Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...
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Chapitre 2: Modélisation à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’hydrodynamique <strong>et</strong> <strong>du</strong> <strong>transfert</strong> <strong>de</strong> masse dans les écoulements à bulles2.5.8 Agitation <strong>de</strong>s bullesCe paragraphe est consacré à l’analyse <strong>de</strong> la réponse <strong>du</strong> mouvement barycentrique d’unebulle aux fluctuations <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong> la phase continue. La modélisation <strong>de</strong> ce phénomèneest l’un <strong>de</strong>s éléments clés <strong>de</strong> la ferm<strong>et</strong>ure <strong>de</strong>s équations dans un modèle à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s.On peut i<strong>de</strong>ntifier <strong>de</strong>ux termes qui doivent être modélisés : le tenseur <strong>de</strong>s contraintes' 'turbulentes dans la phase dispersée uGiu Gj<strong>et</strong> éventuellement, selon le choix d’écriture <strong>de</strong>la force <strong>de</strong> masse ajoutée, le tenseur <strong>de</strong> co-variance entre les fluctuations <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong>' '<strong>de</strong>ux phases u .Liu GjD’une manière générale, on cherche à exprimer ces termes en fonction <strong>de</strong>s paramètres' 'statistiques <strong>de</strong> la turbulence <strong>du</strong> liqui<strong>de</strong> à savoir les contraintes <strong>de</strong> Reynolds u . DansLiu Ljc<strong>et</strong>te analyse on considère la modélisation <strong>de</strong>u <strong>et</strong> la modélisation se limite aux' 'Giu Gj'2termes diagonaux <strong>de</strong> ce tenseur uGi. Ces termes peuvent être exprimés en fonction <strong>de</strong>s'2contraintes turbulentes <strong>de</strong> la phase continue uLice qui amène à intro<strong>du</strong>ire un tenseur <strong>de</strong>réponse C d’une bulle à la turbulence <strong>du</strong> liqui<strong>de</strong> :'2Gitijtiju = C u(2.121-a)'2LiSous certaines hypothèses, on peut relier la fluctuation <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong> la bulle dans unedirection <strong>de</strong> vitesse aux fluctuations <strong>de</strong> vitesse <strong>du</strong> liqui<strong>de</strong> dans la même direction <strong>et</strong> l<strong>et</strong>enseur <strong>de</strong> réponse est donc diagonal :u = C u(2.122-b)'2Giti'2LiPlusieurs métho<strong>de</strong>s ont été développées pour relier le tenseur <strong>de</strong>s fluctuations <strong>de</strong> vitessed’une bulle à celui <strong>de</strong>s fluctuations <strong>de</strong> vitesse <strong>de</strong> la phase continue. Tchen (1947) fut lepremier à développer une métho<strong>de</strong> qui se base sur une transformation <strong>de</strong> Fourier <strong>de</strong>l’équation <strong>de</strong> trajectoire, ce qui perm<strong>et</strong> d’obtenir une réponse dans le domaine fréquentiel,à condition <strong>de</strong> se donner en outre le spectre turbulent <strong>de</strong>s excitations <strong>du</strong> mouvement <strong>de</strong>sinclusions.Tchen (1947) a développé c<strong>et</strong>te métho<strong>de</strong> sous <strong>de</strong>s hypothèses restrictives :1. la traînée suit une loi linéaire,2. la turbulence est homogène <strong>et</strong> stationnaire dans un domaine d’éten<strong>du</strong>e infinie,3. dB