Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...
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Chapitre 2: Modélisation à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’hydrodynamique <strong>et</strong> <strong>du</strong> <strong>transfert</strong> <strong>de</strong> masse dans les écoulements à bullesDDtε( αLε)= Dε+ αL( cε1PL− cε2ε)+ Sε(2.89)kLAu premier ordre, les modèles à une échelle <strong>de</strong> temps expriment le tenseur <strong>de</strong> Reynolds àl'ai<strong>de</strong> <strong>du</strong> concept <strong>de</strong> viscosité turbulente. Cela suppose que le frottement turbulents'exprime à l’ai<strong>de</strong> d’une viscosité turbulente « diphasique ». Le tenseur <strong>de</strong> Reynolds estainsi exprimé à l’ai<strong>de</strong> <strong>de</strong> la ferm<strong>et</strong>ure <strong>de</strong> Boussinesq sous la forme :u'Liu'Lj2= −2νtSij+ kLδij(2.90)31⎛⎞où⎜ ∂U∂ULi LjS = +⎟ijest le tenseur <strong>de</strong>s taux <strong>de</strong> déformation <strong>et</strong>2 ⎜ ∂x∂ ⎟jxi⎝⎠l’énergie cinétique turbulente dans le liqui<strong>de</strong>.1 ' 'kL= uLiuLiest2Les équations <strong>de</strong> transport <strong>de</strong> l'énergie cinétique turbulente <strong>et</strong> <strong>du</strong> taux <strong>de</strong> dissipation <strong>de</strong>sdifférents modèles <strong>de</strong> turbulence ( k , ε ) développés pour les écoulements à bulles (Lee <strong>et</strong>al., 1989 ; Simonin, 1991 ; Wang <strong>et</strong> al., 1994 ; Morel, 1997), peuvent se m<strong>et</strong>tre sous laforme :DDtDDt∂ ⎡ νt∂ ⎤( αLkL)= ⎢αL(+ ν)kL⎥ + αL(PL− ε)+ Sk(2.91)∂xj ⎣ σk∂xi⎦∂⎡ν⎤εt( αLε)= ⎢αL(+ ν)ε⎥+ αL( cε1PL− cε2ε)+ Sε(2.92)∂xjσk∂xikL⎣∂⎦Les termes <strong>du</strong> second membre <strong>de</strong> <strong>de</strong>ux équations précé<strong>de</strong>ntes représentent respectivementla diffusion, la pro<strong>du</strong>ction par le gradient <strong>de</strong> vitesse moyenne <strong>du</strong> liqui<strong>de</strong>P∂U= −uu = 2ν∂U' ' LiLi(L Li Ljtij∂xj∂xjinterfaciaux.S), le taux <strong>de</strong> dissipation ε <strong>et</strong> les termes sourcesIl convient <strong>de</strong> signaler que les ferm<strong>et</strong>ures au second ordre <strong>et</strong> à une échelle <strong>de</strong> temps tellesque celles proposées par Lopez <strong>de</strong> Bertodano <strong>et</strong> al. (1990) ou encore par Zhou (2001)con<strong>du</strong>iraient, par contraction, à <strong>de</strong>s modèles ( k , ε ) qui ont la même forme que le modèledonné par les équations (2.91) <strong>et</strong> (2.92).Lopez <strong>de</strong> Bertodano <strong>et</strong> al. (1994) montrent que dans, le cas général, les modélisations àune échelle <strong>de</strong> temps sont insuffisantes pour décrire la turbulence en écoulementdiphasique. En eff<strong>et</strong>, l’application <strong>de</strong> ces modèles en turbulence homogène à bulles <strong>de</strong>grille donne <strong>de</strong>s équations simplifiées dont la solution analytique fournit une décroissance<strong>de</strong> la turbulence <strong>de</strong>rrière la grille qui n’est pas conforme aux observations expérimentales.La solution analytique <strong>de</strong> Lopez <strong>de</strong> Bertodano <strong>et</strong> al. (1994) montre que le tempsd'atténuation en écoulement à bulles dépendrait ainsi <strong>du</strong> terme d’échange interfacial <strong>et</strong> parconséquent <strong>du</strong> taux <strong>de</strong> vi<strong>de</strong>, ce qui n'est pas en accord avec les données expérimentales <strong>de</strong>38