Analyse expÃ©rimentale et modÃ©lisation du transfert de matiÃ¨re et du ...

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Chapitre 2: Modélisation à deux fluides de l’hydrodynamique et du transfert de masse dans les écoulements à bullesStokes pour une sphère rigide pour les mouvements à grands nombres de Reynolds sousla forme :C240.687= (1 0.15Re ) si Re < 1000 et C D= 0. 44 si Re > 1000 (2.44)ReD+Moore (1963) a proposé une modélisation de CDpour une bulle sphérique propre entenant compte de la couche limite et du sillage derrière la bulle pour des nombres deReynolds particulaires allant jusqu’à 300:−( 5/ 6 ⎤) ⎥⎦48 ⎡ 2.21CD=⎢1−+ Ο Re(2.45)1/2Re ⎣ ReMoore (1965) a étendu ces études en prenant en compte la déformation de la bulle sousune forme ellipsoïdale caractérisée par le rapport de forme γ (rapport du grand diamètresur le petit diamètre de l’ellipsoïde) :−( 1/ 2 ⎤) ⎥⎦⎡=48 f2( )C1() ⎢1+γDf γ + Ο Re(2.46)1/ 2Re ⎣ Reoù les deux fonctions f 1et f 2sont deux fonctions du rapport de forme γ résolues parintégration numérique et rapportées dans le polycopie de Fabre & Legendre (2000).Ellingsen (1998) a comparé le modèle de Moore (1965) et les résultats numériques deBlanco & Magnaudet (1995) pour une gamme de nombres de Reynolds allant de 300jusqu’à 1000 et pour des rapports de forme de bulle γ allant jusqu’à 2.05.Lorsque l’eau est contaminée, les surfactants s’attachent à la surface de la bulle etrigidifient l’interface, ce qui provoque une augmentation de la traînée et une réduction desa vitesse relative par rapport à celle d’une bulle non contaminée. Bel F’dhila &Duineveld (1996) trouvent une bonne correspondance entre des valeurs expérimentales dela traînée sur une bulle dans une eau contaminée et l’expression suivante :240.6305CD = (1 + 0.1935Re )(2.47)ReCette expression du coefficient de traînée CDest appliquée pour des sphères rigides àgrand nombre de Reynolds (Clift et al., 1978). D’autres auteurs prennent en compte demanière explicite l’effet des contaminants sur la force de traînée. Zuber & Ishii (1979)proposent une corrélation en fonction du nombre d’Eötvös ( Eö ) qui représente le rapportentre la force de flottabilité et les effets de la tension superficielle :2 Eö30.5CD = (2.48)avec2Δρgd Eö = B, où σ est la tension superficielle.σ19
Chapitre 2: Modélisation à deux fluides de l’hydrodynamique et du transfert de masse dans les écoulements à bullesOn remarque que ce modèle ne dépend pas du nombre de Reynolds mais dépendseulement du diamètre de la bulle. D’autres modèles sont proposés dans la littérature entenant compte de la contamination des interfaces (Tomiyama, 2004).Force de masse ajoutéeL’expression de la force de masse ajoutée prend des formes différentes selon la définitiondes opérateurs de dérivée matérielle qui sont utilisés pour exprimer les effets inertielsengendrés par une bulle en accélération (Voinov, 1973 ; Auton et al., 1988). On peutconsidérer que cette question, qui a fait l’objet d’analyses et de discussions, (Gatignol,1983 ; Maxey & Riley, 1983 ; Minier, 1992), est dépassée grâce à la simulationnumérique. Rappelons, en effet, que les expériences numériques de Rivero et al. (1991)indiquent non seulement que le coefficient de masse ajoutée conserve sa valeur 0,5 pourdes bulles sphériques dans une gamme importante de nombres de Reynolds (de 0.1 à300), mais encore que les dérivées matérielles des deux phases interviennent dansl’expression de cette force. L’expression générale du terme moyen d’échange interfacialde quantité de mouvement dû à cette force s’écrit sous la forme suivante :< χ fGavec1MAi>= CM⎡⎛⎢⎜∂UαρL⎢⎣⎝∂tGi+ UGj∂U∂xGij⎞ ⎛⎟ ⎜∂U−⎠ ⎝∂tLi+ ULj∂U∂xCMle coefficient de masse ajoutée égal à 0.5 pour le cas d’une sphère.Lij⎞⎤⎟⎥⎠⎥⎦(2.49)Force de portanceLa force de portance est, par définition, la force orthogonale à la vitesse de glissement.Auton et al. (1988) ont calculé les forces qu’exerce un fluide parfait en écoulementfaiblement cisaillé rotationnel sur une sphère ; ils expriment la force de portance sous laforme :G1Li< χ f >= ε C αρ UijkLLRj ( rot( U L) k(2.50)avec εijkle symbole d’antisymétrie, CLreprésente le coefficient de portance égal à 0.5(Auton et al., 1988). Legendre (1996) et Legendre & Magnaudet (1998) ont calculé laforce de portance sur une bulle sphérique en écoulement visqueux linéairement cisaillépour une large gamme de nombres de Reynolds ( Re ∈ [10,500]). Ces calculs quis’appuient sur la simulation numérique, montrent que le coefficient de portance CLn’estpas constant mais dépend fortement du nombre de Reynolds, avec notamment pour lesgrands nombres de Reynolds:1 6.5CL = −(2.51)2 ReLance & Naciri (1992) ont mesuré la force de portance dans le cas d'une bulle placée dansun écoulement en rotation. Ces expériences montrent que la valeur de CLest de l’ordrede 0.25. En s’appuyant sur des analyses expérimentales et numériques, Tomiyama et al.20
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Annexe Chapitre 476exp x= 20 cmZDM1
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