Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...

Chapitre 2: Modélisation à deux fluides de l’hydrodynamique et du transfert de masse dans les écoulements à bullesle calcul de l’hydrodynamique des deux phases. Nous prendrons donc < m k>= 0 ,mku,m >= 0 et < ck>= 0 . ρ = < (2Hσ ni+ δ >(2.31)∂xk, i)iLe second membre de l’équation (2.31) représente la moyenne de la contribution desinterfaces à la force totale qui s’exerce sur le mélange diphasique. Le premier termereprésente la contribution de la quantité de mouvement normale aux interfaces, il est reliéà la courbure H et à la tension superficielle σ . Quant au deuxième terme, il représente lesaut de la contrainte tangentielle à l’interface. On supposera que ces contraintestangentielles sont continues le long de l’interface, on négligera donc les effets de typeMarangoni (effets de gradient des tensions superficielles le long de l’interface due à ungradient de température ou à un gradient de concentration d’un agent tensio-actif). Demême on négligera les effets de tension superficielle liés aux contributions normales auxinterfaces dans le bilan moyen (2.31).2.2.3 Problème de fermetureLe problème de fermeture du système d’équations du modèle à deux fluides nécessite quel’on ait autant d’équations que d’inconnues. Dans le cas où le transfert de masseinterfacial est nul et où il n’y a pas de réaction chimique, ni de variation de laconcentration en phase gazeuse, les équations de conservation de la masse et de bilan dequantité de mouvement de deux phases et l’équation de transport de la concentration dansle liquide contiennent 49 inconnues scalaires qui sont respectivement : αk, ρk,IU ,,' '' 'Pk, τk, ij, uk, iuk,j, CL, < Lk , i> , Pk, < K L> et c L u L,i (k=1,2). On a 13 équationsscalaires (la relation géométrique, les bilans de masse et de quantité de mouvement avecla relation de saut aux interfaces de la quantité de mouvement, et enfin l’équation detransport de la concentration dans le liquide). Il faut donc 36 relations scalairessupplémentaires pour fermer ce problème. En premier lieu, on peut expliciter les relationssuivantes :− La masse volumique de la phase k, ρkest fixée à partir d’une équation d’état.− Les contraintes visqueuses sont calculées à partir de lois constitutives pour les⎡∂u⎤k,j ∂uk, ideux fluides supposées newtoniens, ( τk,ij= ρkνk⎢ + ⎥ ).⎢⎣∂xi∂xj ⎥⎦− On peut d’ores et déjà poser que l’on a à développer, comme pour les écoulementsmonophasiques, des modèles pour les corrélations turbulentes qui apparaissent dansk i13