Analyse expérimentale et modélisation du transfert de matière et du ...

Chapitre 2: Modélisation à deux fluides de l’hydrodynamique et du transfert de masse dans les écoulements à bullesles équations locales instantanées de conservation de masse, de bilan de quantité demouvement et de transport d’un scalaire passif s’écrivent de façon générale :∂ρ∂+∂t∂xi( ρu) = 0ijj(2.1)∂ ∂∂( ρ ui) + ( ρuiuj) = σij+ ρgi(2.2)∂t∂x∂x∂ ∂ ∂ ∂c( c)+ ( cuj) = ( D ) + Sc(2.3)∂t∂x∂x∂xjjjoù uiest la vitesse dans la direction i, c la concentration,l’accélération de la pesanteur. Le tenseur des contraintesgiest la composante selon i deσijest donné parσij= − pδij+ τij, avec τijle tenseur des contraintes visqueuses exprimé par⎛ ∂uj u ⎞iulτijρν ⎜∂⎟2 ∂= + − ρν δij, où ν , ρ , D et S xixcreprésentent respectivement la⎝ ∂ ∂j ⎠ 3 ∂xlviscosité cinématique du fluide, sa masse volumique, la diffusivité moléculaire du scalaireet le terme source lié à la production ou la destruction du scalaire c par réaction chimiqueou activité biologique.Dans un milieu diphasique, les grandeurs physiques subissent des sauts aux interfaces. Laformulation des équations de la mécanique des milieux continus applicable à cesécoulements pose donc le problème de la prise en compte des multiples conditions auxlimites associées à la discontinuité des grandeurs sur toutes les interfaces en mouvement.Le formalisme des distributions des interfaces permet de généraliser la notion de fonctiondifférentiable à partir des fonctions continûment différentiables presque partout et doncuniquement discontinues sur l’ensemble des interfaces (Rietema et al., 1983).La méthode d’écriture des équations locales diphasiques consiste à reprendre celles desmilieux monophasiques pondérées par une fonction de présence de phase χ k, (Ishii,1975 ; Drew, 1983), définie par :⎧1si la phase k est présenteχk= ⎨k = 1,2(2.4)⎩0sinonLa fonction échelon χkvérifie les règles de dérivations suivantes (Ishii, 1975) :∂χkI= −nk, iδ∂xi∂χk= −u∂tIi∂χk I= uin∂xik,iδI(2.5)(2.6)8