Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...

Chapitre 2: Modélisation à deux fluides de l’hydrodynamique et du transfert de masse dans les écoulements à bullesqui permettent d’aboutir à des équations moyennées utiles pour la prédiction desécoulements diphasiques.2.2.2 Equations moyennées2.2.2.1 Opération de moyenne- Moyenne de phaseLe caractère aléatoire de la turbulence en écoulement diphasique, comme en situationmonophasique, rend difficile la résolution directe des équations locales instantanées. Onest donc amené à effectuer des prises de moyenne des équations instantanées de manière àtrouver une solution pour l’écoulement moyen. Les outils statistiques sont alors mis enœuvre pour définir des champs moyens de vitesse, de pression, etc.... Cette approche est àla base de nombreux modèles de turbulence qui, couplés à des observationsexpérimentales, donnent de bonnes estimations des grandeurs moyennes des écoulementsturbulents. La même démarche est mise en œuvre pour l’étude des écoulementsdiphasiques. On cherche dans ce cas à décrire les champs moyens des différentesgrandeurs dans chacune des deux phases ainsi que les champs de taux de présence desphases.L’opérateur de moyenne temporelle noté < . > peut être défini de manière formelle par :⎡ 1 ⎤< φ > = lim⎢∫φ(t)dt⎥(2.13)T →∞⎣ TT ⎦La moyenne temporelle est équivalente à la moyenne statistique (ou moyenned’ensemble) pour les processus ergodiques. Si on considère N réalisations φ nde φ , ondéfinit la moyenne statistique, notée < . > , en un point (M,t) par :N1< φ > = lim [ ∑φn](2.14)N →∞ Nn=1Les opérateurs de moyenne vérifient les conditions de Reynolds suivantes :Linéarité :< λφ + ϕ > = λ < φ > + < ϕ >(2.15)où φ et ϕ sont des variables quelconques et λ est une constante.Idempotence : ϕ > = < φ > < ϕ >(2.16)Commutativité vis-à-vis des opérateurs de dérivation :∂ ∂< φ > = < φ > et < ∇φ> = ∇ < φ >∂t∂t(2.17)10