Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...

Chapitre 2: Modélisation à deux fluides de l’hydrodynamique et du transfert de masse dans les écoulements à bullesoù nk , iest la composante selon la direction i du vecteur unitaire normal à l’interface etIorienté vers l’extérieur de la phase k, δ est la distribution de Dirac associée à l’ensembledes interfaces, u est la composante i de la vitesse de déplacement de l’interface.IiLes équations locales instantanées de conservation et de bilan s’obtiennent, au sens desdistributions, en multipliant les équations (2.1), (2.2) et (2.3) par la fonctioncaractéristique de présence des phases χk. En utilisant les propriétés de dérivation (2.5) et(2.6), ces équations s’écrivent pour chaque phase indicée k :Conservation de la masse∂(ρkχk) ∂(χkρku+∂t∂xik , i)= ρkII( u − u ) n δik,ik , iLe second membre de cette équation notéou de flux de masse à travers l’interface :mkII( u − u ) n δρk i k , i k,i(2.7)mkreprésente le terme de transfert de masse,= (2.8)Equation de bilan de la quantité de mouvement :∂(χ ρ ukk∂tk , i) ∂(χkρku+∂xk , ijuk,j) ∂(χkσ=∂xjk,ij)+ χ ρ g +kkiII[ σ + ρ u ( u − u )] n δk , ijkk , ijk , jk,j(2.9)Un terme de transfert de quantité de mouvement à l’interface entre les deux phases,noté L ,, apparaît dans cette équation. Il s’écrit :Lk iII[ + ρ u ( u − u ] n δk, iσk,ij k k , i j k , j)k , i= (2.10)Il représente deux effets, le premier est lié aux forces s’exerçant à l’interface, le secondest le transfert de quantité de mouvement associé au transfert de masse.Equation de transport de la concentration∂(χkc∂tk) ∂(χkcku+∂xik , i)=∂∂( χkDkxi∂ck) + χkS∂xick+ ckII ∂ckI( u − u ) n δ + D n δik , ik,ik∂xik , i(2.11)De même, cette équation fait intervenir un terme de transfert de masse à l’interface :II ∂ckI mk( ui− uki) nk,iδ+ Dknkiδ= ckKkck,+(2.12)∂xρikoù le premier terme traduit le transfert de l’espèce présent dans des situations avecchangement de phase, et où le second terme traduit le transfert interfacial de l’espèce liéaux gradients de concentration aux interfaces.Comme pour les écoulements turbulents monophasiques, on a recours à des prises demoyenne des équations. Dans la partie suivante, on va décrire les opérateurs de moyenne9