Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...
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Chapitre 2: Modélisation à <strong>de</strong>ux flui<strong>de</strong>s <strong>de</strong> l’hydrodynamique <strong>et</strong> <strong>du</strong> <strong>transfert</strong> <strong>de</strong> masse dans les écoulements à bullesqui perm<strong>et</strong>tent d’aboutir à <strong>de</strong>s équations moyennées utiles pour la prédiction <strong>de</strong>sécoulements diphasiques.2.2.2 Equations moyennées2.2.2.1 Opération <strong>de</strong> moyenne- Moyenne <strong>de</strong> phaseLe caractère aléatoire <strong>de</strong> la turbulence en écoulement diphasique, comme en situationmonophasique, rend difficile la résolution directe <strong>de</strong>s équations locales instantanées. Onest donc amené à effectuer <strong>de</strong>s prises <strong>de</strong> moyenne <strong>de</strong>s équations instantanées <strong>de</strong> manière àtrouver une solution pour l’écoulement moyen. Les outils statistiques sont alors mis enœuvre pour définir <strong>de</strong>s champs moyens <strong>de</strong> vitesse, <strong>de</strong> pression, <strong>et</strong>c.... C<strong>et</strong>te approche est àla base <strong>de</strong> nombreux modèles <strong>de</strong> turbulence qui, couplés à <strong>de</strong>s observationsexpérimentales, donnent <strong>de</strong> bonnes estimations <strong>de</strong>s gran<strong>de</strong>urs moyennes <strong>de</strong>s écoulementsturbulents. La même démarche est mise en œuvre pour l’étu<strong>de</strong> <strong>de</strong>s écoulementsdiphasiques. On cherche dans ce cas à décrire les champs moyens <strong>de</strong>s différentesgran<strong>de</strong>urs dans chacune <strong>de</strong>s <strong>de</strong>ux phases ainsi que les champs <strong>de</strong> taux <strong>de</strong> présence <strong>de</strong>sphases.L’opérateur <strong>de</strong> moyenne temporelle noté < . > peut être défini <strong>de</strong> manière formelle par :⎡ 1 ⎤< φ > = lim⎢∫φ(t)dt⎥(2.13)T →∞⎣ TT ⎦La moyenne temporelle est équivalente à la moyenne statistique (ou moyenned’ensemble) pour les processus ergodiques. Si on considère N réalisations φ n<strong>de</strong> φ , ondéfinit la moyenne statistique, notée < . > , en un point (M,t) par :N1< φ > = lim [ ∑φn](2.14)N →∞ Nn=1Les opérateurs <strong>de</strong> moyenne vérifient les conditions <strong>de</strong> Reynolds suivantes :Linéarité :< λφ + ϕ > = λ < φ > + < ϕ >(2.15)où φ <strong>et</strong> ϕ sont <strong>de</strong>s variables quelconques <strong>et</strong> λ est une constante.I<strong>de</strong>mpotence : ϕ > = < φ > < ϕ >(2.16)Commutativité vis-à-vis <strong>de</strong>s opérateurs <strong>de</strong> dérivation :∂ ∂< φ > = < φ > <strong>et</strong> < ∇φ> = ∇ < φ >∂t∂t(2.17)10