Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...

Chapitre 2: Modélisation à deux fluides de l’hydrodynamique et du transfert de masse dans les écoulements à bullesToute grandeur instantanée φ peut alors être décomposée en une grandeur moyenne etune grandeur fluctuante : φ =< φ > + φ'avec < φ '>= 0 . En adoptant, pour les écoulementsdiphasiques, la démarche introduite par Ishii (1975), on définit la notion de moyenne dephase (ou moyenne phasique) de la grandeur φ k dans la phase k, notée ( φ k), par :α φ < φ χ >(2.18)kk=k kLe taux de présence de la phase k est défini comme la moyenne de la fonction de présencede la phase χ :kα k=< χ k>(2.19)'Le champ fluctuant φkde φk(en présence de la phase k) s’écrit sous la forme suivante :χ φ = α φ + χ φ(2.20)kkkkk'On a par conséquent : < χ kφk>= 0'k2.2.2.2 Équations moyennées du modèle à deux fluidesLes équations déduites des lois générales (2.7), (2.9) et (2.11) sont moyennées danschacune des phases selon le formalisme présenté ci dessus. Et on leur adjoint l’équationgéométrique immédiate en supposant que les épaisseurs des interfaces sont nulles:α + α 1(2.21)1 2=Les bilans moyens de masse, de quantité de mouvement et de transport de laconcentration, pour chaque phase k, s’écrivent :Bilan de la masse :∂ α ∂kρk) ( αkρkU+∂t∂xoù( k , ii)=< mmkest défini en (2.8).k>(2.22)Bilan de la quantité de mouvement :∂(α ρ Ukk∂t) ∂(αkρkU+∂xt) ∂(α ∂ +kPk) αk( τk,ijτk ,= − +∂x∂xk , ik , i k , jij)jU+ α ρ gkkii+ < Lk,i>j(2.23)tτk,ijet τk ,ijsont respectivement les tenseurs des contraintes visqueuses et turbulentes. Letenseur des contraintes turbulentes de la phase k s’exprimant sous la forme :τ = −ρ u u(2.24)t' 'k , ij k ki kj11