures et à la température ambiante, les mécanismes de diffusionpar phonons (mode acoustique, piézoélectrique ou optique polaire) contrôlent la mobilitéintrinsèque.Dans le cas de Hg1-xCd xTe ( 0.2 < x < 0.22 ) la diffusion par les impuretés ionisées etpar le mode polaire optique contrôlent la mobilité ambiante (figure II.7)10 710 6µ pzµ aCµ(cm²V -1 s -1 )10 510 4µimpµ opµ mes10 30,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0xFigure II.7: Variation de la mobilité et la mobilité mesurée avec la composition x [2.3].La figure II.7 montre la mobilité et la mobilité mesuréeµmesdans Hg1-x xCd Te à latempérature ambiante, en fonction de x comparée à la mobilité calculée en considèrant lesdifférents mécanismes de diffusion Scott [2.3].Les relations entre la mobilité et la température, pour les différents processus dediffusion sont données comme suit :• La mobilité due à la diffusion par phonons acoustiques due à une déformation depotentiel est donnée par [2.4]:-53.10 Clac 5/2µ =⎛ m* ⎞⎜ ⎟⎝ m0⎠3/2T Eac²(2.43)Où : C l = 6,97 10 10 N.m -² [2.5] est la constante élastique longitudinale, E ac = 9,5 eV [2.5] estle potentiel de déformation pour les phonons acoustiques.• La mobilité due à la diffusion par phonons acoustiques liés à une déformationpiézo-électrique est donnée par la relation [2.2]:50

Chapitre II- Cadre théoriqueεµ = 2.6 (2.44)m/m k'² T/100spz 3/2 1/2( ) ( )εsest la constante statique diélectrique dans le semi-conducteur, elle est donné par la0relation [2.6]:εs= 20,5 - 15,5 x + 5,7 x²k' est donné par la formule :k' =epze ² + ε .ε .Cpz 0 s lOù ε 0est la constante diélectrique dans le vide et epzest la constante piézoélectrique.• La mobilité due à la diffusion par les phonons optiques est donnée par la relation[2.2]:⎛ θD⎞exp⎜⎟5 Tµop= 2.6 10⎝ ⎠⎛ θD⎞α.(m*/m0).⎜ ⎟⎝ k' ⎠(2.45)Où θDest la température de Debye et α la constante de couplage sans dimension donnéepar :1 mc² ⎛ 1 1 ⎞α = -137 2kBθ ⎜εop ε ⎟⎝ s ⎠(2.46)εopest la constante diélectrique optique. α est égal à 0,39 pour CdTe et 0,05 pour HgTe[2.7], les températures de Debye de HgTe et CdTe sont respectivement égales à 147,5 K[2.8] et 160 K [2.9].Quand l’alliage Hg 1-x Cd x Te est un système à deux modes, les modes optiquesassocié à CdTe et à HgTe sont observés. Nous avons calculé la mobilité en premier lieu ensubstituant les valeurs des paramètres appropriés de CdTe dans la relation (2.45), puis ensubstituant ceux de HgTe et finalement en moyennant les deux résultats à l’aide del’expression [2.7]:1 x 1-x= +µ µ (CdTe) µ (HgTe)op(2.47)• La mobilité due à la diffusion par les impuretés µimpest donnée par l’équation deBrooks-Herring [2.10]:Où:b =( )141,2910 m*/m0εsT²N*µ =imp3,2810 ε ² T⎡⎣15 3/2s1/2(Na+Nd) (m*/m0) ⎢ln (b+1)- b+1, N* est la densité d’écrantage effective donnée par :b⎤⎥⎦(2.48)51

Chapitre II- Cadre théoriqueN* = n +(n + Na) (Nd - Na- n)Nd, N a et N d sont respectivement la concentration desaccepteurs et donneurs.• La mobilité totale est calculée par la relation qui découle de la règle deMatthiessen :1 1= ∑ (2.49)µ µµiest la mobilité individuelle calculée pour les différents processus de diffusion et iindique le type de processus de diffusion pris en compte.II.D EFFET SHUBNIKOV–DE HAAS ET GAZ D’ELECTRONSBIDIMENSIONNELiII. D.1 Energie et singularités de la densité d’états sous un champ magnétiqueLe semi-conducteur est soumis à un champ magnétique B=(0,0,B ) . Dans ladescription quantique, le hamiltonien des électrons sous champ magnétique s’écrit : ( p - eA) 2H =(2.50)m*Où A est le vecteur potentiel vecteur lié à l’induction magnétique B par la relation : B = ∇ ∧ A et e est la charge de l’électron.On peut choisir pour le vecteur potentiel la jauge :A=(Ax,A y,A z) = (-yBz,0,0)Les calculs en détail de ce paragraphe sont dans l’annexe (D) à la fin de ce mémoire. Posons : π = p - eA izD’où :⎧π = p - eA⎪⎨π = p - eA⎪⎩π = p - eAx x xy y yz z z(2.51)⎡ ⎤ ⎡ ⎤Le calcul des commutateurs [ ]⎣ π ,π x y ⎦ ; π ,π et π ,πx z ⎣ y z ⎦ donne :[ ]⎡π ,π ⎤ = iħ eB ; π ,π = 0; ⎡π ,π ⎤ = 0(2.5 2)⎣ x y ⎦ z x z ⎣ y z ⎦On écrit l’hamiltonien H sous la forme :52

Chapitre II- Cadre théoriqueOr, [ ] 2( p - eA) ( π) ( π +π + π ) ( π +π )2 2 2 2 2 2 2x y z x y πzH = = = = + = H⊥+Hm* m* m* m* m*( )π 2 2 x+πy π2zAvec : H⊥= et Hz=(2.53)m* m*Hz,H ⊥= 0 , donc Hzcommute avec H ⊥on déduit que le mouvement selon Oz estdécouplé du mouvement transversal dans le plan (xOy).L’équation de Schrödinger peut être découplé en deux équations :⎧Hzψ = Ezψ⎨(2.54)⎩H⊥ψ = E⊥ψzAvec :ψ(x,y,z)=A (x,y)eik zϕ z . L’énergie totale de l’électron est :E= ( Ez+E ⊥ )(2.55)ħ²k z²On montre que : Ez= 2m*et E⊥=En= n+ ωc⎛ 1 ⎞⎜ ⎟ ħ avec n est un entier (n=0 ;1 ;2 ;…)⎝ 2 ⎠Finalement l’énergie des électrons dans le cristal, sous B est quantifié en niveauxde Landau (figure II.8) et on a :ħ²k z² ⎛ 1 ⎞E = E(kz,n,ω c) = + ⎜ n+ ⎟ ħ ωc(n=0 ;1 ;2 ;…) (2.56)2m* ⎝ 2 ⎠n est un entier qui désigne le niveau de Landau etωc= eB/m* est la pulsation cyclotron.EEn=4(a)n=3n=2ħω cħω c(a)n=1ħω cn=0ħω c0 k zB=00 B ≠ 0k z Figure II.8 : Variation de l’énergie des électrons en fonction de k z pour B = 0 (a) et pour B ≠ 0 (b).53

Chapitre II- Cadre théoriqueLe mouvement des électrons est libre suivant (Oz) mais dans le plan (xOy) il estcirculaire à vitesse angulaire cyclotron ω . E est quantifié et prend des valeurs discrètesespacées de ħ .ωcLa densité d’état D B (E) sous B s’écrit :D (E ) = D (E )BN∑n = 0(n )BcAvec :D( n)B(E)=V : est le volume du cristal.θ' e B⎛ 1 ⎞E-⎜n+ ⎟ hω⎝ 2 ⎠Dans l’annexe (D) nous avons montré que : D( n)Bc2V 2m*et θ' =2πh ²(E) ∼( )1 1∼EZ1E - (n+ ) ħω2c(2.57)C’est une densité d’état à une dimension (∼1/EZ) le mouvement est libre suivant (Oz).Pour k z =0 : E=(n+1/2) ħ ω ⇒c(n)DB(E) diverge.Nous assistons a des singularités de D B (E) aux points :ω 3 5= ħ ħ ħ (figureII.9). Ces oscillations sont dues aux singularités de la densité2 2 2cE , ωc, ωc...d’états D B (E) sous le champ B.Figure II.9 : Densité d’état sans champ magnétiquechamp magnétique DB(3D)(E) ∝ 1/ EzD0(3D)(E) ∝ E et sous54

Chapitre II- Cadre théoriqueII. D.2 Effet Shubnikov-de HaasCet effet présente les oscillations de la magnétorésistance (figure II.10) observées siles trois conditions suivantes sont remplies :• Le champ magnétique B doit être fort (ω c τ>>1) et la température T doit être basse(dégénérescence forte).• L’élargissement thermique d’un niveau de Landau doit être inférieur à l’écart entredeux niveaux de Landau ( ħ ω c > k B T).• Le niveau de fermi E F doit être au dessus de la dernière sous bandes de Landau(E F > ħ ω c ).Figure II.10: Magnétorésistance longitudinale dans InAs de type n sousE=2,2 mV/cm à différentes basses températures [2.2].Le calcul de la magnétorésistance ∆ρρchamp faible, conduit à [2.2]:, en négligeant sa partie non oscillante à∆ ρ2 π E π∑ (2.58)ρ h ω 4∞F= brco s( r- )r= 1 cLe coefficient b r décroît rapidement quand r augmente et en pratique on retient leterme correspondant à r =1 dans la somme.ħω ⎛ π gm ⎞ α.Tr cbr=(-1) cos⎜r ⎟ exp(-α.TD)2EFr 2 m0sinh(α.T)⎝⎠(2.59)55

Chapitre II- Cadre théoriqueAvec :2α = r2π kB/ ħ ωc, g est le facteur de Landé des porteurs de charges et T D latempérature de Dingle. L’amplitude b 1 des oscillations Shubnikov-de Haas augmentequand T diminue comme montré sur la Figure (II.10).II. D.3 Mécanisme de l’effet S.D.HQuand B augmente, l’espacement entre niveaux de Landau ħ ω c augmente, donc lesniveaux de Landau montent. Chaque fois qu’un niveau E n coïncide avec E F il se dépeuplede ces porteurs de charges au profit de E F . On assiste alors à une diffusion résonante desporteurs de charges due aux singularités de D B (E).⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ħ e B Si le niveau n coïncide avec E F on a : EF= ⎜ n+ ⎟ ħ ωc = ⎜ n+ ⎟ *⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ m⎛ 1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ħ e Bn+1 Si le niveau n+1 coïncide avec E F on a : EF= ⎜ n+1+ ⎟ ħ ωc= ⎜ n+ ⎟ *⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ mnLa période des oscillations s’écrit :⎛ 1 ⎞ 1 1 ħe∆ ⎜ ⎟ = − =⎝ B ⎠ B B m*En+1 n F(2.60)Dans le cas d’une bande sphérique parabolique on a :ħ kE = 2m2 2FF * pour un gaz d’électrons tridimensionnel (3D) : pour un gaz d’électrons bidimensionnel (2D) :2ħE =2mF *πħE =m2F *22 3(3π n')n'D’où : ( )1Et : ∆ ( )2 e∆B= n'22ħ 32-1 3B( 3 π )à (3D) (2.61)e= à (2D) (2.62)πħn'56

Chapitre II- Cadre théoriqueLe tracé de ∆ρ/ρ en fonction de 1/B et la mesure de la période ∆(1/B) conduit à laconcentration n’ des porteurs de charges avec une grande précision mieux que cellemesurée par effet Hall où cette dernière est affectée par l’incertitude sur la mesure del’épaisseur de l’échantillon ainsi que les incertitudes sur la mesure de la tension de Hall, lecourant et le champ magnétique.II.D.4 Gaz d’électrons bidimensionnelOn Considère une structure métal - isolant - semiconducteur (MIS). En appliquantune tension de grille V g >0 à l’échantillon, les bandes se courbent à l’interface (figureII.11).Si le semi conducteur est de type n, les électrons sont attirés vers le puit depotentiel. L’isolant isole le métal du semi-conducteur pour que les électrons ne puissentpas passer par effet tunnel dans le métal.Figure II.11: Schéma représentant la structure métal- isolant- semiconducteur.L’énergie des électrons dans les puits est modifiée, elle dépend de la forme du puitde potentiel.Si on considère que le puit de potentiel est rectangulaire comme schématisé dans lafigure (II.12) et que l’échantillon est de dimensions finies.57

Chapitre II- Cadre théoriqueFigure II.12: Schéma représentant le puit de potentiel rectangulaire.La résolution de l’équation de Schrödinger avec : V(z)=0 pour 0

Chapitre II- Cadre théoriqueatomiques (L.C.A.O). Ils démontraient la possibilité d’utiliser ce nouveau matériau pour ladétection IR à la place de l’alliage ternaire HgCdTe. Dans leur calcul, l’écart en énergieentre les bandes de trous lourds de HgTe et CdTe avait été pris nul Λ=0.La méthode de calcul utilisée ne donne que des indications au centre de la premièrezone de Brillouin. Bastard et Smith [1.33] ont développé l’étude par la méthode de lafonction enveloppe (E.FA) également dans le cas où Λ=0 mais qui permet d’avoir uneindication sur la dispersion au voisinage de Γ .Les mesures de magnétoabsorption en I.R. donne un écart Λ=40 meV, proche duchoix Λ=0. Cependant d’autres mesures indiquent des valeurs différentes de Λ ([2.11];[2.12]).Si on veut réaliser un détecteur I.R, il est nécessaire de bien connaître la bandeinterdite du matériau. Dans le cas de l’alliage, c’est la composition qui est le paramètreprincipal. Dans le cas du superréseau, c’est la période, son contrôle et aussi l’existence detransitions abruptes aux interfaces entre les couches des deux matériau.Nous calculerons la structure de bandes dans la direction de croissance et suivant leplan des couches cristallines dans le modèle de Bastard [1.33]. Cette étude sera étendueavec l’évolution de la bande interdite en fonction de la température et l’écart Λ.II.E.1 Structure des bandes de CdTe et HgTeLe modèle de Kane à trois bandes [2.13] décrit la structure des bandes descomposés semi-conducteurs III-V et II-VI. Le minimum de bande interdite se situe en Γ aucentre de la zone de Brillouin. Ce modèle prend en compte les interactions entre lesdifférentes bandes Γ 6 , Γ 7 et Γ 8 .En k=0 (Γ), le couplage spin orbite lève la dégénérescence 6 de la bande de valenceen un doublet Γ 7 et un quadruplet Γ 8 . L’éloignement de Γ 7 de Γ 8 (≈ 1eV) fait qu’il peut êtrenégligé dans chaque matériau du superréseau. Dans la suite du texte nous adopterons lesindices suivants pour désigner les électrons par e, les trous légers par lh et les trous lourdspar hh.CdTe est un semiconducteur à bande interdite large (ε 2 =1600 meV à 4,2K) lastructure de ses bandes est montrée sur la figure II.13.Par contre, HgTe présente une inversion de positions des bandes Γ 6 et Γ 8 la bandede trous légers Γ lh 8 de CdTe est devenue bande de conduction Γ e 6 dans HgTe ; de même labande de conduction Γ e 6 de CdTe se transforme en bande de trous légers dans HgTe.59

Chapitre II- Cadre théoriqueLa bande interdite E Γ6 - E Γ8 , positive de CdTe devient alors négative dans HgTe(ε 1 .= -302 meV à 4.2 K). De plus Γ e 8 et Γ hh 8 sont en contact en k= 0 dans HgTe ce quipermet de dire que HgTe est un semiconducteur à bande interdite nulle.Dans le cas de la formation d’un puit quantique ou d’une hétérojonction, lesparamètres importants sont l’écart entre les bandes de conduction et les bandes de valencedes deux matériaux.Diverses valeurs de l’écart ∆E v des bandes de valence ont été proposées, commecela a été dit antérieurement. Nous limiterons dans un premier temps nos calculs destructure de bandes dans le superréseau à la valeur Λ= 40 meV obtenu par mesuremagnétooptique de Guldner [1.36].La faible valeur positive de Λ implique, d’une part l’existence d’une barrière delhpotentiel pour les trous d’autre part une forte interaction des bandes Γ 8 de CdTe aveceΓ 8 de HgTe. L’incertitude sur ce paramètre joue un grand rôle.Figure II.13: Structure des bandes des deux matériaux CdTe et HgTe60

Chapitre II- Cadre théoriqueFigure II.14: Schéma représentant le superréseau HgTe/CdTeII.E.2 Approximation de la fonction enveloppe et relations de dispersionLes calculs des spectres d’énergie E (k z ) et E(k p ), respectivement, dans la directionde croissance et dans le plan du superréseau; ont été faits dans le formalisme de la fonctionenveloppe. Dans ce qui suit nous présentons les relations de dispersion des particuleslégères et lourdes dans le cas où k P=0 ainsi que les relations de dispersion en fonction dek p . Le formalisme de cette approximation ainsi que la procédure suivie pour ladétermination de relations de dispersion sont donnés dans l’annexe (E).II.E.2.a Relations de dispersion suivant k zLes relations de dispersion des particules légères sont données par l’équationsuivante :1 1cos[k (d +d )] = cos(k d ) cos(k d ) - (ξ+ ) sin(k d ) sin(k d )2 ξz 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2(2.66)k1Avec : ξ = rk2E - εr = et :E + |ε | - Λ;21HgTe.⎧ 2 2 2 2P ħ k1 = ( E - Λ) ( E - Λ + ε1 ) pour CdTe⎪3⎨⎪2 P2 2 k2ħ2 = E ( E - ε2 ) pour HgTe⎪⎩ 3En posant :1 2 P²=2m* 3 εG(2.67); m * = 0,03 m 0 est la masse cyclotron de l’électron dans61

Chapitre II- Cadre théoriqueCette relation de dispersion est vérifiée lorsque -1 ≤cos (k z d) ≤ +1 c. à d :-π/d ≤ k z ≤+ π/d dans la première zone de Brillouin. La relation de dispersion des trouslourds, de type parabolique, est décrite par la même équation (2.66) ci-dessus, mais avec :ξ =kk12r, r =1 et :*⎧ 2 2mHHk1= - E pour CdTe2⎪ ħ⎨*⎪ 2 2mHHk2= -2( E -Λ)pour HgTe⎪⎩ ħ(2.68)II.E.2.b Relations de dispersion suivant k pSi le vecteur d’onde dans le plan de superréseau n’est plus nul, la matrice deLuttinger n’est plus diagonale et elle décrit l’interaction des particules légères et des trouslourds.Les relations de dispersion des particules légères pourront être obtenues par uncalcul analogue au cas précédent comme l’indique Bastard [1.33]Elles sont données par l’équation suivante :21 ⎡ 1 kp1 ⎤cos(kzd) =cos(k1d 1)cos(k 2d 2) - ⎢(ξ+ ) + (r + - 2) ⎥ sin(k1d 1)sin(k 2d 2)2 ⎢⎣ξ 4k1k2r ⎥⎦(2.69)k1Avec : ξ = rk2E - εr = E + |ε | - Λ;21⎧2 P² ħ ²(k1 ²+kp ²) = (E-Λ)(E-Λ+|ε1 |) pour HgTe⎪3⎨⎪2 P² ħ ²(k2 ²+kp ²) = E (E-ε2 ) pour CdTe⎪⎩ 3(2.70)La relation de dispersion des trous lourds est de type parabolique, décrite par lamême équation que (2.69), mais avec :ξ =kk12r (r=1)*⎧ 2 2 2mHHk1+ kp= - E pour CdTe2⎪ħ⎨*⎪ 2 2 2mHHk2+ kp= -2( E -Λ)pour HgTe⎪⎩ħ(2.71)62

Chapitre II- Cadre théoriqueII.E.3 Résultats des calculs suivant la direction k z (k p =0) Influence de diversparamètresLes traitements mathématiques précédents nous donnent les relations de dispersionsuivant l’axe k z (l’axe de croissance du superréseau est oz), l’allure des niveaux departicules légères E i (électronique), h i trous légers et HH i (trous lourds) et la bande interditeE g = E i -HH iNous allons voir quelle est l’influence de divers paramètres :• La période d= d 1 +d 2 du superréseau sur les niveaux.• L’épaisseur d 1 de la couche de HgTe sur la bande interdite.• La température sur la bande interdite E g .• L’écart des bandes de valence de HgTe et CdTe sur E g .II.E.3.a Effet de la période du superréseau sur la structure des bandes et E gPour des commodités de calcul, il a été choisi de déterminer l’évolution des niveauxE i , h i , et HH i en fonction de l’épaisseur d 2 des couches de CdTe pour le rapport d 1 /d 2correspondant à notre échantillon (Figures II.15. b et II.15. c).250E (meV)200150100500d 1=d 2E 2E 3h1 HH HH23(a)E 1HH 10 50 100 150 200 250 300 350d 2(Å)T= 4.2 K63

Chapitre II- Cadre théorique2 0 01 5 0E 1E 2E 3d 1= 1 . 8 7 d 2T = 4 . 2 KE(meV)1 0 05 0( b )0- 5 0H H 2H H 1h 2h 10 1 0 0 2 0 0 3 0 0d 2= 3 0 Åd 2( Å )E I6050E 2E 3HgTe/CdTed 1= 4.1 d 2T = 4,2KE(meV)40ΛHH 1E 1h 130HH 2HH 3(c)E I200 d 100 200 3002= 44 Åd 2(Å)Figure II.15: Calcul des niveaux d’énergie E i , h i , et HH i en fonction de l’épaisseur d 2 dansles cas d 1 =d 2, d 1 =1,87d 2 et d 1 =4.1 d 2 à la température T=4,2 K.64

Chapitre II- Cadre théoriqueIl apparaît que : Pour un rapport donné, l’épaisseur d 2 contrôle la bande interdite E g =E 1 -HH 1 .Pour de faibles valeurs de d 2 , un caractère semi-conducteur est développé (couplage entrepuits de HgTe). Si au contraire d 2 croît, les bandes d’énergie E 1 et h 1 tombent dans la barrièred’énergie [0, Λ] et deviennent un état d’interface discret d’énergieEI= Λ ε /( ε + ε ) = 34 meV pour d 2 infinie. Le superréseau tend à devenir un ensemble2 1 2de puits de HgTe isolés (non couplés par effet tunnel par le transport perpendiculairesuivant l’axe oz en d’autres termes les longueur d’onde des fonctions d’ondes dans HgTesont inferieures à l’epaisseur d 1 ) et accuse ainsi un caractère semi-métallique. Le rapport d 1 /d 2 contrôle la largeur des bandes d’énergie du superréseau (pour0≤k z ≤+π/d). Une grande largeur de bandes, c'est-à-dire un d 1 /d 2 grand éloigne le matériaud’un comportement bidimensionnel.La figure II.16 montre l’influence de d 1 sur la bande interdite E g au centre Γ de lazone de Brillouin. Quand d 1 augmente, E g diminue, s’annule à d 1c =250 Å critique etdevient négatif en accusant un comportement semimétallique.E g(Γ)(meV)400300200100T= 4,2 KT= 77 KT= 300 Kd 1=1,87d 200 50 100 150 200 250d 1(Å)Figure II.16: L’énergie de la bande interdite E g en fonction de d 1 pourdifférentes valeurs de températures.II.E.3.b Effet de la température sur E g65

Chapitre II- Cadre théoriqueLe tableau II.2 donne les valeurs des bandes interdites des matériaux hôtes enfonction de la température.Tableau II.2. Les valeurs ε 1 et ε 2 des bandes interdites de HgTe et CdTeT(K) 4,2K 77K 300Kε 1 HgTe(meV) -302 -261 -122ε 2 CdTe (meV) 1600 1550 1425L’élément de matrice de Kane P est pris indépendant de la température ; en effetP = εG(T) / m*(T) (2.72)La figure.II.16 montre aussi l’influence de la température sur la dépendance de labande interdite du superréseau avec d 1 . La bande interdite croît avec T comme dansl’alliage Hg 1-x Cd x Te. Cependant l’évolution de la bande interdite du superréseau estsublinéaire et les variations avec la température seront moindres que dans l’alliage ternaireHg 1-x Cd x Te ce qui est important en technologie infrarouge.II.E.3.c Influence de l’écart Λ des bandes de valenceLe calcul numérique de la structure des bandes nécessite la connaissance duparamètre Λ : écart en energie des bandes de valence de HgTe et CdTe .Dans le premier calcul la structure des bandes du superréseau HgTe-CdTe, J NSchulmannn [1.35] avait pris Λ = 0. Guldner par mesure optique donne Λ= 40meV ;Cependant des valeurs comprises entre 120 à 600 meV sont trouvées dans la littérature([2.11] [2.12]). Devant cette incertitude, la question qui se pose et de savoir l’influence deΛ sur la bande interdite E g .La figure II.17 montre la variation de E g (Г) pour trois cas de période à 4.2K oùl’épaisseur d 1 de HgTe a été prise constante d 1 =50 Å. Pour une température donnée, E gaugmente avec Λ, présente un maximum large pour Λ=10 meV et décroît après. Pour un Λdonné, E g augmente quand le rapport d 1 /d 2 diminue. Le choix de Λ=40meV semble correct.Ces résultats sont semblables à ceux de G.Y.Wu. [2.14].66

Chapitre II- Cadre théorique200k z=0; K p=0; T=4,2 K; d 1=5 nmE g(Γ)(meV)150100d 1/d 2= 2d 1/d 2= 1d 1/d 2= 0.6750Λ=40mev-50 0 50 100 150 200Λ (meV)Figure II.17: L’énergie de la bande interdite E g en fonction de l’écart Λ des bandes devalence pour différentes valeurs de d 2 à la température4,2K.Nous verrons dans les chapitres 4 et 5 que les paramètres de transport déduis de noscalculs théoriques de structures des bandes et ceux de nos mesures expérimentales sont enexcellent accord.67

Chapitre II- Cadre théoriqueRéférences[2.1] P. Kiéev, Semiconductor physics, Mir, Moscou, (1975).[2.2] K. Seeger, Semiconductor physics, an introduction Springer, (2002).[2.3] W. Scott, R. J. Appl. Phys. 43, (3), 1055 (1972).[2.4] F. J. Blatt, Solid state physics, édité par F. Seitz et D. Turnbull, 4, Academic Press,New York, 332, (1957).[2.5] D. Chattopadhyay et B.R. Nag, Journal of applied physics, 45, (3), (1974).[2.6] J. Wenus, J. Rutkowski., A. Rogalski, IEEE trans, On electron devices, 48, 1326(2001).[2.7] W. Scott, J. Appl. Phys. 43, (3), (1972).[2.8] J. G. Collins et al, J. Phys. C: Solid State Phys. 13, 1649 (1980).[2.9] T. F. Smith et al J. Phys. C: Solid State Phys. 8, 2031 (1975).[2.10] J. D. Wiley, Semiconductors and semimetals, 10, Academic Press, New York,(1975).[2.11] D. Olego, J. P. Faurie et P.M. Raccah, Phys.Rev. Lett.55, 328 (1985).[2.12] S. P. Kowalczyk, J.T. Cheung, E.A. Kraut et R.W. Grant Phys. Rev. Lett. 56, (15),1605 (1986).[2.13] O. Kane J.Phys. Chem. Solids 1, 249 (1957).[2.14] G. Y .Wu et T.C. Mc Gill Appl. Phys. Let 47 (6), 634 (1985).68

Chapitre IIIRappel sur les techniques expérimentalesSOMMAIREIII.A Introduction ……………………………………………………..................... 70III.B La technique de l'épitaxie par jets moléculaires ou MBE ………………… 70III.B.1 Conditions de Knudsen …………………………………………………… 70III.B.2 Schéma d'un système MBE …………………………………………………… 71III.B.2.a Chambre d'introduction ……………………………………………………… 72III.B.2.b La chambre de croissance …………………………………………………… 72III.B.3 Mesures en temps réel ………………………………………………………… 72III.B.4 La surface : un équilibre dynamique ………………………………………... 73III.B.5 Avantages et inconvénients d'une croissance lente …………………………… 73III.B.5.a Avantages …………………………………………………………………. 73III.B.5.b Désavantages …………………………...………………………………… 74III.C préparation des échantillons ………………………………………………… 74III.D Techniques de mesures ……………………………………………………….. 75III.D.1 Mesure de l’effet Hall et de la conductivité ………...………………………… 75III.D.1.a Principe de mesure ……………………………...…………………………… 75III.D.1.b Montage des échantillons ………………………………………………….... 76III.D.2 Mesure de l’effet Seebeck …………………………………………………… 79III.D 3 Mesure de l’effet Shubnikov- de Haas ………………………………………... 8069

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentalesIII.A INTRODUCTIONL’échantillon Hg 1-x Cd x Te (x=0,22) d’épaisseur 5 µm, a été élaboré par la techniqued’épitaxie par jet moléculaire (EJM) sur un substrat CdTe [111] à 180 °C. La compositionnominale (x = 0,22) a été déterminé par la mesure de la densité. Les mesures de l’effet Hallet de la conductivité ont été faites dans la gamme de température 4,2-300 K. Un faiblecourant (I = 0,1 µA) circule le long de l’échantillon sous un champ magnétique (B= 0,1 T).Nos superréseaux HgTe/CdTe ont été élaborés par la technique d’EJM sur dessubstrats CdTe [111] à 180 °C. L’échantillon (56 /30Å) (90 couches) a une périoded=d 1 +d 2 où d 1 (HgTe)=56 Å et d 2 (CdTe) =30 Å et l’échantillon (180/44Å) avec le mêmenombre de couches et une période d=d 1 +d 2 où d 1 (HgTe)= 180 Å et d 2 (CdTe) = 44 Å sontdes plaquettes de dimensions (5x5x1)mm 3 . Les propriétés de transport ont été étudiéesdans une gamme de température de 1,5-300K sous un champ magnétique allant jusqu’à 8Tesla.III.B LA TECHNIQUE DE L'EPITAXIE PAR JETS MOLECULAIRE OU MBEL'épitaxie par jets moléculaires (ou MBE pour Molecular Beam Epitaxy) est unetechnique qui consiste à envoyer un ou plusieurs jets moléculaires vers un substratpréalablement choisi pour réaliser une croissance épitaxiale (figure III.1) [3.1-2]. Ellepermet de faire croître des échantillons nanostructurés de plusieurs cm 2 à une vitessed'environ une monocouche atomique par seconde.Figure III.1 : Illustration de la croissance par jet moléculaire.III.B.1 Conditions de KnudsenGénéralement, on désire réaliser la croissance de matériaux solides à températureambiante. On place ces matériaux dans des creusets situés au sein d'une cellule deKnudsen. Ces creusets sont réalisés en PNB (nitrure de bore pyrolitique, stable et peu70

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentalesréactif jusqu'à 2000K). La température d'évaporation est une variable essentielle àcontrôler car elle va déterminer le flux moléculaire arrivant sur l'échantillon. La croissancedes matériaux est relativement lente. En effet, il ne faut pas que des molécules évaporéesréagissent avec d'autres avant d'avoir atteint le substrat. On s'arrangera pour que le libreparcours moyen λ soit supérieur à la distance séparant la cellule de Knudsen au substrat.En pratique on fait en sorte que λ soit supérieur à 1 mètre. Si ces conditions sont observéeson peut alors parler de jets moléculaires. On montre que :2λ = 1/2 π σ n où σ est ladistance à partir de laquelle on considère que les molécules sont en collision (on supposeles molécules sphériques de rayon σ, typiquement de quelques Ångström) et n est ladensité d'atomes (atomes/m 3 ). Or la densité volumique d'atomes est directementproportionnelle à la pression p et à la température T selon p = n. k B. T où k B est la constantede Boltzmann.III.B.2 Schéma d'un système MBEUn schéma général est présenté sur la figure III. 2 :Figure III.2 : Schéma général d’une chambre MBE.71

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentalesIII.B.2.a Chambre d'introductionLa chambre d'introduction a pour but de ne jamais mettre la chambre d’EJMdirectement en contact avec l'air ambiant, de maintenir une pression basse et donc d'éviterles contaminations. La chambre d'introduction est moins volumineuse que la chambred’EJM, ce qui permet un pompage plus rapide.Le vide atteint est au maximum de 10 -8 Torr du fait des joints en Viton. La chambred'introduction est également munie d'une grille chauffante sous laquelle on peut placer unéchantillon qui atteindra une température de quelques 650 K, ceci ayant pour principal butd'éliminer les traces de vapeur d'eau.III.B.2.b La chambre de croissanceTrois pompes assurent un vide d'environ 10 -11 Torr dans la chambre de croissance :une pompe turbomoléculaire, une pompe ionique et une pompe cryogénique. Le contrôlede la pression et des espèces résiduelles est assuré par une sonde Bayard-Alpert et unspectromètre de masse par quadrupôle respectivement. L'échantillon est placé sur unsupport rotatif permettant une homogénéisation du flux incident. Un système de chauffageradiatif contrôlé par un thermocouple permet de réguler la température de l'échantillon.Lors de la croissance, la planéité de la surface peut-être analysée en temps réel grâce àl'analyse de la diffraction d'électrons de haute énergie par réflexion (RHEED). Enfin, leflux est mesuré par une seconde sonde Bayard-Alpert.III.B.3 Mesures en temps réelLes mesures en temps réel les plus rencontrées en EJM sont :- La mesure de pression résiduelle à l'aide d'une sonde de type Bayard-Alpert. Une sondesimilaire pouvant être placée au-dessus de la cellule d'évaporation pour déterminer le fluxmoléculaire atteignant le substrat (cette mesure doit bien évidemment se faire uniquementavant la croissance).- On peut déterminer la composition des gaz résiduels grâce à la spectrométrie de massepar quadrupôle (QMS)- La détermination de la température du substrat grâce à un pyromètre optique détectant lesradiations infrarouges.72

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentales- Mais surtout on peut analyser l'évolution dimensionnelle et cristalline de la croissancegrâce au RHEED (Reflection High Energy Electron Diffraction : diffraction d'électrons dehaute énergie).III.B.4 La surface : un équilibre dynamiqueIl faut savoir que la croissance de la surface est un procédé dynamique et non passtatique. En effet, lorsqu'une molécule atteint la surface, elle n'y reste pas simplementcollée. Typiquement les molécules vont diffuser grâce à leur énergie thermique. De là, il yaura de la nucléation : des atomes vont se rencontrer, s'assembler et leur mobilité vadiminuer. D'autres molécules vont pouvoir s'adjoindre, on parle alors d'agrégation.Globalement ces agrégats se déplacent peu. Leurs bords sont très mobiles, c'est ce qu'ondésigne par la "diffusion de bord". A côté de cela, l'énergie thermique des molécules peutêtre telle qu'elles quittent l'échantillon : c'est ce qu'on nomme la désorption. Enfin, certainsagrégats peuvent se séparer, il s'agit alors d'une dissociation.Figure III.3 : Dynamique à la surface de l’échantillon.III.B.5 Avantages et inconvénients d'une croissance lenteNous terminerons cette partie en citant les principaux avantages et désavantages del’EJM, notamment par rapport à l'épitaxie en phase vapeur ou par rapport à la MOCVD(Metal-Organic Chemical Vapor Deposition).III.B.5.a Avantages• L'atmosphère est sous UHV, ce qui implique peu de contaminations.• La rapidité des obturateurs, permettant des hétérojonctions abruptes.73

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentales• Une information sur la composition du flux atteignant l'échantillon est possible.• On peut obtenir une information sur le mode de construction de la surface grâce auRHEED.• Une connaissance des espèces résiduelles peut être obtenue grâce à l'analyse parquadrupôle.• On peut utiliser une large gamme de dopants.• La MBE n'utilise pas de gaz toxiques.III.B.5.b Désavantages• La vitesse de croissance MBE est plus faible surtout dans le cas d'hétérostructures.• Le dopage-p est plus efficace par MOVPE. Le remplissage des cellules de Knudsenou la moindre autre opération technique de maintenance nécessitant l'ouverture dela chambre MBE est fastidieuse et peut durer plusieurs semaines voire plusieursmois.• La préparation de la chambre et de l'échantillon et sévère pour obtenir une bonnecroissance, désorber le substrat et avoir un vide très poussé, ce qui prend un tempsnon négligeable.III.C PREPARATION DES ECHANTILLONSL’alliage ternaire Hg 1-x Cd x Te (x = 0,22) a été élaboré par la technique de l’épitaxiepar jet moléculaire (MBE) sur un substrat [111] CdTe.Les échantillons du superréseau HgTe/CdTe ont été aussi élaborés par la techniquede l’épitaxie par jet moléculaire (MBE). Ils se présentent sous forme de plaquettes(5x5x1)mm 3 . La couche active du superréseau, très mince est caractérisée par un aspect demiroir.Les échantillons, destinés à la mesure de la conductivité et de l’effet Hall sontdécoupés avec une scie à fil après protection de la surface par un film de paraffine.Les contacts ohmiques ont été réalisés par un dépôt chimique de l’or à partir del’acide tétrachloroaurique HAuCl 4 dans une solution du méthanol. Les fils d’or de mesuresont montés à la laque d’argent sur la trace dorée du substrat CdTe (figure III.4).74

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentalesFigure III.4 : Schéma illustrant les prises de contact ohmiques sur les échantillons HgTe-CdTe destinés à la mesure de la conductivité et l’effet Hall.III.D TECHNIQUES DE MESUREOr:D’où :III.D.1 Mesure de l’effet Hall et de la conductivité [3.3]III.D.1.a Principe de mesureDans le chapitre II nous avons donné l’expression de la constante de Hall :RεεyyH= =Jx Bz xJ BComme montré sur la figure III.5, l’échantillon est de dimensions (a, b, c).VVbε =y= Het xyJxbI I= =a.b a.bRHa.V=I .BHV H est la tension de Hall mesurée, I est le courant qui traverse l’échantillon.Le signe de R H dépend du signe de V H . À une température donnée, si R H >0 lesporteurs majoritaires sont des trous et l’échantillon est du type p, dans le cas contraire lesporteurs majoritaires sont des électrons et l’échantillon est du type n.La conductivité σ0est mesurée à champ magnétique nul. Son expression estJdonnée par la relation : σ0=σxx= εxx75

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentalesOr :JxIa.bIa.b= x= et xxVc.Iε = . D’où : σ0= c a.b.VLa mesure de I, V x , a, b et c conduit à σ0.xFigure III.5: Schéma illustrant le principe de mesure de la constante de Hall et laconductivitéIII.D.1.b Montage des échantillonsLa mesure de la constante de Hall et la conductivité ont été réalisées dans uncryostat à température variable (figure III.6 a).Figure III. 6 : Schéma du cryostat à température variable.76

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentalesLa température de l’échantillon est fixée par une consigne de chauffage (régulateurRGP 3000) de l’hélium aspiré depuis le vase réservoir par une pompe à membrane(Réciprotor).L’échantillon est placé sur un support en cuivre, isolé de ce dernier par un filmmince de mylar. Pour assurer une bonne homogénéité de la température, le support estinséré dans un tube en cuivre fermé à son extrémité inférieure par un bronze fritté poreux(figure III.6. a). L’écoulement du gaz (T > 4,2K) devient plus laminaire et la masse decuivre assure une intégration des fluctuations de température.La température est mesurée au moyen des sondes de carbone (T< 100 K) ou deplatine placées dans le voisinage immédiat de l’échantillon.La cryostat est placé dans l’entrefer d’un électroaimant (B max =1,2 T) (figure III.6.b).Figure III. 6 b : Schéma de la chaîne de mesures.77

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentalesFigure III.7 : Montage utilisé pour la mesure de la conductivité et de l’effet Hall.L’échantillon est alimenté par une source de courant continu Keithley220. Lestensions de conductivité et de Hall sont mesurées par les microvoltmètres V 1 et V 2 (figureIII.7).Dans le cas idéal, les prises de contact pour la mesure de l’effet Hall sontstrictement en regard l’une l’autre. En réalité, il existe toujours un désalignement. Celui-ciest compensé par le montage potentiométrique. L’alignement fictif des sondes de Hallétant effectué à champ magnétique nul.Nous sommes attachés à un certain nombre de précautions lors des mesures de laconductivité et de l’effet Hall.• Le courant d’alimentation a été maintenu le plus faible possible compte tenu de lafaible épaisseur des couches du superréseau de l’ordre du micron pour une largeurde 2 mm, soit une section typique de l’ordre de 2 10 -3 mm². Le courant choisi estI=10 µA. Pour l’alliage ternaire Hg 1-x Cd x Te volumineux un courant I= 0.1mAtraverse l’échantillon. Ces courants ont été choisi dans les parties linéaires descaractéristiques I =f(V) et V H =f(I) mesurées au préalable.• Lors de la mesure de la mobilité et de la constante de Hall, le champ magnétique aété choisi le plus faible possible à partir de la partie linéaire de la caractéristiqueV H (H). En effet, l’effet Hall est défini à champ magnétique tendant vers zéro. Nousavons utilisé B=0,1T pour le superréseau HgTe/CdTe et 0,2 T pour l’alliageHg 1-x Cd x Te.78

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentales• Pour annihiler d’éventuels effets liés à l’existence de gradient thermique, un effetde désalignement de sondes (magnétorésistance parasite s’ajoutant au signal deHall) :c.I- La valeur mesurée de la tension V x pour déterminer σ0= a.b.V+ −pour les deux sens du courant I soit V = 1/ 2[ V ( I ) + V ( I ) ].x x xxa été moyennée-La valeur mesurée de la tension de Hall V H pour déterminerRHa.VI .BH= a étémoyennée pour les deux orientations du champ magnétique (haute et basse) et lesdeux sens du courant .soit :+ + − − + − − +V = 1/ 4[ V ( I , B ) + V ( I , B ) + V ( I , B ) + V ( I , B ) ] . Ceci permet deH H H H Hsonder le volume de l’échantillon actif.• Toutes les mesures ont été effectuées après stabilisation de la température del’ensemble du porte échantillon afin d’éviter les effets magnétothermiques.III.D.2 Mesure de l’effet Seebeck [3.4]Les deux cotés de semiconducteur sont à des températures T 1 ≠T 2 . Il apparaît alorsune tension détectée par un voltmètre.Figure III.8 : Principe de mesure du coefficient thermoélectriqueα.dV ∆VαSC= =dT ∆TLa mesure de ∆T se fait à l’aide d’un thermocouple.La mesure de l’effet Seebeck permet la détermination du type d’un semi conducteurpar effet Seebeck. Une partie de semi conducteur est plongée dans l’azote liquide (T=77K)l’autre est au contact de l’atmosphère (T=300K) ; la polarisation de voltmètre indique le79

ChapitreIII- Rappel sur les techniques expérimentalestype de semi conducteur. Si le sens est direct, comme celui indiqué dans la figure III.9, lesemi conducteur est de type n sinon il est du type p.Figure III.9 : Détermination du type du semiconducteur par effet thermoélectriqueIII.D. 3 Mesure de l’effet Shubnikov- de Haas. [3.5]L’observation préliminaire de l’effet Shubnikov-de Haas s’est manifestée à champmagnétique fort. L’échantillon est mis au centre d’une bobine supraconductrice (B max = 10T à 1,6K) dans un bain d’hélium liquide (1,4 K< T< 4,2 K).Des mesures à champs encore élevés ont été faites au service national des champsintenses de Grenoble (SNCI). Dans ce cas, l’échantillon est dans un cryostat au cœur d’unebobine résistive de Bitter, refroidie à la température d’Hélium liquide, qui produit unchamp magnétique fort allant jusqu’à 20 T.Pour observer les oscillations quantiques de la magnétorésistance, il nous a éténécessaire de procéder à une compensation de la variation monotone de lamagnétorésistance par une méthode d’opposition.Références[3.1] J. R. Arthur, Surface Science 500, 189 (2002)[3.2] W. P. McCray, MBE Deserves a Place in the History Books, Nature Nanotechnology,2, 5, 2-4 (2007).[3.3] V. V. Tsurkan, S.A. Ratseev, V.E. Tezlevan et S.I. Radautsan, Progress in CrystalGrowth and Characterization, 10, 385-389, (1984)[3.4] K. Seeger, Semiconductor Physics An Introduction, Springer, (2004)[3.5] K. Suizu and S. Narita, Solid State Communications, Volume 10, Issue 7, Pages 627-631, (1972)80

Chapitre IVAPPLICATION A L’ALLIAGEHg 1-x Cd x Te (x=0,22)SOMMAIREIV.A Introduction …………………………………………...................................... 82IV.B Analyse de la constante de Hall……………………………...…..…………… 82IV.C Calcul de l’énergie de Fermi………………………………………..………… 86IV.D Calcul de l’énergie de l’état donneur …………..……………………………. 88IV.E Analyse de la conductivité ……………………………………...…………….. 89IV.F Modélisation de la mobilité …………………………………………………… 90IV.G Conclusion……………………………………………………………………… 9281

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)IV. A INTRODUCTIONLe niveau de développement accompli dans les techniques de la croissance dessemi-conducteurs a permis l'observation de plusieurs aspects expérimentaux très fins despropriétés optiques et de transport de ces structures. Parmi eux l'alliage II-VI ternaire Hg 1-xCd x Te qui a été prédit comme une alternative stable pour l’application dans les appareilsoptoélectroniques infrarouges. Surtout dans la région de ladeuxième fenêtreatmosphérique (autour de 10 µm), qui a un grand intérêt dans les communications.Plusieurs publications rapportent sur la structure de bandes de ce système aussi bien queses propriétés magnéto optiques [4.1].L’étude de la dépendance de la constante de Hall, la conductivité et la mobilitérespectivement avec la température révèle l'importance des mécanismes de diffusion. Lebut de cette partie est de déterminer les propriétés du transport et de modéliser la mobilitédans Hg 1-x Cd x Te (x =0,22)Dans tous nos calculs, la masse effective des trous a été fixée à mh= 0,55 m0[4.2].L'origine d'énergie est prise au sommet de la bande de la valence (E v =0 alors E c =E g ).IV.B ANALYSE DE LA CONSTANTE DE HALLNos mesures de la constante de Hall (R H

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)Aux basses températures, dans le régime extrinsèque nous sommes en présenced’un gel de porteurs de charges pour4,2K

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)Le calcul de la tangente de la courbe de log10 RH= f (10 3 /T) dans la figure IV.2 nousa permis de déterminer ∆E = - 0,67 meV . Cela montre l’existence d’un état donneur à 0,67dmeV au-dessus du bas de la bande de conduction ( Ed= Ec- ∆Ed = Eg+ 0,67 meV ).Quand la température augmente, dans le régime intrinsèque, les électrons transitentthermiquement du niveau donneur (causé plutôt par les lacunes de Te et les interstitiels deHg [4.4]) et de la bande de valence à la bande de conduction. Ce transit augmente laconcentration des porteurs de charges.Dans le domaine intrinsèque on a :n = p = niD’après la loi d’action de masse dans un semi-conducteur :n.p = N .N ecv-E g/KBTn = N .N e1/2 -E /2K Ton a : ( )g BEn remplaçant N c et N v par leurs expressions nous obtenons :n = A.TA partir de⎛-E3/2gexp⎜2kB T⎝Hcv⎞⎟ ; A étant une constante indépendante de la température.⎠1-3/2R = - on obtient : R ∼ A.T .exp(E /2k T)neH g BFinalement :D’où :ln R TH3/2Eg=ln(A) + 2kB T3/2RHT ∼ A.exp(Eg/2kBT)D’où :E 1033/2glog10 RHT =log10(A) + 2.103 ln(10)kB TLa courbe représentant3/2log RHT en fonction3/2log10 RHT =a' + b'310T310T avec : Egb' = 2.103 .ln(e).kest donc une droite d’équation :La détermination de la pente de cette droite va nous permettre d’estimer l’énergie3de la bande interdite : E = 2.10 .ln(e).k .b'gBB84

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)2x10 71,5x10 7(-)R HT 3/2 (cm 3 C -1 K 3/2 )10 75x10 63 4 5 610 3 /T (K -1 )Figure IV.3: Variation de log 10 (R H .T 3/2 ) en fonction 10 3 /T dans le régime intrinsèque.La détermination de la pente de la droite3/2log10 RHT = f3⎛10⎞⎜ ⎟ de la figure IV.3⎝ T ⎠nous a permis de déterminer une bande interdite E g =178 meV qui est en bon accord avecE g (300K, x=0,22) = 184 meV calculée par la formule de Hansen et al [1.11]. La longueurd’onde de détection correspondante est de : λ = 6,89 µm . L’échantillon est donc undétecteur d’infrarouge moyen (MIR) à la température ambiante. Et pour le domaine detempératures investis, 6,9µ m ≤ λ ≤ 13,3µm , c’est un détecteur d’infrarouge moyen(LWIR).cE g(meV)35030025020015010050E gλ1412108λ (µm)060 50 100 150 200 250 300 350T(K)Figure IV.4: L’énergie de la bande interdite E g et longueur d’onde de détection λ cenfonction de la température.85

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)La figure IV. 4 montre que E g augmente linéairement avec la température T tandisque la longueur d’onde de détection λcdécroît comme 1/T.IV.C CALCUL DE L’ENERGIE DE FERMILe calcul de l’énergie de Fermi E F à la température T est donné par l’expression dela densité n des électrons dans la bande de conduction :E - E ⎛ 2π m*k T ⎞Avec: η = et N = 2 ⎟K T h² ⎠F c Bc ⎜B⎝1/22 ∞ (E)n = Nc dE0 ( E - η)π∫1+e3/2Nous avons itéré sur la valeur de E F, entre 0 et E g +10 k B T, ce qui donne une densitén voisine de la valeur n mes mesurée par effet Hall.al [1. 11] :L’énergie de la bande interdite est calculée en utilisant la formule de G. Hansen et3 -4E g (x,T)= - 0,302 + 1,93x - 0,810x² + 0,832x + 5,03510 (1-2x) TIci T est la température en Kelvin, E g est l’énergie de la bande interdite du matériauen eV et x la valeur de la fraction de composition de Hg 1-x Cd x Te.La masse effective m* a été calculée par le modèle de Kane [4.5].m 0 : est la masse de l’électron libre.standard:1m* = m2 1- 0,6+6,333 ( + )E E +1ggLa concentration des porteurs de charges n mes a été calculée à partir de la formulerHnmes= (Pour commodité HRH .e0r a été pris égal à l’unité).Pour déterminer l’énergie du niveau donneur, nous avons itéré dans les formulessuivantes donnant l’expression de E F en fonction de la température [4.6] :⎧ 1/2⎧1 ⎡ ⎛ Nd(Ec -E d ) / kBT⎞ ⎤⎫⎪ ⎪⎪Pour : kBT < Eg/10 EF=E d+ kBT ln ⎨ ⎢-1+ ⎜1+8 e ⎟ ⎥⎬⎪ ⎪4 ⎢ ⎝ Nc⎠ ⎥⎪⎩ ⎣⎦⎭⎪⎨⎪Ec+EvkBTNv⎪ Pour : kBT > Eg/10 EF= + ln⎪2 2 Nc⎪⎩86

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)Dans ces formules nous avons itéré sur les valeurs de E d entre 0 et E g + 5 k B T.L’énergie E d, est par conséquent, celle qui donne la valeur de E F calculée auparavant. Lecalcul de E d a été fait dans le régime extrinsèque (4,2K ≤ T ≤ 77K) .La densité des impuretés donneuses dans l’échantillon estN n 5,2410 cm14 -3d≃mes≃ dans le régime de gel des porteurs de charges.La concentration d’électrons n mes en fonction de la température est montrée dans lafigure IV.1. L’énergie de Fermi correspondante calculée est donnée dans la figureIV.5.200E FE g/2200E (meV)150100E dE c=E gE d150100E (meV)5050000 50 100 150 200 250 300 350 400T(K)E vFigure IV.5 : Les énergies de Fermi et de la bande interdite calculées en fonction de latempérature.[4.7]Pour 4,2 K≤T≤76 K, E F est aux alentours de la bande de conduction de quelques k B T :le gaz d’électrons est dégénéré. Ailleurs, E F s’éloigne de E c et le gaz d’électrons est nondégénéré.87

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)IV.D CALCUL DE L’ENERGIE DE L’ETAT DONNEURPour calculer la valeur de l’énergie du niveau donneur E d , nous avons itéré sur desvaleurs de E d dans les formules suivantes donnant les expressions de E F en fonction de latempérature [4.6] :⎧ 1/2⎧1 ⎡ ⎛ Nd(Ec -E d ) / kBT⎞ ⎤⎫⎪ ⎪⎪Pour : kBT < Eg/10 EF=E d+ kBT ln ⎨ ⎢-1+ ⎜1+8 e ⎟ ⎥⎬⎪ ⎪4 ⎢ ⎝ Nc⎠ ⎥⎪⎨⎩ ⎣⎦⎭⎪ Ec+EvkBT⎛ N ⎞v⎪Pour : kBT > Eg/10 EF= + ln ⎜ ⎟⎪⎩2 2 ⎝ Nc⎠L’énergie E d est donc celle qui donne une valeur de l’énergie de Fermi très voisinede celle calculée précédemment.Le calcul de E d (Tableau IV.1) a été fait dans le régimeextrinsèque (4.2K ≤ T ≤ 77 K ) .La densité des impuretés de type donneur dans l’échantillon estN n 5.2410 cm14 -3d≃mes≃ cette valeur est déterminée expérimentalement dans le régime degel des porteurs.Aux basses températures (25 K-100 K), l’énergie thermique est suffisante pourioniser tous les donneurs et on atteint un plateau de concentration de porteurs. Cela nouspermet d’extraire la densité N D :n N N N cm −14 3≃D−A≃D≃ 5,2410 .Tableau IV.1: Les valeurs de Eg , E F et E d calculées à 4,2K et 77K.T(K) E g (meV) E F (meV) E d (meV) ∆E d (meV)4,2 95,2 97 98 -2,877 116,9 103 111 5,9.La figure IV.5 montre que E d augmente linéairement avec T et passe en dessous deE c à T = 30 K. A T = 4.2 K, les donneurs commencent à s’ioniser et E F =98 meV augmentejusqu'à 100 meV à T=30 K.88

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)Pour 30 K ≤ T ≤130 K, E F =100 meV = constante: tous les donneurs sont ionisés.Après E F augmente jusqu'à 150 meV à l’ambiante ceci est dû au passage des électrons de labande de valence à la bande de conduction.A T = 4,2 K, nos calculs (Tableau IV.1) montrent que : E d - E c = 2,8 meV etE d - E F =1 meV ≈ 0,67 meV déduite de nos mesures d’effet Hall. (càd E d > E F > E c (FigureIV.5)).Un état résonnant de 6 meV au-dessus de la bande de conduction à 4.2K a étéobservé dans des mesures de l’effet Shubnikov de Haas dans Hg 0,8 Cd 0,2 Te [4.8]. Cerésultat est en accord avec notre E d - E c = 2,8 meV dans Hg 0,8 Cd 0,22 Te dégénérée à cettetempérature.IV.E ANALYSE DE LA CONDUCTIVITE10 2 (a)σ 0( Ω cm ) -110 1Hg 1-xCd xTeType n10 00 10 20 30 40 200 250 30010 3 /T (K -1 )Figure IV.6: Variation de la conductivité en fonction de température.La concentration intrinsèque n i augmente exponentiellement avec la températuresuivant la relation : ni = NCNV ⋅exp( − Eg/ 2KBT). Or la conductivité intrinsèque σ0estexprimée par la relation σ0= e niµ h(1+b) avec b = µe/µ h. La figure IV.6 montrel’évolution de σ0avec 1/T. Quand la température est réduite, σ0entre dans la régionextrinsèque où la concentration des porteurs de charges est constante et σ0augmente, pour89

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)le cas le plus simple σ 0des porteurs.α τ α T0-3/2. À des températures plus basses, nous assistons à un gelIV.F MODELISATION DE LA MOBILITEDans nos calculs de la mobilité électronique (§ II.C) nous avons inclus quatre typesde processus de diffusion notamment, la diffusion par les phonons acoustiques, la diffusionpiézo-électrique, la diffusion par les phonons optiques polaires et la diffusion par lesimpuretés ionisées. La mobilité de Hall est : µH= RH.σ 0, où R H est le coefficient de Hallet σ0la conductivité sans champ magnétique va être comparé à la mobilité électroniqueµ calculée.La figure IV.7 montre l'effet des mécanismes de diffusion de chaque processus surla mobilité électronique. La diffusion par les impuretés ionisées domine au-dessous de25 K, la diffusion par les phonons optiques domine à hautes températures (>70K) et lamobilité est générée par les deux mécanismes de diffusion dans le domaine de températureintermédiaire [4.7].10 11 T ( K )10 10optµ (cm 2 /Vs)10 910 810 710 6acouimppiez10 510 4exp10 310 100Figure IV.7: Variation de la mobilité électronique en fonction de la température. Lescercles fermés représentent les résultats expérimentaux. Les autres courbesreprésentent les contributions des quatre mécanismes de diffusion.90

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)La figure IV.8 montre qu’aux basses températures, notre mobilité calculée est à peuprès 10 fois plus grande que celle mesurée. Ce désaccord peut être expliqué par l’effet desimpuretés de type accepteur et la non parabolicité de la bande de conduction que nousn’avons pas pris en compte dans nos calculs. Cette différence est réduite à un facteur de 1,3pour des températures plus hautes [4.7].points expérimentauxmobilité calculéemobilité calculée avec terme additionnel10 6µ (cm 2 /Vs)10 510 410 100T ( K )Figure IV.8 : Mobilité calculée et mobilité expérimentale en fonction de la température.Dans le but d’améliorer l'accord entre la théorie et l’expérience, dans le régimeintrinsèque, nous avons ajouté un terme remplaçant les mécanismes de diffusion qu’on n’apas discuté dans ce chapitre tel que la diffusion de l'électron-trou et la diffusion parphonons transversaux optiques. Nous avons estimé un tel terme par une fonction d’essaie:µa=µ1exp(µ 2/T) [4.9] où-1 -1µ1= 15835 cm² V s et2µ = 239 K sont nos paramètresd’ajustement appropriés [4.7]. Ces valeurs ont été déterminées en minimisant la somme decarrés qui caractérisent la qualité d’ajustement. En tenant compte de ce terme additionnel,à l’aide de la règle de Matthiessen1 1= ∑µ µii, nous avons obtenus un bon accord pour destempératures plus hautes que 70 K comme il est montré sur la figure IV.8.91

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)V.G CONCLUSIONLa caractérisation de cet alliage semiconducteur de type n est résumée dans letableau IV.2. Nous constatons en particulier que le gaz d’électrons est dégénéré à T= 4.2 Kavec une haute mobilité de Hall µ H = 2 10 5 cm 2 /Vs et une concentration d’électrons den = 2,52 10 14 cm -3 et une faible conductivité de σ 0 =8,5 Ω/cm en accord avec la faible bandeinterdite mesurée E g =178 meV et théorique E g (x = 0.22, 300 K) = 183 meV. Quand latempérature augmente vers l’ambiante la mobilité des électrons décroît comme prévu par ladiffusion par les phonons tandis que la conductivité augmente.Tableau IV.2: Caractéristiques de l’alliage semi-conducteur Hg0,78Cd0,22Te de type n3T( K )( )n cm ( )− µ cm 2 / V ⋅ sHσ0 ( Ω cm −1)477280142,50 ⋅ 10200 000 8,50143,01 ⋅ 10140 000 6,86161,03 ⋅ 10≈10 000 17,82Ces résultats sont en accord avec le fait que pour une composition faible enCadmium (x=0,20) l’alliage Hg1-xCd xTe a des propriétés électroniques proches de cellesdu semimétal HgTe.92

Chapitre IV- Application à l’alliages Hg 1-x Cd x Te (x=0.22)Références[4.1] J. L. Schmit, J. Appl. Phys. 41, 2876, (1990)[4.2] J. Wenus, J. Rutkowski, A. Rogalski, IEEE trans. On electron devices, 48, 7, 1326-1332 (2001).[4.3] K. Seeger, Semiconductor physics, an introduction, chap 6 p.159-221, Springer,(2002).[4.4] R. Dornhaus, H. Happ, K.H. Müller, G. Nimtz, W. Schlabitz, P. Zaplinski, et G.Bauer, Proc. XIIthInt. Conf. Phys. Semicond., Stuttgart 1974, edité par M.H.Pilkuhn p.1157. Teubner, Stuttgart (1974).[4.5] M. A. Kinch, M. J Brau, A. Simmons, J. Appl. Phys.44, 1649 (1973).[4.6] P. Kiéev, Semiconductor physics, Chap. 3, Mir, Moscou, (1975).[4.7] A. EL Abidi, A. Nafidi, A. EL Kaaouachi, and H. Chaib, Electron transport innanosystems. NATO Science for peace and security Series-B: physics andbiophysics, p.383-394 Springer Science + B.V (2008).[4.8] R. Dornhaus, G. Nimtz, W. Schlabitz, H. burkhard, Solid State Commun, 17, 837(1975).[4.9] P. Moravec, R. Grill, J. Franc, R. Vaghova, P. Höschl and E. Belas, Semicond. Sci.Tecghnol, 16 7-134, (2001).93

Chapitre VApplication aux superréseaux HgTe/CdTeSOMMAIREV.A Introduction………………………………………………………………...…… 95V. B Résultats de calcul des spectres d’énergie……………………………………. 95V. C. Application au superréseau HgTe (56 Å)/ CdTe (30 Å) ……………………. 97V.C.1 Etude de la diffraction de Braag et analyse de la agnétorésistance…………… 97V.C.2 Conductivité, constante de Hall et mobilité de Hall…………………………… 98V.C.3 Analyse de l’effet thermoélectrique …………………………………………… 100V.C.4 Analyse de l’effet Shubnikov -de Haas ………………………………………... 101V.C.5 Calcul des niveaux de Landau …………………………………..……………... 102V. D. Application au superréseau HgTe (180 Å)/ CdTe (44 Å) …………………... 103V.D.1 Analyse de la magnétorésistance et de la résistance de Hall ………………….. 103V.D.2 Conductivité, constante de Hall, et mobilité de Hall …………………………. 104V. D.3 Variation de l’énergie de Fermi E F (T) pour un transport bidimensionnel (2D)et tridimensionnel (3D) ……………………………………………………….. 106V. E. Conclusion ……………………………………………………………………... 10794

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeV. A INTRODUCTIONDans ce chapitre nous allons présenter et discuter les résultats de mesures et decalculs et les interprétations qui en découlent. Il comprendra deux types d’échantillonsétudiés :• Un superréseau semi-conducteur HgTe (56 Å)/CdTe (30 Å).• Un superréseau semi-métallique HgTe(180 Å)/CdTe (44 Å).V .B RESULTATS DE CALCUL DES SPECTRES D’ ENERGIEE (meV)8060HgTe / CdTe180 Å / 44 ÅT = 4,2 KE 140E F20HH 1HH 2h 100,03 0,02 0,01 0,00k p(Å -1 )(b)0,005 0,010(a)K z(Å -1 )E (meV)300200100(d)h 1k z= 0k z= π /dHgTe / CdTe56 Å / 30 ÅT = 4, 2 K(c)E ΛFHH 10HH 2HH 1h 10,06 0,04 0,02 0,00 0,01 0,02 0,03k π /dp(Å -1 ) Γ k z(Å -1 )E 1FigureV.1: Calcul de bandes d’énergie dans la direction k z (a ;c) et en fonction dek p (k x ,k y ) (b ; d) du superréseau HgTe/CdTe à la température T = ,.2K, E Fest le niveau de Fermi.95

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeLes figures V. 1.a.c et V. 1.b.d montrent les courbes E(k z ) et E(k p ) respectivementsuivant k z et dans le plan dans le cas de nos deux échantillons de période d=d 1 +d 2 et derapport d 1 /d 2 différent.Les figures V. 1.a.b correspondent à l’échantillon (18 nm / 4,4nm). L’épaisseurd 1 =18 nm et le rapport d 1 /d 2 = 4.1 sont grands, ceci conduit à une faible bande interdite E g= 2,5 meV. Suivant k p , les bandes HH 1 et h 1 en dessous du niveau de Fermi sont pleines,soit une conduction de type p semimétallique assurée par les trous lourds et les trouslégers.Les figures V. 1.c.d correspondent à l’échantillon (5,6 nm/3 nm). L’épaisseurd 1 =5,6 nm et le rapport d 1 /d 2 = 1,87 sont faibles ceci conduit à une large bande interditeE g = 112 meV et un comportement semiconducteur. Suivant k p , la bande HH 1 en dessousdu niveau de Fermi est pleine soit une conduction semiconductrice de type p assurée parles trous lourds.60T= 4,2 K E 150Non paraboliqueE (meV)40HgTe / CdTe180 Å / 44 ÅparaboliqueHH 130Non parabolique200,0 0,5 1,0 1,5 2,0k z² x 10 -4 (Å -2 )h 1Figure V.2: L’énergie E en fonction de k z ² pour les bandes E 1 , HH 1 et h 1 à latempérature 4,2 KLe tracé des énergies E 1 , h 1 et HH 1 en fonction de k z ² est porté sur la figure V.2.Le cas parabolique donnerait des droites, ce qui est le cas pour la bande des trous lourdsHH 1 , alors que les bandes d’électrons E 1 et de trous légers h 1 (des particules légères) sontnon paraboliques.96

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeV. C. APPLICAION AU SUPERRESEAU HgTe (56 Å)/ CdTe (30 Å)V. C.1 Etude de la diffraction de Bragg et analyse de la magnétorésistanceDes séries de marches sont observés autour de la réflexion de Bragg (222),correspondant aux répliques oscillantes décrites par Arch [5.1] (Voir figureV.3). Ladifférence entre leurs résultats et les nôtres tient sans doute à la monochromacité et lapuissance de leurs sources synchrones utilisées. L’échantillon se présente comme unestructure modulée avec une haute qualité aux interfaces.Coups (a.u)HgTe/CdTe56 Å / 30 ÅReflection (222)2θ = 21.9°500 550 600CanauxFigure V.3: Profil de la diffraction des rayons X à température ambiante autour dela réflexion de Bragg (222) du superréseau HgTe/CdTe.La figure V.4 montre que la variation de la magnétorésistance ∆R disparaît quand lechamp magnétique est parallèle au plan du superréseau indiquant un comportementbidimensionnel (2D) [5.2].97

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTe3HgTe / CdTe56 Å / 30 ÅT = 4.2 K0°30°∆R (a.u)2150°70°90°00 2 4 6 8H(T)Figure V.4: Variation de la magnétorésistance transversale avec le champ magnétiquepour différentes valeurs de l’angle entre le champ magnétique et la normaleà la surface de superréseau HgTe/CdTe.V. C.2 Conductivité, constante de Hall et mobilité de Hallµ H(cm 2 / Vs)10 310 4 (b)HgTe / CdTe56 Å / 30 ÅI =4 µA; B=0.1 T(c)R H(cm 2 / C)10 6σ 0( Ω -1 )(a)10 -3 0 100 200 30010 3 / T ( K -1 )Figure V.5: Variation en fonction de l’inverse de la température de a) la conductivité b)la constante de Hall et c) la mobilité de Hall du superréseau HgTe/CdTe.La diminution de R H (1/T) à 40 K montrée sur la figure V.5.b peut être due àl'accouplement entre les puits de HgTe (petit d 1 /d 2 et d 2 ), à l'élargissement des sous bandes98

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTedes porteurs sous l'influence du champ magnétique et/ou au chevauchement impliquéesentre les sous - bandes de porteurs (HH 1 ) et (h 1 ) au point (k z ; k p ) = ( π/d; 0.023 Å -1 ) le longde E(k p ) sur la Figure V.1.d. Dans le régime intrinsèque, la mesure de la pente de la droiteR H T 3/2 donne la valeur de l’énergie de la bande interdite : E g = E 1 -HH 1 =190 meV ; enaccord avec la valeur calculée E g (Γ,300 K) = 178meV d’après la structure de bande dans laFigure V.1.c d.Aux basses températures, l'échantillon montre que c’est un semi conducteur de typep avec une concentration p =1.84x10 12 cm -2 et une mobilité de Hall µ p = 8200 cm 2 / Vs.Les trous lourds du superréseau dominent la conduction dans le plan (d’après la FigureV.1.d). La figure V.6, donne le rapport des masses des trous lourds et trous légers:m * HH1 = 2,434 m * h1.E (meV)403020m h= 0,122 m 0m H= 0,297 m 0h 1HH 110HgTe / CdTe56 Å / 30 ÅT = 4,2 K; k z=000,0 0,1 0,2 0,3 0,4k 2 p x 10-3 ( Å -2 ).Figure V.6: Détermination des masses effectives de l’électronm * HH1 et m * h1respectivement pour les trous lourds HH 1 et les sous bandes des trouslégers h 1 à 4.2K au centre Γ de la première zone de Brillouin dusuperréseau HgTe/CdTe.99

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeLes bandes HH 1 et h 1 sont paraboliques d’après la figureV.6. Ce qui nous permetd'estimer l'énergie de Fermi (2D) à :2 *EF-E HH= pπ ħ /m1 HH 1= 14 meV . Cette énergie estindiquée sur la figure V.1. (c .d).V.C.3 Analyse de l’effet thermoélectriqueLes mesures du coefficient thermoélectrique α ont indiqué une conductivité detype p (α >0) ce qui est en accord avec le résultat de l’effet Hall (voir figure V.5.b).L’encart de la figure V.7 montre qu’aux basses températures, α∼T 0.8 ce qui est enaccord avec la théorie où :π²k ²T3 eEBα = (s + 1) (Formule (C13) de l’annexe C) et le tempsFde collision est : τ ∼ E s - (1/2) .Ceci nous a permis d'estimer l'énergie de Fermi à E F = 12 meV (en accord avec lecalcul de |E F -E HH1 |=14 meV) [5.2] avec : s = 2,06 correspondant à la diffusion des trous parles impuretés ionisées. Il est pertinent ici de signaler que le maximum de α à T = 55,2 Kcorrespondent à la chute de la mobilité de Hall sur la "figure.V.5.c". Ici m * HH1 = 2,434m * h1. À T=190 K, une inversion de signe de α est attendu. Elle correspond exactement auminimum de la conductivité σ 0 sur la figure V.5.a. Dans le régime intrinsèqueα ∼T -3/2 montre une diffusion des trous par les phonons.10α (µV/K)2015105T 0.78 T -1.47α (µV/K)510 100T(K)HgTe / CdTe56 Å / 30 Å00 50 100 150 200T(K)Figure V.7: Coefficient thermoélectrique du superréseau HgTe/CdTe enfonction de la température.100

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeV.C.4 Analyse de l’effet Shubnikov- de Haas (SDH)Une concentration p=1,84x10 12 cm -2 et une mobilité de Hall relativement élevée del'échantillon aux basses températures, nous ont permis d'observer l’effet SDH jusqu’à 18Tesla. Les résultats sont représentés sur la figure V.8.3HgTe / CdTe56 Å / 30 ÅT = 4,2 Kp=1,84 10 12 cm -2∆ R (a.u)21B m-1(T-1)0,20,100,00 1 2 3 4 5 6 7 8 95 10 15B (T)NFigure V.8: Variation de la magnétorésistance transversale pour le champ magnétiquefort appliqué au superréseau HgTe/CdTe.A partir de l’équation (2.62) nous déduisons l’expression de p (2D) en fonction de⎛ 1 ⎞la période d’oscillation : p = e /π ħ ∆ ⎜ ⎟⎝ B ⎠Tenant compte du mécanisme de l’effet SDH expliqué dans le chapitre II, Lesminima de la magnétorésistance correspondent aux valeurs du champ magnétique B m quivérifient la relation : E F = E N ( E N est l’énergie du niveau de Landau).C’est à dire :1 ħeBEF= (N+ )2 m*En tenant compte de l’expression (2.60) on obtient :mm1 1 ⎛ 1 ⎞=∆( ) ⎜ N+ ⎟B B ⎝ 2 ⎠-1Ceci montre que la pente de la droite représentant les valeurs des minima de B m enfonction d’une série d’entier consécutifs N (indices correspondant aux niveaux de Landau)n’est que la période des oscillations de la magnétorésistance (2D).101

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeEn encart dans la figure V.8, la mesure de la pente donne une valeur de périoded’oscillation égale à : 0,027 T -1 , d’où : p = 1,80x10 12 cm -2 qui est en bon accord avec cellede l’effet Hall à champ faible [5.2]Ici nous avons déduit la masse effective du gaz des trous lourds dégénéré àħ²πpm* = = 0.308 m0, qui est en accord avecEFfigure.V.6.V.C.5 Calcul des niveaux de Landau :m*HH= 0,297 m10calculée à partir de la50Λ0-50h 1HH 1HH 2N = 2N = 2N =1N = 0E(meV)E FN = 0N = 0HgTe / CdTe56 Å / 30 ÅT = 4.2 KN = 2N =1N =10 5 10 15 20B(T)Figure V.9: Calcul du niveau de Landau en fonction du champ magnétique appliquéà HgTe/CdTe à 4,2K. E F est l’énergie du niveau de Fermi.A partir de l’équation (2.56) on déduit les expressions des énergie des niveaux deLandau (N.L) pour les trous légers h 1 et les trous lourds HH 1 et HH 2 .Le calcul de l’énergie des niveaux de Landau s’est effectué en transposant la règleeBde quantification du vecteur d’onde en : k ² = (2N+1) (où N désigne l’ordre quantiqueħp102

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTedes niveaux de Landau) dans la relation de dispersion (2.69 ; 2.70 et 2.71) suivant k p pourles trous légers et les trous lourds.Nous avons calculé les niveaux de Landau en fonction du champ magnétique pourles valeurs N=0,1 et 2 comme le montre la figure V.9.Les intersections de E F avec les NL sur la Figure V.9 indiquent les mêmespositions du champ magnétique que celles des minimums observées dans les oscillationsShubnikov-de Haas sur la Figure V. 8.V. D. APPLICAION AU SUPERRESEAU HgTe (180 Å)/ CdTe (44 Å)V. D.1 Analyse de la magnétorésistance et de la résistance de Hall∆ρ/ρ o1.2 0°1.1T = 4,2 K30°40°50°60°70°80°90°1.00 2 4 6 8H(Tesla)Figure V.10: Variation de la magnétorésistance transversale de l’échantillon en fonctiondu champ magnétique pour différentes valeurs de l’angle entre le champmagnétique et la normale à la surface du superréseau HgTe/CdTe à 4,2K.La magnétorésistance transversale ∆ρ/ρ 0 (Figure V.10) suit une dépendancebidimensionnel (2D) avec un début d’apparition des oscillations de Shubnikov-de Haasdont les extrema sont indiqués par les droites en pointillé sur la figure V.10. Cependant,dans la totalité de la gamme du champ magnétique investie la magnétorésistancetransversale ne s’annule pas quand le champ est parallèle au plan du superréseau (θ = 90°) .Ceci peut être dû à l’inter- diffusion aux interfaces entre les couches HgTe et CdTe(d 1 /d 2 = 4,01 et d 2 = 44 Å) et/ ou à l’élargissement des sous-bandes de Landau sousl'influence du champ magnétique suivant E(k p ). Alors que la tension de Hall V H (H) sur lafigure V.11 s'annule pour cette configuration !.103

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeV H(mV )2 T = 4,2 KI = 50 µ A10°30°40°50°60°70°80°090°0 2 4 6 8H(Tesla)Figure V.11: Variation de la tension de Hall avec le champ magnétique pour différentesvaleurs de l’angle entre le champ magnétique et la normale à la surface desuperréseau HgTe/CdTe à 4,2K.V. D.2 Conductivité, constante de Hall et mobilité de HallA basse température, l’échantillon présente une conductivité de type p avec unemobilité de trous µ t ≈ 900cm²/V.s sur la figure V.12. Une inversion du signe de la constantede Hall R H à champ faible est observée à 25K sur la figure V.12.a.Cela peut être attribué au piégeage des porteurs de charges dans l’état résonnantintrinsèque E 1 =34meV (figure II.15.c) et à la grande mobilité des électrons devant celle destrous (b = µe/µ t= 39) . Un tel renversement de signe du R H peut être inféré à l'existenced'au moins deux types de porteurs. Ce qui suggère un caractère semi-métallique aumécanisme de conduction.La constante de Hall à champ faible s’écrit d’après la formule (2.26)1 p-nb² µe(R ) = avec b = (5.1)e p+nb ² µHw( )Aux basses températures dans le régime de saturation, où la conductivité est du type1p, l’équation (5.1) entraîne que : (RH)sat= (5.2)e pt104

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeµ H(cm 2 /V.S)10 410 3HgTe/CdTe180 Å / 44 Å(c)(b)0,1σ 0(Ω −1 )|R H| (cm²/C)10 6 (-)(+)10 5-(a)10 40 100 200 30010 3 / T (K -1 )0,01Figure V.12: Variation de la constante de Hall (a )et la conductivité du superréseauHgTe/CdTe (b), en fonction de l’inverse de la température.Près du régime intrinsèque, le maximum de la constante de Hall est donné par :2(b-1)(R ) = (5.3)e 4bpHmaxCeci conduit au rapport:Ainsi µe= 32µtL’équation (5.1) implique pour R H =0 :Soit une mobilité d’électrons de24(RH)max(b-1)= ≈ b=32 ≫ 1 (5.4)(R ) bHsat2 pb = 1024 = n(5.5)4µe32 µt3.10 cm² / .≃ ≃ V s et une faibleconcentration d’électron. Une telle faible valeur de la mobilité des électrons peut être reliéed'une part à la masse effective de l’électron dans le superréseau qui est beaucoup plus105

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeélevée que dans HgTe [5.3] et, d’autre part, à différents types d'imperfections dansl’échantillon.V. D.3 Variation avec la température de l’énergie de Fermi E F pour untransport bidimensionnel (2D) et tridimensionnel (3D)8070HgTe/CdTe180 Å / 44 ÅE 1706060E( Γ ) (meV)50403080 0 40 80 120 160 200 240 280 10E F(3D)E F(2D)HH 1h 150403020HH 220HH 3100 40 80 120 160 200 240 280T (K)Figure V.13: Variation de l’énergie de Fermi E F pour un transport bidimensionnel (2D) ettridimensionnel (3D) en fonction de la température dans le superréseauHgTe/CdTe (180 Å / 44 Å).L’équation (2.56) s’écrit au niveau de Fermi :On extrait l’énergie du niveau de Fermi :2 P² 2ħ ²k F= E (E E )F F−g(5.6)32Eg ⎛ Eg ⎞ 2 2EF= ± ⎜ ⎟ + P² ħ ²kF(5.7)2 ⎝ 2 ⎠ 3Les vecteurs d’onde de Fermi sont : k ( ) 1/2F= 2πp et k = ( 3π²p ) 1/3F, respectivementpour un gaz de trous bidimensionnel (2D) et tridimensionnel (3D). Nous avons choisi lesigne (-) dans l’expression (5.7) car l’échantillon est de type p à basse température. Lafigure V.13 montre que l’énergie de la bande interdite E g =E 1 -HH 1 et l’énergie de Fermi(3D) augmentent avec la température alors que l’énergie de Fermi (2D) et l’énergie106

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeHH 1 des trous lourds reste constantes. Dans tout les cas, la conductivité est assumée par lestrous légers et lourds. Notre échantillon présente une conduction semi métallique et quasibidimensionnelleentre 3D et 2D ce qui est en accord avec les prédictions théoriques de lafigure II.15.c où d 1 /d 2 (grand) éloigne le superréseau d’un comportement bidimensionnel.Pour notre d 2 = 44 Å grand le superréseau est un ensemble de puits quantiques de HgTeisolés et accuse ainsi un caractère semimétallique comme celui de HgTe massif.V. E CONCLUSIONE g(Γ) (meV)150(a)HgTe / CdTe56 Å / 30 Åλ111098λ (µ m)71000 100 200 300T (K)403530HgTe / CdTe180 Å / 44 Å500400E g(Γ) (meV)252015105(b)λ300200100λ (µ m)00 100 200 300T (K)0Figure V.14: L’énergie de la bande interdite E g et la longueur d’onde de détection λ c aucentre de la première zone de Brillouin en fonction de la température des superréseauxHgTe/CdTe (56 Å / 30 Å et 180 Å / 44 Å)107

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeLe formalisme utilisé au chapitre II prévoit que le système (56 Å /30 Å) est unsemi-conducteur pour le rapport d 1 /d 2 = 1.87 lorsque d 2

Chapitre V- Application aux superréseaux HgTe/CdTeRéférences[5.1] D. K. Arch, J. Vac. Sci. Technol. A4, 2101 (1986).[5.2] A. El abidi, et al, the proceedings of the 27 th International Conference on Physics ofSemiconductors (ICPS27), AIP Conference Proceedings 772, New York: AmericanInstitute of Physics, 1001-1002, (2005).[5.3] D. L.Smith, T. C. McGill et j. N. Shulman, Appl.phys, Lett 43 (1980); J de physique45 Suppl, 509. (1984).[5.4] M. H. Weiler, Semiconductors and Semimetals, édité par R. K. Willardson and A. C.Beer ,Academic, New York,6, 119, (1981).[5. 5] A. El Abidi, A. Nafidi, H. Chaib, A. El Kaaouachi, A. Toumanari; M. Braigue; I.Zorkani, J. Hemine, et M. Zazoui, Paper Number 70550C, , DOI:10.1117/12.803320, 26 August (2008).[5. 6] A. El Abidi, A. Nafidi, H. Chaib, A. El Kaaouachi, A. Toumanari, M. Braigue, I.Zorkani, J. Hemine, et M. Zazoui, Présentation orale, Infrared Detectors and FocalPlane Arrays IX conference a part of SPIE Symposium on Photonic Devices +Applications, San Diego, CA.: 7055A-18, 10-14 August (2008).109

CONCLUSIONS ET PERSPECTIVESNous avons rapporté dans ce mémoire de thèse les propriétés du transport et desrésultats théoriques de la modélisation de la mobilité des porteurs de charges dans Hg 1-x Cd x Te(x =0,22). La conductivité et l’Effet de Hall ont été mesurés dans la gamme de température4,2 - 300 K. Nos mesures indiquent que l'échantillon est un semi-conducteur de type n. Dansle régime intrinsèque, la tangente de la courbe R H T 3/2 indique une bande interdite de E g =178meV qui est en bon accord avec E g (x = 0,22, 300 K) = 183 meV théorique.Nous avons montré que le gaz d’électrons est dégénéré à T= 4,2 K avec une hautemobilité de Hall µ H =2.10 5 cm 2 /Vs, une concentration d’électrons de n=2,52 10 14 cm -3 et unefaible conductivité de σ 0 =8,5 Ω/cm en accord avec la faible bande interdite mesurée. Quand latempérature augmente vers l’ambiante, la mobilité des électrons décroît comme prévu par ladiffusion par les phonons par contre la conductivité augmente. Ces résultats sont en accordavec le fait que pour une composition faible en Cadmium (x=0,20) l’alliage Hg1-xCd xTe a despropriétés électroniques proches de celles du semimétal HgTe.Nos calculs théoriques, basés sur le modèle de Kane, montrent que pour4.2 K≤T≤76 K, E F est aux alentours de la bande de conduction de quelques k B T : le gazd’électrons est dégénéré. Ailleurs, E F s’éloigne de E c et le gaz d’électrons est non dégénéré.E d augmente linéairement avec T et passe en dessous de E c à T= 30 K. A T=4,2 K, lesdonneurs commencent à s’ioniser et E F = 98 meV augmente jusqu'à 100 meV à T=30 K. Pour30 K ≤ T ≤130 K, E F = 100 meV = constante: tous les donneurs sont ionisés. Après E Faugmente jusqu'à 150 meV à l’ambiante, ceci est dû au passage des électrons de la bande devalence au niveau de Fermi. A T=4,2 K, nos calculs montrent que E d -E c =2.8 meV et E d -E F =1meV ≈ 0,67 meV déduite de nos mesures d’effet Hall. (càd E d > E F > E c ). Un état résonnant de6 meV au-dessus de la bande de conduction à 4.2K a été observé dans des mesures de l’effetShubnikov de Hass dans Hg 0,8 Cd 0,2 Te [4.8]. Ce résultat est en accord avec notreE d -E c =2,8 meV dans Hg 0,8 Cd 0,22 Te dégénéré à cette température.Nos calculs théoriques de la mobilité montrent que la diffusion par impuretés ioniséesdomine au-dessous de 25 K, la diffusion par phonons optique domine à hautes températures110

Conclusions et perspectives(>70K) et la mobilité est générée par les deux mécanismes de diffusion dans le domaine detempérature intermédiaire. À hautes températures, un excellent accord entre la mobilitéexpérimentale et la mobilité calculée est obtenu en introduisant une fonction d’essaie. Lalongueur d’onde de détection correspondante est de : λ = 6,89 µm . L’échantillon est donc undétecteur d’infrarouge moyen (MIR) à la température ambiante. Et pour le domaine detempératures investis, 6,9µ m ≤ λ ≤ 13,3µm , c’est un détecteur d’infrarouge lointain (LWIR).cNous avons vu que les courants de diffusion des zones p du détecteur et le couranttunnel bande à bande sont très faibles dans le superréseau HgTe/CdTe. Donc ce dernier estune alternative à l’alliage ternaire Hg 1-x Cd x Te. Nos calculs ont montré que sa bande interditeest ajustable par la variation de la période cristalline d=d 1 +d 2 , selon l’axe de croissance z, etqui est bien contrôlée grâce à la croissance par épitaxie par jet moléculaire à bassetempérature du substrat.Nos deux échantillons de superréseau fabriqués par épitaxie par jet moléculaire sur unsubstrat CdTe (111) à 180 °C, ont une période d=d 1 +d 2 (90 couches) de HgTe(d 1 =5,6 nm) /CdTe(d 2 =3 nm) et (100 couches) de HgTe(d 1 =18 nm) / CdTe (d 2 =4,4 nm). Nos calculs desspectres d’énergie E(d 2 ), E(k z ) et E(k p ), respectivement, suivant la direction de croissance etdans les plans du superréseau; ont été performés dans le formalisme de la fonction enveloppe.L’énergie E en fonction de d 2 , à 4,2 K, au centre Γ de la première zone de Brillouin amontré que pour un d 1 /d 2 donné, quand d 2 augmente la bande interdite E g décroît vers latransition de conductivité semiconducteur-semimétal et devient négative en accusant uneconductivité semi métallique. Prés de la transition, la bande interdite est faible et la mobilitédes porteurs de charge est grande. Pour un d 2 faible l’échantillon est un semiconducteur avecun grand couplage entre les puits quantiques HgTe justifié par une grande largeur des bandes.Quand d 2 augmente, les états E 1 et h 1 tombent dans la barrière d’énergie [0, Λ] et deviennentun état d’interface d’énergie E I =34 meV pour d 2 infinie, alors le superréseau devient unensemble de puits quantiques HgTe isolés et accuse une conduction semi métallique. Lerapport d 1 /d 2 gouverne la largeur des sousbandes d’énergie du superréseau (c’est à dire lamasse effective des porteurs de charges). Un grand d 1 /d 2 déplace le matériau plus loin d’uncomportement bidimensionnel (2D).Dans le superréseau 5,6nm/3nm, la diffraction des rayons X, la conductivité, l’effetHall, l’effet Seebeck, l’effet Subnikov-de Haas et la dépendance angulaire de lamagnétorésistance transversale ont été mesurés. Le profile de la réflexion (222) de Bragg111

Conclusions et perspectivesindique une structure modulée abrupte aux interfaces. A 4,2 K l’échantillon montre uneconductivité de type p avec une mobilité de Hall de 8200 cm 2 /Vs. Celle-ci nous a permisd’observer l’effet Shubnikov-de Haas avec une concentration de trous p = 1,80 10 12 cm -2 . Enutilisant la masse effective (m* HH = 0,297 m 0 ), calculé théoriquement, du gaz de trous lourdsdegenerée, l’énergie de Fermi (2D) calculée était E F =14 meV. Elle est en accord avec 12meV déduite du pouvoir thermoélectrique α (effet Seebeck). Dans le régime intrinsèque, α∼T -3/2 et R H T 3/2 indique une bande interdite E g =E 1 -HH 1 = 190 meV en accord avec cellecalculée, à partir de la structure des bandes d’énergie, E g (Γ, 300 K) =178 meV. Le formalismeutilisé ici prédit que le system est semiconducteur pour notre d 1 /d 2 = 1,87 et d 2 < 140 Å. Icinous avons d 2 =30 Å et E g (Γ,4.2 K) = 111 meV alors cet échantillon est un semiconducteurbidimensionnel, de structure modulée et nanostructurée et c’est un détecteur d’infrarougemoyen (7µm

Conclusions et perspectivesParmi nos perspectives, nous sommes entrain de modéliser la mobilité d’unéchantillon Hg 1-x Cd x Te (x=0,204) de type p et celles de plusieurs superréseaux. Nouscalculerons les structures des bandes d’énergie d’autres échantillons II-VI (HgTe/CdTe ) etIII-V (AlGaAs/GaAs). Des mesures récentes sur d’autres échantillons nous ont révélé dehautes mobilités dues à la haute qualité cristalline des interfaces entre les deux matériaux et lapureté des échantillons.Mots clés : Composés semiconducteurs II-VI, formalisme de la fonction enveloppe,magnétorésistance, conductivité, diffraction des rayons X, Effet Hall, Effet Seebeck, EffetSubnikov-de Hass, semiconducteur bidimentionnel nanostructurés à bande interdite étroitesuperréseau HgTe/CdTe.Keywords: Group II-VI and compounds, theoretical band structure methods, envelopefunction formalism, magnetoresistance, conductivity. X-ray diffraction; Hall Effect, Seebeck effect,Shubnikov-de Haas effect, narrow gap and two-dimensional nanosemiconductor, superlatticesHgTe/CdTe.113

ANNEXES114

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Annexe (A) :Résolution de l’équation de Boltzmann dans l’approximation du temps derelaxation et tenseurs de conductivité et résistivitéOn écrit l’équation de Boltzmann dans l’approximation du temps de relaxation : 1 f - f0v. g ra d rf + F. g ra dkf = − ħτ (k )(A.1)Dans les hypothèses suivantes : Régime stationnaire : ∂ f = 0 . t Bande sphérique et parabolique : m ∗ = constante . Le champ électrique ε faible : ε = εxex Le champ magnétique B = Bz ezd’amplitude arbitraire.Pour un électron (q=-e) ou un trou (q=+e), sous champ magnétique B et électrique ε :F = q( ε + v ∧ B )Avec l’hypothèse f ≈ f 0 nous avons seulement un gradient de température:gradrf ≈ gradrf0∂ f0≈ grad∂ TrTSoit1 1f0= =E - EFxKBTe +1e +1avec :E-EFx = k TBOr⎛ dEF⎞ T- EF0 0x01 ⎜ E ⎟01F F∂f ∂f ∂ ∂f dT ∂f ⎛ E -E dE ⎞= = ⎜ − − ⎟ = ⎜ − ⎟∂T ∂x ∂T ∂x KBT² T² ∂x KBT ⎝ T dT ⎠⎜⎟⎝⎠E − E d EFPosons : D = F + l’équation (A.2) s’écrit :T dT∂f∂f0 0 1=∂E∂xK TB∂f∂T∂f∂E0 0⇒ = −DLe premier terme de l’équation de Boltzmann s’écrit : ∂f0v.grad rf = - v D grad rT∂E∂f∂f0 0 D= −∂T∂ x K TB(A.2)(A.3)115

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)En présence d’un champ électrique E 0seulement : f = f + f =f + τe( v.ε )Par analogie on peut trouver une solution de même forme : f = f + f = f + (v.G)0 1 00 1 0En général, G est un vecteur inconnu.1 1 1 grad f = grad f k k 0+ grad ( v.G )kħ ħ ħ1 ∂f01 = grad E + ∇ ( v.G )kkħ ∂Eħ1 ∂f0 1 d’où : grad f = v + ∇ ( v.G )kkħ∂EħLe 2 ème terme de l’équation de Boltzmann s’écrit : ∂f∂E(A.4)(A.5)1 ⎡∂f0 1 ⎤F.gradkf = q(ε + vΛ B ) . v + ∇ k ( v.G )ħ⎢ E⎥⎣ ∂ ħ⎦1 ⎡ ∂f0 1 ⎤ ⎡ ∂f0 1 ⎤F.gradkf = ⎢qε v + qε ∇ k ( v.G ) + q(vΛ B ) v + q(vΛB) ∇ k ( v.G )∂E⎥ ⎢ ∂E⎥ (A.6)ħ ⎣ ħ ⎦ ⎣ ħ ⎦Pour un champ électrique E faible 2ε.G ≈ ε ≈ 0 1 ∂fqε ∇ 0k ( v.G ) ∼ E² ∼ 0 et q(vΛ B ) v = 0ħ∂EL’équation (A.6) s’écrit :1 ∂f q ħ∂Eħ On montre que : gradk(v.G ) = v.gradk(G) + G.gradk(v)0F.gradkf = qε v + (vΛB)grad (v.G )k et tenant compte du fait que : (vΛ B).v = 0D’où:q q q (vΛ B)grad (v.G ) = (vΛ B)k( v.gradk(G) + G.gradk(v)) = (vΛB) ( G.gradk(v))(A.7)ħ ħ ħ Dans l’approximation de bande sphérique parabolique telle que : m * v = ħ k²E ²grad ∂k(v) = ∇ ( v ) = ∇ ( ∇ (E)) = =ħk k k∂k² m*L’équation (A.7) s’écrit donc comme suit:1 ∂fF. f qεv 0 ħgradq(v B).Gk= + ∧*ħ∂Em D’après les propriétés du produit mixte : (v ∧ B).G = v (B ∧ G)(A.8)116

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Le 2 ème terme de l’équation de Boltzmann s’écrit finalement :1 ∂0( ) f ħF. grad f = q ε.v + qv (B ∧ G)ħ∂Emk *Le troisième terme de l’équation de Boltzmann s’écrit : f - f0 f1v.G- = - = -τ τ τ(A.9)(A.10)En portant les expressions (A.3), (A.9) et (A.10) dans l’équation de Boltzmann ; on obtient : ∂f0 ∂f0q v.G- v.D gradrT + qv.ε + v.(BΛG ) = -(A.11)*∂E ∂E m τD’où : ∂f0 qτ ∂f0v.[G + τ q ε + (BΛG ) - D τ grad *rT]=0(A.12)∂E m ∂E ∂f0Posant : G = ( τ D grad T − q τ ε ) (cas B = 0 ) (A.13)0 ∂Er qτ D’où : G + ( B Λ G) = G ( B = (0,0, B); B G ( BG , BG ,0)mΛ = − − )*0y xD’où :⎧⎪G⎪⎪⎨G⎪⎪G⎪⎩xyzqB− τ Gm*qB+ τ Gm*= G0zyx= G= G0x0y(A.14)qBEn tenant compte de la pulsation cyclotron ω c= m *(A.14) peut s’écrire comme suit :⎧G − τω G = G⎪⎨G + τω G = G⎪⎩Gz= G0zx c y 0xy c x 0y(A.15) est un ensemble d’équations linéaires qu’on peut écrire sous forme tensorielle:C’est à dire : Gi= ∑jgijG0 j(A.15)117

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Ĝ = ĝ Ĝ Avec :0⎛⎜ 1⎜1+ ω2τc⎜⎜ − ω τcĝ = ⎜⎜1+ ω2τc⎜⎜0⎜⎝Tenseurs de conductivité et de résistivité22ω1+ ωτ11+ ω2τLe vecteur densité de courant est définit comme suit : 2q 2q 2q J = v f dk = v3 3 ( f0+ v.G)dk = v (v.G) dk3(2π)∫(2π)∫(2π)∫ (Car à l’équilibre la densité de courant est nulle : v f0dk = 0 ).Si grad rT = 0 G s’écrit :0G ∂f0= −qτ εE0 ∂∫0c2ccτ22⎞0⎟⎟⎟⎟0 ⎟⎟⎟1 ⎟⎟⎠(A.16) f ε ε ω τ ε ω τ εv.G = v.gG ˆ = ( −q τ ∂ )[v ( + ) + v (- + ) +v ε ]0 xy c x cy0 x 2 2 2 2 y 2 2 2 z z∂E 1+ ωcτ 1+ ωcτ 1+ ωcτ 1+ ωcτEn remplaçant l’expression (A.18) dans (A.17) nous obtenons : 2q 2q 2q 2q J = v (v.G) dk= v3 3 x(v.G) dk+ v3 y(v.G) dk+ v3 z(v.G) dk(2π)∫(2π)∫(2π)∫(2π)∫(A.17)(A.18)(A.19) D’où : J = Jx+Jy+Jzavec : 2q J = v ( v.G) dkx3(2π) ∫x 2qJ = v (v.G) dk(2π) ∫ 2qet Jz= v3 z(v.G) dk(2π) ∫ ,y 3 yPour une bande sphérique ou isotrope :quelconque), et Pour i ≠ j en moyen on a : vivjJ =x2q3(2π) ∫ v (v.G) dkx∫1δ2viv jf dk = v f dk3 ij∫f∫dk=0 . On trouve :0 xy c x cyx 3 x x 2 2 2 2 y2 2 2(2π) ∂E 1+ ωcτ 1+ ωcτ 1+ ωcτ 1+ ωcτ(A.20)(avec f une fonction2qf ε ε ω τ ε ω τ εJ v ( q τ ∂= − )[v ( + ) + v (- + )dk∫Et en utilisant le fait que :dk=4πk²dketm*dk = dE , on obtient :h²k(A.21)∞1∂f0X(E)= ( ) X(E) k 3dE3 2 ∫ −et que pour une bande sphérique :π ∂E0q ε22 2q εxτy ωcτx * 2 2 * 2 2m 1+ωcτ m 1+ ωcτJ = +(A.22)118

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)De la même façon on montre que :22q εxωcτy τy * 2 2 * 2 2m 1+ ωcτ m 1+ ωcτJ =- +qε(A.23)et :2q εzJz= τ*mSous forme tensorielle on écrit J comme : Ji= ∑ σij εj; c'est-à-dire : J = σ ˆ εj(A.24)ˆσ c’est le tenseur de la conductivité :⎛ Jx ⎞ ⎛ σxx σxy 0⎞⎛ εx⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟J = σ σ 0 εy yx yy ⎟⎜ y⎜ J ⎟ ⎜z0 0 1⎟⎜ ε ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ z ⎠⎧⎪σ⎪⎪⎪Avec : ⎨σ⎪⎪⎪σ⎪⎩xxxyzz= σ= −σq=myy2*q=myxτ2*q=m2*= σ0τ1+ ωω2cτ1+ ωτ22c2 τ2c(A.25)Ou en tenant compte de l’expression de σ0:⎧⎪⎪ σxx= σyy= σ0.⎪⎪⎪⎨⎪σxy= − σyx= σ⎪0⎪⎪σzz= σ0⎪⎩τ1+ω ττ2 2c2ωcτ1+ω ττ2 2cA partir de ce résultat on peut déterminer le tenseur de résistivité ρˆ telle que :⎧⎪ρ⎪⎪⎪⎨ρ⎪⎪⎪ρ⎪⎩xxxyzz= ρyy= − ρ1=σzz=σyxσ2xx= −σxx+ σ 2xyσ2xxxy+ σ2xyε = ρˆ J(A.27)(A.26)119

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Annexe B :Effet Hall et formulation générale de la constante de HallConsidérons les expressions (A.25) de J x et J y : A l’équilibre on a : Jy= 0⎧⎪ J = σ ε + σ ε⎨⎪⎩ J = - σ ε + σ εx xx x xy yy xy x xx yD’où :σxxJy= 0 ⇒ - σ xyε x+ σ xxε y= 0 ⇒ εx= εy(B.1)σxyEn remplaçant l’expression (B.1) dans l’expression de J x on obtient :J = σσε + σ ε⎛= σσ+ σ⎞εσ²=+ σ²ε⎝⎠xxxxxx xyx xx y xy y xx xy y yσ ⎜xyσ ⎟xyσxy(B.2)La constante de Hall est:RHεy= ⇔J Bx1σxyRH= (B.3)B σ²xx + σ²xyEn remplaçant les expressions (A.26) des conductivités σxxet σxydans l’expression (B.3) :1σxyRH= ⇔B σ²xx + σ²xy2ωcτ2 21+ωcτσ01τR = B1 1H 2 22τωcτ2 2 2 2+ ωcτ+ ωcτσ0². + σ0²τ ² τ ²120

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)qBAvec ω c= m *: la pulsation cyclotron et2qσ0=*mτOn peut envisager deux cas :ω τ1 1+2c2 2ωcττH 2 2σ20⎛ τ ωcτ+2 2 2 2⎜ + ωcτ+ ωcτR = B.1 1⎝⎞⎟⎠(B.4)• Le cas d’un seul type de porteur (électron ou trou) Dans le cas d’un champ magnétique faible (( ω τ 1)c≪ :ω τ2cτ2 221 1+ ωcτ1 ωcτH≃2 2220⎛ τ ω 0cτ⎞+2 2 2 2⎜ 1+ ωcτ 1+ ωcτ⎟R = B.σ B.σ τ⎝⎠τD’où :R2τ 11≃ (B.5)q τ 1H 2On définit le facteur de diffusion comme :r =H1 τ²τ ²(B.6)La constante de Hall s’écrit en fonction de r H comme suit :rHRH= q 1(B.7)Or :1 ∂f 0 31 ( ) k (E)dE = n=3π²∫ − (n est la densité des électrons)∂ EPour les électrons on écrit :rHRH=- Avec n.e1 ≤ rH≤ 2(B.8)pLe facteur rHdépend du mécanisme de diffusion. Dans le cas où : τ = τ0E , pour un semi-p τ0p pconducteur non dégénéré, on a : τ =τ0E = x = τp 0'x( τ 0et τ0' étant des constantes).K T( )B121

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)On montre que : τ = ( τ ')∞(s.p)+1/2 -xs 2 s ∫ x e dx00 ∞3K 1/2 -xBT x e dx0∫(B.9)En fonction de la fonction d’Euler (∞n -xΓ(n+1) = x e dx∫ ) : et en tenant en compte que :0⎛ 3 ⎞ 2 ⎛ 5 ⎞Γ ⎜ ⎟ = Γ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 2 ⎠D’où :2τ = τ0'KBT⎛ 3 ⎞Γ sps 1⎜ + ⎟2on a : τ = ( τ0'⎝ ⎠)sK 5BT⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠⎛ 3 ⎞Γ 2p1⎜ + ⎟( ) 2 ⎝ 2 ⎠⎛ 5 ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠⎛ 3 ⎞Γ p1⎜ + ⎟⎝ 2 ⎠0etK 5BT⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠; τ = ( τ ')En remplaçant ces trois dernières expressions dans (B.6) on aura :⎛ 5 ⎞Γ ⎜ +2p⎟⎝ 2 ⎠⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 5 ⎞Γ⎜ ⎟ Γ ⎜ +2p⎟ Γ⎜ ⎟2 2 2rH=⎝ ⎠=⎝ ⎠ ⎝ ⎠2 2⎡ ⎛ 5 ⎞ ⎤ ⎡ ⎛ 5 ⎞⎤⎢ Γ ⎜ +p⎟ Γ +p2⎥ ⎢ ⎜ ⎟2⎥⎢⎝ ⎠⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦⎢ ⎛ 5 ⎞Γ ⎥⎢ ⎜ ⎟⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎥⎦(B.10)⎛ 3 ⎞1Γ⎜ ⎟21 =⎝ ⎠K 5BT⎛ ⎞Γ ⎜ ⎟⎝ 2 ⎠Dans le tableau ci-dessous on trouvera les valeurs de r H pour différentes valeurs de p :(B.11)p 0 1/2 1 3/2 -1/2 -1 2r 1 45πH=1,131287 1,405 = 315π =1,935123π =1,18827π =5,3016992,8335 = Dans le cas d’un champ magnétique fort (( ω τ 1)c≫ :2ωcτ 1ττ2 21 c 1 c 1 cH 2 2 2220⎛ τ ω 0 0cτ⎞ ⎛ 1 ⎞+2 2 2 2⎜ 1+ ωcτ 1+ ωcτ ⎟ ⎜ ω ⎟c1+ ω τ ω ω 1 τR = ≃ ≃ (B.12)B.σ B.σ B.σ 1⎝ ⎠ ⎝ ⎠or : τ = 1 =n , cela entraîne :Pour les électrons (q=-e) on aura:Rω 1cH≃ ≃ (B.13)B.σ0q τ122

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)1RH=- n.e(B.14)• Le cas de deux types de porteursLes éléments du tenseur de conductivité totale sous champ magnétique s’écrivent :e h⎧σ xx=σyy= σxx+σxx⎪ e h⎨σ xy= σxy+σxy = −σyx⎪⎪⎩ σ = σ = σ +σ = neµ + peµe hzz 0 0 0 e h(B.15)La constante de Hall s’écrit :σ + σR = (B.16)B σ +σ + σ +σe h1xy xyH 2 2e h e h( xx xx ) ( xy xy )Dans le cas d’un champ magnétique faible ( ω τ ≪ 1 ):c⎧τ⎪⎪ 1+ ω τσ = σ . σ⎪τe⎨⎪ω τ⎪⎪σ = σ . σ⎪⎩τe2 2e e c e exx 0≃02c2 21+ ωe e cτe exy 0≃0e h e hDans le dénominateur de l’expression (B.13) : ( σxx+σxx ) ( σxy+σxy)D’où :ω τcτ2 22ee(B.17)≪ car ωcτ ≪ 1Rω τ ω τω τω τσ + σ σ σ1 τ τ 1 τ τ≃ ≃+Be 2 h 2 e 2h 2e ce h che ce h c0 0 0 0e h e hH 2 2 2e h e h e h( σ0+σ ) B0 ( σ0+σ0 ) ( σ0+σ0)h2 21 ⎛ ττ ⎞e e e h h hRH≃ ⎜σ0 ωc + σ0 ω ⎟cAvec σ = σ +σ = neµ + peµBσ ⎜0τ τ ⎟⎝e h ⎠Or :Etq.Bωc= ⇒ m*e.Bω =- et mec *ehc *he h0 0 0 e h(B.18)e.Bω = (B.19)m123

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)e τ e τµ= ⇒ µ = eetm 1 m 1*e *ee τhµ = (B.20)m 1h *hTenant compte de (B.19) et (B.20) on montre que :22e ⎛ 1 τ1 τ ⎞2 h h 2 e eRH≃ ⎜ p µ2 h+ n µ⎟2 e(B.21)2σ ⎜0 τ τ ⎟⎝he ⎠Les facteurs de diffusion des électrons et des trous sont respectivement:D’où :1 τ22e er = et h her2 h=2τe1 ττ2 2( )H 2 h h e eσ0heR ≃ p r µ - n r µ(B.22)Si on a : r h= r e= r HTenant compte du rapport des mobilités :R( )e rR ≃ p µ - n µ(B.23)2 2( )HH 2 h eσ0µb= µ22 e2 2 rHµhp - n2rH ( p µh- n µ⎜ ⎟e )µhrHp - n b²H≃ ≃⎝ ⎠≃2 2 2e nµ + pµFinalement :e h 2 eh ⎜µhR⎛µ⎛ µ ⎞eµ n + p⎟⎝ ⎠⎞( p - n b² )( p+nb)HH 2eh( )( )e nb+ p≃ reavec : µb= e(B.24µh124

Annexe CEffet Seebeck et formulation du coefficient thermoélectrique αSoit un semi-conducteur d’extrémités portées à des températures T 1 et T 2 =T 1 +dTdifférentes, une différence de potentiel u apparaît aux bornes du voltmètre :u =∫ εxdx; ε x : champ électrique crée par le gradient de température.Dans la résolution de l’équation de Boltzmann (annexe B) nous avons montré que: 2q J = v (v.G) dk3(2π) ∫ qτ m*⇒ G+ ( B ∧ G ) = G0f0Avec : G ∂0=τ (D grad rT - qε) E-E dEet D = F +F∂ET dT Si : B=0 ∂ Ton a seulement un grad T suivant Ox, grad T =∂xD’où :d’où :∂f0∂TG = G0x= τ (D - qεx)∂E∂x2q ∂f0dT Jx= v3 x² τ (D - qEx)dk(2π)∫∂E dx2q²ε ∂f 2q ∂f⎛ E-E dE ⎞ dT J = - τ v ² dk v ² τ + dk(2π)∫+ ⎜ ⎟∂E (2π)∫∂E ⎝ T dT ⎠ dxx 0 0F F⇔x 3 x 3 x⇔FJx= τ εx- E.τ + EFτ - τ(C.1)(C.2)q² q dT q dT q dE dTm* m*T dx m*T dx m* dT dxPuisque le voltmètre possède une impédance infiniment grande on a donc : Jx= 0C’est à dire :D’où :q² q dT q dT q dE= (C.3)m* m*T dx m*T dx m* dTFJx τ εx- E.τ + EFτ - τ = 0125

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)1 ⎡ E. τ ⎤ dT 1 dE⎢ ⎥qT ⎣ τ ⎦ dx q dxFεx= − EF+ (q = ±e)On définit le coefficient thermoélectrique α comme :(C.4)Posons :EX = K T;BE1 ⎡α = ⎢qT ⎣E. ττ⎤− EF⎥⎦Fη = , l’expression de α peut s’écrire :k TB(C.5)k B⎡ X.τ ⎤α = ± ⎢ -η ⎥ (q = ± e) (C.6)e ⎣ τ ⎦• Cas de non dégénérescence : (EF ≪ KBT)Dans le cas de la non dégénérescence, la fonction de distribution de Fermi- Dirac tendvers la fonction de distribution de Maxwell- Boltzmann :et:f ⎯⎯→ f ∼ eF-D²M-B0 01 ⎛ ∂f⎞3π²∫ ⎜ ⎟ ⎝ ∂E⎠- (E / kBT)0 3A = - A k dEDans un semi-conducteur non dégénéré on a :1τ ∼ E s - 21 ⎛ ∂f 0 ⎞ 3= - k dEτ ⎜ ⎟3π²∫ ⎝ ∂Eτ⎠Or :k ∼ E1/2, on montre que le temps moyen de relaxation τ peut s’exprimer aumoyen de la fonction d’Euler Γτ ∼ Γ ( s + 2) et E.τ ∼ Γ(s+3)=(s+2) Γ(s+2)(C.7)(La fonction d’Euler Γ est tel que :∞n -xΓ(n+1) = x e dx∫ )0kEFα= ± s+2-η ;η=ek TBD’où : [ ]B(C.8)La mesure de α = ∆u/∆T nous permet de remonter à la valeur de s (s= 0,1,2, … ) cequi nous permet de déterminer le mécanisme de diffusion dans le semi-conducteur.126

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)• Cas de dégénérescence forte : (EF ≫ KBT)En 1 ère approximation à basse température ( T 0)fonction de Dirac :σ(E-EF) . On montre que :Pour un ordre plus élevé on a :F étant une fonction quelconque.Or :1τ E s - 2∼ etkFF⎛ ∂f0⎞→ , la dérivé ⎜ - ⎟ tend vers la⎝ ∂E⎠E. τ = E τ(E ) ⇒ α = 0(C.9)∂f π² d²F∫ (C.10)∞0(- )F(E)dE = F(EF) + (kBT)² (EF) + ....∂E 6 dE²0∼ E pour une bande sphérique parabolique,3 3/2Eττ=∫⎛ ∂f⎞⎜ ⎟⎝ ∂E⎠⎛ ∂f⎞⎜ ⎟⎝ ∂E⎠0 s-1/2 3/2- E E E dE∫0 s-1/2 3/2- E E dE(C.11)α = ±Au numérateur : F = EAu dénominateur :d²F= (2+s) (1+s) EdE²s+2 sF = Ed²F= (1+s) s EdE²s+1 s-1π²E.τE + (k T)²(2+s)(1+s)E= 6τ π²E + (k T) (s+1) s E6s+2 sF B Fs+1 2 s-1F B Fs ⎡ π² ⎤ s ⎡ π²⎤EF EF² (kBT)²(2 s)(1 s) EF EF² (kBT)²(1 s)s1 ⎢+ + + − + +⎣ 6 ⎥⎦⎢⎣ 6⎥⎦eTs−1⎡ π²⎤EF ⎢EF² + (kBT)²(1 + s)s⎣ 6⎥⎦Finalement :⇔ α = ±α = ±EF3kBT (s 1)+π²k E3 e k T+ ⎜ ⎟ +6 ⎝ EF⎠BF2π²⎛ ⎞B1 s(s 1)π² (k T)²(1 + s)BeT π²EF ² + (kB T)²(1 + s)s6(C.12)127

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)EFOr dégénérescence forte 1K T ≫ d’où :Bπ²k ²T3 eEBα = ± (s + 1)(C.13)Comme avant, La mesure de α va nous permettre d’avoir une information sur lemécanisme de diffusion.FType de diffusionDiffusion par les phonons acoustiquesDiffusion par les phonons optiquesDiffusion par les ions d’impuretés.s012128

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Annexe DQuantification de l’énergie et singularités de la densité d’états d’un gazd’électrons 3D sous champ magnétiqueLe semi-conducteur est soumis à un champ magnétique B=(0,0,B ) . Dans ladescription quantique, l’hamiltonien des électrons sous champ magnétique s’écrit : ( p - eA) 2H =(D.1)m*Avec A le vecteur potentiel (défini par rapport à l’induction magnétique B par laz relation : B = ∇ ∧ A ). Ici e est la charge élémentaire.On peut choisie pour le vecteur potentiel la jauge :A=(Ax,A y,A z) = (-yBz,0,0)(D.2)⎛ ∂ ⎞ ⎛ ∂ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜∂x⎟ ⎛ Axx ⎞ ⎜∂⎟ ⎛-yBz⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ∂ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ En effet : ∇ ∧ A =⎜∧ Ay= ∧ 0 = 0 = B∂y⎟ ⎜ ∂y⎟⎜ ⎟ ⎜ A ⎟ ⎜ ⎟ ⎜z0 ⎟ ⎜ B ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ z ⎠∂∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ∂z⎠ ⎝ ∂z⎠ Posons : π = p - eA ⎧∂ ie⎪π x= px- eAx= -i ħ( - Ax)⎪∂xħ⎪∂D’où :⎨π y= py- eAy= -i ħ⎪∂y⎪∂⎪π z= pz- eAz= -i ħ⎩∂z⎡π ,π ⎤ ; π ,π et ⎡π ,π ⎤Le calcul des commutateurs [ ]z y y⎣ x y ⎦ x z ⎣ y z ⎦ donne :∂ ie ∂ ∂ ∂ ie⎡⎣π x,π ⎤y ⎦ =πxπy − πyπ x=- ħ²( - Ax) - ħ² ( - Ax)∂x ħ ∂y ∂y ∂xħ∂ ie ∂ ∂ ∂ ie= - ħ²( + yBz) - ħ² ( + yBz)∂x ħ ∂y ∂y ∂xħ=eB (yp − p y)=eB ⎡z ⎣y,p⎤y ⎦(D.3)129

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Or,⎡p ,y ⎤ = -ih⎡⎣ π ,π ⎤⎦ = i ħ eB⎣ y ⎦ donc :x y zOn montre aussi que :[ ]πx,πz = πxπz − πzπx= 0 et ⎡⎣π y,π ⎤z ⎦ = πyπz − πzπy= 0 .Finalement on a : ⎡π x,π ⎤y= i eBzPosons :⎣ ⎦ ħ ; [ x z ]π ,π = 0 et ⎡⎣π y,π ⎤z ⎦ = 0 (D.4)l’ hamiltonien H s’écrit alors : 22 2 2 2 2 2( p - eA2) ( π) ( πx+πy + πz ) ( πx+πy ) πzH = = = = +m* m* m* m* m*( )π 2 2 x+πy π2zH⊥= et Hz= , nous obtenons :m* m*Le calcul du commutateur :(D.5)H = H⊥+Hz(D.6)14m*[ Hz,H ⊥ ] = HzH⊥-HzH ⊥= ((πzπ x)² + (πzπ y)² − (πxπ z)² − (πyπ z)²)H ,H 0D’après (D.3) et (D.4) : [ ]De ce fait que :z⊥=Hzcommute avec H ⊥. Nous déduisons que le mouvement selon Oz estdécouplé du mouvement transversal dans le plan (xOy).L’équation de Schrödinger s’écrit :L’équation (D.7) s’écrit :Hψ =E ψ Avec :ψ(x,y,z)=A (x,y)e( ) ( ) ( )ik zϕ z(D.7)Hz+H⊥ ψ= Hzψ +H⊥ψ =Ezψ+E ⊥ψ= Ez+E⊥ ψ (D.8)Puisque le mouvement selon Oz est découplé du mouvement transversal, on peut découplerl’équation (D.8) en un système de deux équations :Avec l’énergie totale de l’électron est :D’où :⎧Hzψ = Ezψ⎨⎩H⊥ψ = E⊥ψE= ( Ez+E ⊥ )(D.10)π ² ħ² ∂²x y z2m* 2m* ∂z²ψzHzψ= ψ=- ( , , ) Ezψ(x,y,z)ħ²k ²zEz= 2m*=(D.11)(D.9)130

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Posons l’opérateur T tel que :πyT=- on a donc :eB( )z2πy² eBT ² 1 eB 1 2= m*T² ⎛ ⎞= ⎜ ⎟ = m*ωcT²2m* 2m* 2 ⎝ m* ⎠ 2( )zOr : [ π ,T] π ,πx x yeBz(D.12)2 2 2 2π2x+πy π πx y πx1 2H = m*ωcT²m* = m* + ⊥m* = m* + 2(D.13)1ieħB= − ⎡⎣⎤⎦ = − = −iħeBPar analogie avec l’oscillateur harmonique :z⎛ 1 ⎞E⊥=En= ⎜ n+ ⎟ ħ ωcavec n est un entier (n=0 ;1 ;2 ;…) (D.14)⎝ 2 ⎠Finalement l’énergie des électrons dans le cristal, sous B est quantifié en niveaux de Landauet on a :ħ²k z² ⎛ 1 ⎞E = E(kz,n,ω c) = + ⎜ n+ ⎟ ħ ωc(n=0 ;1 ;2 ;…) (D.15)2m* ⎝ 2 ⎠ωc= eB/m* est la pulsation cyclotron.Le mouvement des électrons est libre suivant (Oz) mais dans le plan (xOy) il est circulaire àvitesse angulaire cyclotron ω .E est quantifié et prend des valeurs discrètes espacées decħ ωcLa densité d’état D B (E) sous B s’écrit :BN(n )∑ Bavec :n = 0D (E ) = D (E )D (E)=nBθ' e B⎛ 1 ⎞E-⎜n+ ⎟ hω⎝ 2 ⎠cetθ' =2V 2m*2πh ²( )(D.16)Montrons brièvement que :D(n)B(E) ∼11E - (n+ ) ħω2c(D.17)ħ²k ²zEz= 2m*⇒ħ²kzdEz= dkm*zdk m* 2m*⇒ z = =dEzħ²kz 2ħEzdk L 2m*ρ(k )dk =ρ(k ) dE = dE = D(E )dEzzz z z z z z zdEz2π 2ħEz131

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)D’où :D (E ) ∼Bz1 1∼Ez1E - (n+ ) ħω2cC’est une densité d’état à une dimension (∼1/EZ) le mouvement est libre suivant (Oz).Pour k z =0 : E=(n+1/2) ħ ω ⇒c(n)DB(E) diverge.On a des singularités de D B (E) aux points d’énergies:ω 3 52 2 2cE = ħ , ħω c, ħ ωc...Les oscillations de la magnétorésistance de l’effet Subnikov de Hass sont dues auxsingularités de la densité d’états D B (E) sous le champ magnétique B .132

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Annexe (E)Formalisme de la fonction enveloppe et relations de dispersiondes sous bandes d’énergie des superréseaux HgTe/CdTe1- Approximation de la fonction enveloppeConsidérons le superréseau HgTe/CdTe formé des matériaux dénotés 1 et 2 dans lasuite indiquée sur la figure II.15. Dans chaque couche 1 et 2 le mouvement transverse auxcouches est décrit par les vecteurs d’onde k 1 et k 2 (de direction Oz). Le mouvement dans leplan des couches est décrit par le vecteur k p = (k x ,k y ) conservé aux interfaces.Considérons la matrice 6x6 de kane décrivant l’hamiltonien d’interaction k.p desbandes Γ 6 et Γ 8 . Dans la baseS,Mj= ± 1/2 ,P,Mj= ± 1/2 , etP,Mj= ± 3/2 ,L’indice courant i s’applique aux matériaux 1 et 2, cette matrice s’écrit en k p =0 :H =S,M = -1/2 S,M = 1/2 P,M = 3/2 P,M = 1/2 P,M = -1/2 P,M =-3/2j j j j j j⎡2 ⎤⎢ E6i 0 0 0 Pi hki0 ⎥⎢3 ⎥⎢2⎥⎢ 0 E6i 0 Pi hki0 0 ⎥⎢3⎥⎢ 0 0 E8i0 0 0 ⎥⎢⎥⎢2⎥⎢ 0 Pi hki 0 E8i0 03⎥⎢⎥⎢ 2⎥⎢Pi hki 0 0 0 E8i0 ⎥⎢3⎥⎢⎣0 0 0 0 0 E8i⎥⎦(E.1)P i est l’élément de matrice de Kane, E 6i et E 8i les énergies des sommets de bandes Γ 6 etΓ 8 par rapport à une origine arbitraire.L’examen de l’hamiltonien montre que les états de particules légères (électrons s ettrou p) n’ont pas de composantes sur les états de trous lourdsP,Mj= ± 3/2 .En (kp=0), il y adécouplage total des deux types de particules.Pour un superréseau 1-2 donné, la fonction d’onde dans chaque matériau s’écrit [E.1] :133

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)6∑ j j(E.2 )j=1ik p .rpΨ= e f (z).u (r p,z) r p =(x,y)La sommation s’étend sur les sommets de bandes. uj représente les parties périodiquesdes fonctions de Bloch, supposées identiques dans les 2 composants du superréseau.L’élément de matrice P de Kane sera pris identique dans HgTe et CdTe.L’hamiltonien H agira sur les fonctions enveloppes f j (z) qui varient lentement car lapériodicité du superréseau, grande, intègre les effets locaux rapides qui apparaîtront au traversde la bande interdite et l’élément de matrice P.remplaçantLes fonctions enveloppes, solutions du système différentiel 6x6 seront obtenus enħkidiagonalisant H∂par l’opérateur impulsion P z= - i h∂ . Avec E 6 et E 8 dépendent de z et enz2 Détermination des relations de dispersion des bandes d’énergie du superréseauHgTe/CdTe.2.1 Relation de dispersion des particules légères.En se maintenant dans le plan des couches c'est-à-dire pour k p =0 ; le système 6x6se simplifie en deux systèmes 2x2 décrivant le couplage des fonctions enveloppes f s (z) et f p (z)associées respectivement aux états S, Mj= ± 1/ 2 et P, Mj= ± 1/ 2 .Dans chaque matériau 1 ou 2, on a :S,M =±1/2 P,M =±1/2j⎡2 ⎤E (z)-E P Pj⎢ 6 z ⎥3 ⎡ fs(z) ⎤ 0⎢ ⎥ ⎡ ⎤=⎢ 2⎥⎢fp(z) ⎥ ⎢0⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ P Pz E8(z)-E⎥⎣3Les valeurs propres de l’énergie E sont donnes par :⎦(E.3)2 P² ħ ²ki ² = [ E-E6 (z) ] [ 8 ]i E-E (z)(E.4)i3En assumant que E6(z) et E8(z) sont constants dans HgTe et CdTe ( ce qui revient ànégliger d’éventuels effets de courbure de bande sur lesquels nous ne pouvons avoird’indications) les équations déduites de (E.3) donnent pour les particules légères une équationpour la fonction enveloppe, identique pour les deux matériaux :134

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)d²f i( z) 3 ( E − E6) i( E − E8)i+ fi( z) = 0dz² 2 ħ² P²Compte tenu que (voir figure II.13) :⎧ ⎪( E6) = Λ − ε1 (Eg)1=Λ⎨⎪⎩ ( E6) = ε2(Eg) = 0(E.6)(E.5)L’équation précédente s’écrira dans 1 (HgTe) et 2 (CdTe)⎧2 3 ( E − Λ )( E + ε1− Λ)f1"(z) + k1² f1(z) = 0 avec : k1=⎪2 ħ ²P²⎨⎪2 3 E( E −ε2)f2"(z) + k2² f2(z) = 0 avec : k2=⎪⎩2 ħ ²P²(E.7)Les équations précédentes conduisent aux relations de dispersion des particules légères dansHgTe et CdTe. Elles ont la forme suivante :2 P² ²k² = E (E+ε )3ħGoù :GEn posant :1 2 P²=2m* 3 εGε est la bande interditeon obtient :Le caractère principal de ces bandes est la non parabolicité.ħ²k²E= E (1+ )2m* εG(E.8)(E.9)Les fonctions d’onde propres f1(z) et f2(z) sont des combinaisons linéaires de deuxondes planes de vecteurs d’onde opposés.⎧⎪ f1(z) = Ae + Be⎨⎪⎩ f2(z) = Ce + Deik1z-ik1zik2z-ik 2z(E.10)Les fonctions enveloppes f doivent satisfaire à plusieurs conditions :* Les foncions enveloppes doivent vérifier la condition de périodicité de Bloch :ikmdfs,p(z+md) = e fs,p(z) (E.11)m : entier, d : pas du superréseau* Aux interfaces entre deux matériaux, la fonction doit être continue ainsi que le courant [E.2].Les conditions de continuité en z = 0 donnent le système d’équation :⎧f 1(0) = f2(0)⇒ A+B = C+D⎪⎨ f1'(0) f2'(0) k1 E-ε2(E.12)⎪= ⇒ ξ (A-B)=C-D avec ξ =⎩E+ ε1 -Λ E-ε2 k2 E+ ε1-ΛLa condition de continuité en z =d 1 ⇒ f 1(d 1) = f 2(d 1)(E.13)Si on tient compte des conditions de périodicité en –d 2 conduisent à :135

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)D’où :Soit :f (d ) = f (-d +d) = e f (- d )ik z d2 1 2 2 2 2f (d ) = f (-d )γ avec γ = e et d = d + dik z d1 1 2 2 1 2ik1d1 -ik1d1 -ik 2d2 ik2d2Ae + Be = γ (Ce +De ) (E.14)f1'(d 1) f2'(-d 2)e=E+ ε -Λ E-ε1 2ikzdDonne :( )ik 1 d 1 -ik 1 d 1 -ik 2 d 2 ik 2 d 2ξ Ae - Be = γ (Ce - De )(E.15)⎧A + B = C + D⎪⎪ξ ( A − B)= C − D⎨ ik1d1 −ik1d1 −ik2d2 ik2d(E.16)2Ae + Be = γ ( Ce + De )⎪⎪ ik1d1 −ik1d1 −ik2d2 ik2d2⎩ξ ( Ae − Be ) = γ ( Ce − De )Le traitement des 4 équations à 4 inconnues s’effectue sous forme matricielle.⎧A + B − C − D = 0⎪ξA −ξB − C + D = 0⎨ ik1d1 −ik1d1 −ik2d2 ik2d2⎪Ae + Be −γCe − γ De = 0⎪ ik1d1 −ik1d1 −ik2d2 ik2d2ξ Ae −ξ Be − γ Ce + γ De =⎩⎛ 1 1 −1 −1 ⎞⎛ A ⎞ ⎛ 0⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ξ −ξ−1 1⎟⎜B⎟0= ⎜ ⎟(E.17)ik1d1 −ik1d1 −ik2d2 ik2d2⎜ e e −γe −γe ⎟⎜ C ⎟ ⎜ 0⎟⎜ ik1d1 −ik1d1 −ik2d2 ik2d2ξe −ξ e −γ e γ e⎟⎜D⎟ ⎜0⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠La nullité du déterminant s’écrit, relation de dispersion des particules légères dans la directionde croissance :01 ⎡ 1 ⎤cos[kz(d1+d 2)] = cos(k1d 1)cos(k 2d 2) - (ξ+ ) sin(k1d 1)sin(k 2d 2)2⎢ξ⎥⎣ ⎦k1 E − ε2Avec : ξ =k E + ε − Λ et -π/d ≤ k z ≤+ π/d2 1(D.18)C’est une relation de type Kronig- Penney dans le cas où les constituants dusuperréseau ont une structure de bandes du type modèle de Kane.2.2 Relation de dispersion des particules lourdes.Du fait que l’écart Λ entre les bandes de valence Γ8est positif, les couches de HgTese comportent comme des puits de potentiel pour les trous lourds.136

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Les bandes Γ8de HgTe et CdTe sont décrites par l’hamiltonien 4x4 de Luttinger écrit dans labase.H(k ,k ) =p z +P,M = 3/2 P,M = 1/2 P,M = -1/2 P,M =-3/2j j j j⎡P+Q -S R 0 ⎤⎢ +-S P-Q 0 R⎥⎢⎥⎢ R 0 P-Q S ⎥⎢+ + ⎥⎣ 0 R S P+Q⎦Les paramètres P,Q,R,S sont donnés dans la référence [2.3]. Enp(E.19)k ≠ 0 , la présencedes termes R et S notent le couplage des trous légers P, ±1/2 et lourds P, ± 3/2 .Dans le cas simple de k p =0, c'est-à-dire correspondant à la direction parallèle aux plans decroissance cristalline. H(0,k z ) devient diagonal.H(k ,k ) =L’interaction des trous lourds est :pz⎡P+Q 0 0 0 ⎤⎢0 P-Q 0 0⎥⎢⎥⎢ 0 0 P-Q 0 ⎥⎢⎣0 0 0 P+Q⎥⎦3 3 ħ²dP, ± H (0, kz) P, ± = P + Q = E8 ( z) + ( γ1− 2 )2 2 2 dzħ²d= E8( z) + ( m* hh( z))2 dz−1ddz1γ −ddz(E.20)(E.21)-1Où : m*hh(z)=(γ1-2γ) =Mi= masse des trous lourds dans HgTe et /ou CdTe γ1et γ sont lesparamètres de Luttinger décrivant l’interaction des trous lourds.L’indépendance ded’équations de type :Soit :Dans 1 (HgTe) :Dans 2 (CdTe) :m* (z) et E ( ) 8z en fonction de la position z conduit à l’ensemblehh( P+Q) f i(z) = E f i(z)2 2M1f1"(z) + k1'² f1(z) = 0 avec k1' =- (E-Λ)ħ²2Mħ²2 2f2"(z) + k2'² f2(z) = 0 avec k2' =- E(E.22)(E.23)(E.24)137

Annexes (A), (B), (C), (D), et (E)Les équations précédentes montrent que les bandes de trous lourds sont paraboliques(E=k²), le signe (-) des masses tenant compte de la concavité des bandes Γ .Les conditions de continuité des fonctions et courants aux interfaces conduisent à larelation de dispersion des trous lourds :1 ⎡ 1 ⎤cos[kz(d1+d 2)] = cos(k1'd 1)cos(k 2'd 2) - (ξ'+ ) sin(k1'd 1)sin(k 2'd 2)2⎢ξ'⎥⎣ ⎦k'1M2Avec : ξ ' =k' M2 1Ce qui est similaire au cas des particules légères, dans un cas parabolique.8hhRéférences[E.1] M. Altarelli physics, 117B et 118B, p. 747 (1983).[E.2] C. Cohen- Tannoudji , Mécanique quantique. Tome I, p.69 Herman (1973).[E.3] Y. R. Lin-Liu and L. T. Sham Phys. Rev. B, 32, (8), 5561 (1985).138

Résumé de la thèseL’objectif de ce travail de thèse est la modélisation et la caractérisationpar le transport électronique des semi-conducteurs II-VI : Hg 1-x Cd x Te(x=0.22) alliage ternaire et HgTe(5.6 nm) / CdTe(3 nm) superréseau, toutles deux semiconducteurs à bandes interdite étroite utilisés pour la fabricationdes photodétecteurs opérant dans la fenêtre atmosphérique (LWIR) etHgTe(18 nm) / CdTe(4.4 nm) superréseau utlisé pour la photodétection del’infrarouge lointain.Nous rapportons dans ce travail de thèse les mesures des propriétésélectroniques de transport, les mécanismes de diffusion et les résultatsthéoriques du niveau de Fermi, de l’énergie de l’état donneur et lamodélisation de la mobilité des porteurs de charges dans l’alliage ternaireHg 1-x Cd x Te (x =0.22) semiconducteur de type n dégénéré à T= 4,2 K avecune haute mobilité de Hall µ H =2.10 5 cm 2 /Vs. Nous rapportons aussi lesrésultats du Calcul des bandes d’énergie fait dans le formalisme de lafonction enveloppe (EFA), les résultats des mesures de l’effet Hall, ladiffraction des rayons X, la magnétorésistance, l’effet Seebeck et l’effetShubnikov-de Haas (SDH) dans le superréseau HgTe(5.6 nm) / CdTe(3 nm)semiconducteur à bande interdite étroite , bidimensionnel (2D), modulée etnanostructuré de type p avec une mobilité de Hall relativement élevée de8200 cm 2 /Vs à basse température (4.2K).Vu la limitation des courants nuisant à la photodétectivité, l’échantillon deHgTe(5.6 nm) / CdTe(3 nm) peut être considéré comme une alternativestable de l’alliage Hg 1-x Cd x Te( x=0.22) pour la photodétection del’infrarouge moyen.139

Nous rapportons aussi dans ce travail les propriétés de transport et lesrésultats de structure des bandes du superréseau HgTe(18 nm)/CdTe(4.4 nm)faits dans le même formalisme (EFA). Ce dernier prévoit que cet échantillonest semimétallique. Des mesures de la magnétorésistance et du voltage deHall indiquent un comportement de conduction quasi bidimensionnel. Abasse température, la conductivité de l’échantillon est de type p avec unemobilité de Hall des trous de 900 cm²/V.s. Une inversion du signe ducoefficient de Hall à champ faible se manifeste à 25 K avec une mobilité desélectrons de 3.10 4 cm 2 /Vs.Mots-clés : Semiconducteurs II-VI, photodétection infrarouge,formalisme de la fonction enveloppe, magnétorésistance, conductivité, mobilité,diffraction des rayons X, Effet Hall, Effet Seebeck, Effet Subnikov-de Hass,mécanismes de diffusion, alliage ternaire Hg 1-x Cd x Te, superréseau HgTe/CdTe.140