Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...
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Chapitre 2: Modélisation à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’hydrodynamique <strong>et</strong> <strong>du</strong> <strong>transfert</strong> <strong>de</strong> masse dans les écoulements à bullesOn remarque que ce modèle ne dépend pas <strong>du</strong> nombre <strong>de</strong> Reynolds mais dépendseulement <strong>du</strong> diamètre <strong>de</strong> la bulle. D’autres modèles sont proposés dans la littérature entenant compte <strong>de</strong> la contamination <strong>de</strong>s interfaces (Tomiyama, 2004).Force <strong>de</strong> masse ajoutéeL’expression <strong>de</strong> la force <strong>de</strong> masse ajoutée prend <strong>de</strong>s formes différentes selon la définition<strong>de</strong>s opérateurs <strong>de</strong> dérivée matérielle qui sont utilisés pour exprimer les eff<strong>et</strong>s inertielsengendrés par une bulle en accélération (Voinov, 1973 ; Auton <strong>et</strong> al., 1988). On peutconsidérer que c<strong>et</strong>te question, qui a fait l’obj<strong>et</strong> d’analyses <strong>et</strong> <strong>de</strong> discussions, (Gatignol,1983 ; Maxey & Riley, 1983 ; Minier, 1992), est dépassée grâce à la simulationnumérique. Rappelons, en eff<strong>et</strong>, que les expériences numériques <strong>de</strong> Rivero <strong>et</strong> al. (1991)indiquent non seulement que le coefficient <strong>de</strong> masse ajoutée conserve sa valeur 0,5 pour<strong>de</strong>s bulles sphériques dans une gamme importante <strong>de</strong> nombres <strong>de</strong> Reynolds (<strong>de</strong> 0.1 à300), mais encore que les dérivées matérielles <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux phases interviennent dansl’expression <strong>de</strong> c<strong>et</strong>te force. L’expression générale <strong>du</strong> terme moyen d’échange interfacial<strong>de</strong> quantité <strong>de</strong> mouvement dû à c<strong>et</strong>te force s’écrit sous la forme suivante :< χ fGavec1MAi>= CM⎡⎛⎢⎜∂UαρL⎢⎣⎝∂tGi+ UGj∂U∂xGij⎞ ⎛⎟ ⎜∂U−⎠ ⎝∂tLi+ ULj∂U∂xCMle coefficient <strong>de</strong> masse ajoutée égal à 0.5 pour le cas d’une sphère.Lij⎞⎤⎟⎥⎠⎥⎦(2.49)Force <strong>de</strong> portanceLa force <strong>de</strong> portance est, par définition, la force orthogonale à la vitesse <strong>de</strong> glissement.Auton <strong>et</strong> al. (1988) ont calculé les forces qu’exerce un flui<strong>de</strong> parfait en écoulementfaiblement cisaillé rotationnel sur une sphère ; ils expriment la force <strong>de</strong> portance sous laforme :G1Li< χ f >= ε C αρ UijkLLRj ( rot( U L) k(2.50)avec εijkle symbole d’antisymétrie, CLreprésente le coefficient <strong>de</strong> portance égal à 0.5(Auton <strong>et</strong> al., 1988). Legendre (1996) <strong>et</strong> Legendre & Magnaud<strong>et</strong> (1998) ont calculé laforce <strong>de</strong> portance sur une bulle sphérique en écoulement visqueux linéairement cisaillépour une large gamme <strong>de</strong> nombres <strong>de</strong> Reynolds ( Re ∈ [10,500]). Ces calculs quis’appuient sur la simulation numérique, montrent que le coefficient <strong>de</strong> portance CLn’estpas constant mais dépend fortement <strong>du</strong> nombre <strong>de</strong> Reynolds, avec notamment pour lesgrands nombres <strong>de</strong> Reynolds:1 6.5CL = −(2.51)2 ReLance & Naciri (1992) ont mesuré la force <strong>de</strong> portance dans le cas d'une bulle placée dansun écoulement en rotation. Ces expériences montrent que la valeur <strong>de</strong> CLest <strong>de</strong> l’ordre<strong>de</strong> 0.25. En s’appuyant sur <strong>de</strong>s analyses expérimentales <strong>et</strong> numériques, Tomiyama <strong>et</strong> al.20