Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...

Chapitre 2: Modélisation à deux fluides de l’hydrodynamique et du transfert de masse dans les écoulements à bulleslagrangienne et qui se justifie par la nature de la phase dispersée qui se présente sousforme d’inclusions discrètes, pose trois difficultés principales :1- La première difficulté est relative à la formulation, dans le cas général, de la forceexercée par le liquide sur une inclusion isolée. L’expression exacte de cette force n'estconnue par voie analytique que dans des cas asymptotiques d’écoulements de référence(écoulement potentiel de fluide parfait (Auton et al., 1988), écoulement rampant enrégime de Stokes (Gatignol, 1983). Cependant les travaux récents s’appuyant sur lasimulation numérique d’écoulements autour d’inclusions ont permis des avancéesimportantes qui permettent aujourd’hui des formulations appropriés de la force exercéepar le liquide sur une bulle sphérique indéformable dans une large gamme de nombres deReynolds (Rivero et al., 1991 ; Magnaudet et al., 1995 ; Magnaudet & Eames, 2000). Iln’en reste pas moins que l’écriture d’une expression générale de cette force qui tientcompte de la déformabilité de la bulle, de la contamination de l’interface, de la turbulencedans le liquide reste encore une question ouverte même si on trouve dans la littérature despropositions de formulations basées sur l’expérience ou sur la simulation numérique(Tomiyama et al., 1993 ; Cuenot et al., 1997 ; Legendre et al., 1998 ; Ellingsen & Risso,2001 ; Tomiyama et al., 2002 ; Merle, 2004 ; etc…).2- La seconde difficulté réside dans l’extrapolation de l’expression de la force quis’exerce sur une bulle isolée à celle s’exerçant sur une bulle au sein d’une population debulles. Dans le cas général, ces écoulements sont le siège d’interactions hydrodynamiquesqui peuvent être importantes notamment dans les écoulements à forts taux de vide. Cesinteractions sont dues aux modifications subies par l’écoulement à cause de la présencede la phase dispersée.3- Enfin l’interprétation de l’expression de la force de nature lagrangienne sous la formed’une information locale à intégrer dans la formulation eulérienne des bilans de quantitéde mouvement soulève des problèmes théoriques qui n’ont été abordés que dans le cadred’hypothèses restrictives d’homogénéité et de stationnarité du champ turbulent de laphase continue (Batchelor, 1972 ; Lance, 1986 ; Simonin & Viollet, 1989).En tenant compte des résultats des travaux de la littérature, on peut considérer quel’expression de la force instantanée exercée par le liquide sur une bulle isolée plongéedans un écoulement non uniforme pour de grands nombres de Reynolds du mouvementrelatif est la suivante (Magnaudet et al., 1995 ; Legendre, 1996):⎛ DuLi⎞Fi= ρLVb⎜ − gi⎟ + ρGVbgi− ρLVbAD( uGi− uLi)⎝ Dt ⎠⎡ ⎛ DuLiduGi⎞⎤+ ρLVb⎢CM⎜ − ⎟ − CL( uGi− uLi) ∧ ( ∇ ∧ uLi) ⎥⎣ ⎝ Dt dt ⎠⎦t⎡ ⎛ 9ν( t −τ) ⎞ ⎛ ( ) ⎞⎛( ) − ( ) ⎞⎤∫ ⎢⎜9νt −τ−⎟duGiτ duLiτ8πμR⎜⎟bexp erfc⎜⎟⎥dτ22⎢⎣⎝ Rb⎠ ⎝ Rb⎠⎝Dτ0⎠⎥⎦(2.37)16