Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...
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Chapitre 2: Modélisation à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’hydrodynamique <strong>et</strong> <strong>du</strong> <strong>transfert</strong> <strong>de</strong> masse dans les écoulements à bullesStokes pour une sphère rigi<strong>de</strong> pour les mouvements à grands nombres <strong>de</strong> Reynolds sousla forme :C240.687= (1 0.15Re ) si Re < 1000 <strong>et</strong> C D= 0. 44 si Re > 1000 (2.44)ReD+Moore (1963) a proposé une modélisation <strong>de</strong> CDpour une bulle sphérique propre entenant compte <strong>de</strong> la couche limite <strong>et</strong> <strong>du</strong> sillage <strong>de</strong>rrière la bulle pour <strong>de</strong>s nombres <strong>de</strong>Reynolds particulaires allant jusqu’à 300:−( 5/ 6 ⎤) ⎥⎦48 ⎡ 2.21CD=⎢1−+ Ο Re(2.45)1/2Re ⎣ ReMoore (1965) a éten<strong>du</strong> ces étu<strong>de</strong>s en prenant en compte la déformation <strong>de</strong> la bulle sousune forme ellipsoïdale caractérisée par le rapport <strong>de</strong> forme γ (rapport <strong>du</strong> grand diamètresur le p<strong>et</strong>it diamètre <strong>de</strong> l’ellipsoï<strong>de</strong>) :−( 1/ 2 ⎤) ⎥⎦⎡=48 f2( )C1() ⎢1+γDf γ + Ο Re(2.46)1/ 2Re ⎣ Reoù les <strong>de</strong>ux fonctions f 1<strong>et</strong> f 2sont <strong>de</strong>ux fonctions <strong>du</strong> rapport <strong>de</strong> forme γ résolues parintégration numérique <strong>et</strong> rapportées dans le polycopie <strong>de</strong> Fabre & Legendre (2000).Ellingsen (1998) a comparé le modèle <strong>de</strong> Moore (1965) <strong>et</strong> les résultats numériques <strong>de</strong>Blanco & Magnaud<strong>et</strong> (1995) pour une gamme <strong>de</strong> nombres <strong>de</strong> Reynolds allant <strong>de</strong> 300jusqu’à 1000 <strong>et</strong> pour <strong>de</strong>s rapports <strong>de</strong> forme <strong>de</strong> bulle γ allant jusqu’à 2.05.Lorsque l’eau est contaminée, les surfactants s’attachent à la surface <strong>de</strong> la bulle <strong>et</strong>rigidifient l’interface, ce qui provoque une augmentation <strong>de</strong> la traînée <strong>et</strong> une ré<strong>du</strong>ction <strong>de</strong>sa vitesse relative par rapport à celle d’une bulle non contaminée. Bel F’dhila &Duineveld (1996) trouvent une bonne correspondance entre <strong>de</strong>s valeurs expérimentales <strong>de</strong>la traînée sur une bulle dans une eau contaminée <strong>et</strong> l’expression suivante :240.6305CD = (1 + 0.1935Re )(2.47)ReC<strong>et</strong>te expression <strong>du</strong> coefficient <strong>de</strong> traînée CDest appliquée pour <strong>de</strong>s sphères rigi<strong>de</strong>s àgrand nombre <strong>de</strong> Reynolds (Clift <strong>et</strong> al., 1978). D’autres auteurs prennent en compte <strong>de</strong>manière explicite l’eff<strong>et</strong> <strong>de</strong>s contaminants sur la force <strong>de</strong> traînée. Zuber & Ishii (1979)proposent une corrélation en fonction <strong>du</strong> nombre d’Eötvös ( Eö ) qui représente le rapportentre la force <strong>de</strong> flottabilité <strong>et</strong> les eff<strong>et</strong>s <strong>de</strong> la tension superficielle :2 Eö30.5CD = (2.48)avec2Δρgd Eö = B, où σ est la tension superficielle.σ19