Quelques mouvements particuliers - Lyceedadultes.fr

DERNIÈRE IMPRESSION LE 1 er août 2013 à 12:23Chapitre 6Quelques mouvements particuliersTable des matières1 Mouvement d’un projectile 21.1 Énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Équations horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Équation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.4 Calcul de la portée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5 Calcul de la flèche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Mouvement d’une charge 42.1 Énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Équations horaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Équation de la trajectoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5PAUL MILAN 1 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

1 MOUVEMENT D’UN PROJECTILE1 Mouvement d’un projectile1.1 Énoncé du problèmeOn lance un ballon de foot avec un angle α par rapport à l’horizontale avec unevitesse initiale v 0 .On peut alors faire le schéma suivant :y(t)F•M(t)•v 0 sin αv 0h−→ PαOv 0 cos αIx(t)•A1.2 Équations horairesLe référentiel terrestre peut être considéré comme galiléen car correspondant auxconditions de laboratoire.On considére le repère Oxy, plan correspondant au mouvement : Ox correspondantà l’horizontale et Oy à la verticale.La seule force extérieure au système (le ballon de foot) est le poids.−→D’après le PFD, on a : P = m⃗a ⇔ m⃗g = m⃗a ⇔ ⃗a =⃗gOn intègre deux fois le vecteur accélération, que l’on projette sur les deux axes,pour obtenir les équations horaires du système :0v 0 cos α⃗a⇒ ⃗v⇒ −−→v 0 cos α tOM∣−g∣ − gt+v 0 sin α∣ − 1 2 gt2 + v 0 sin α tOn obtient alors les équations horaires du mouvement suivantes :x(t) = v 0 cos α t (1)y(t) = − 1 2 gt2 + v 0 sin α t (2)1.3 Équation de la trajectoirePour obtenir l’équation de la trajectoire, il faut isoler t dans l’équation horaire (1)puis le remplacer dans l’équation horaire (2) :xDe (1), on a : t =v 0 cos αOn remplace dans (2) : y = − 1 ( )2 g x 2 )x+ v 0 sin α(v 0 cos αv 0 cos αPAUL MILAN 2 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

1.4 CALCUL DE LA PORTÉEOn obtient l’équation de la trajectoire suivante :y =1.4 Calcul de la portée−g2v 2 0 cos2 α x2 + tan α xLa trajectoire est donc une parabole. Pour déterminer la portée, il faut déterminerla distance OA, c’est à dire la distance x A où le ballon retombe sur le sol soit poury = 0.D’après l’équation de la trajectoire, on a :−g2v 2 0 cos2 α x2 + tan α x = 0⇔ xLa solution x A étant la solution non nulle, on a :−g2v 2 0 cos2 α x A+ tan α = 0x A = 2v2 0 cos2 α tan αgx A = 2v2 0cos α sin αg(−g2v 2 0 cos2 α x+tan α )= 0D’après les formules de duplication : sin 2α = 2 sin α cos α, on a :OA = x A = v2 0sin 2α2gRemarque : Pour déterminer la portée maximale, on doit avoir sin 2α = 1 quicorrespond à α = π 41.5 Calcul de la flècheLa flèche correspond à la hauteur maximale atteinte par le ballon. Sur notre schémala flèche correspond à la hauteur h atteinte pour l’abscisse OI.a) Première méthode : symétrie de la paraboleD’après la symétrie de la parabole, on a :On en déduit alors :−gh =2v 2 0 cos2 α OI2 + tan α OI=OI = OA2 = v2 0−g2v 2 0 cos2 α × v4 0 sin2 2α4g 2 + tan α× v2 0sin 2α2gsin 2α2g= − v2 0(2 sin α cos α)28g cos 2 + sin αα cos α × v2 0(2 sin α cos α)2g= − 4v2 0 sin2 α cos 2 α8g cos 2 α+ v2 0 sin2 αgPAUL MILAN 3 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

••2 MOUVEMENT D’UNE CHARGEh = − v2 0 sin2 α2g= v2 0 sin2 α2gb) Deuxième méthode : tangente horizontale+ v2 0 sin2 αgLa flèche est obtenue lorsque la vitesse est horizontale soit quand v y = 0On a alors : −gt+v 0 sin α = 0 ⇔ t = v 0 sin αgOn remplace alors dans l’équation horaire de y(t), on obtient :h = − 1 ( )2 × v0 sin α 2+ v 0 sin α× v 0 sin αgg= − v2 0 sin2 α2g= v2 0 sin2 α2g+ v2 0 sin2 αg2 Mouvement d’une charge à l’intérieur d’un champsélectrostatique2.1 Énoncé du problèmeOn considére une particule chargée en O de vitesse initiale v 0 à l’intérieur d’uncondensateur. On peut alors faire le schéma suivant :On note :• −→ E : le champ électrostatique uniformeà l’intérieur du condensateur.• U PN 1 : la différence de potentiel entreles deux plaques• q : la particule chargée en mouvement• −→ F = q −→ E : la force élétrostatiqueLe poids P est négligeable devant laforce électrostatique F (P/F ≃ 10 −8 )Le schéma ci-contre montre la trajectoirede la particule suivant le signe dela charge.On considère le repère Oxy+++++++++++++++U PN = V P − V N > 0M(t)•y––––−→ Fq0–−→M(t) F–x–O v 0 cos α–––−→ E–1. La notation de la différence de potentiel est l’inverse de la notation vectorielle.PAUL MILAN 4 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S

2.2 ÉQUATIONS HORAIRESLe référentiel terrestre peut-être considéré comme galiléen car correspondant auxconditions de laboratoire2.2 Équations horairesComme le poids est négligeable devant la force électrostatique, d’après le PFD,on a :−→ −→ q −→ F = m⃗a ⇔ qE = m⃗a ⇔ ⃗a = EmOn intègre deux fois le vecteur accélération, que l’on projette sur les deux axes,pour obtenir les équations horaire du système (la particule chargée) :qEqE⃗am ⇒ ⃗vm t+v 0 cos α⇒ −−→qEOM2m t2 + v 0 cos α t∣ 0 ∣ v 0 sin α ∣ v 0 sin α tOn obtient alors les équations horaires du mouvement suivantes :x(t) = qE2m t2 + v 0 cos α t (1)y(t) = v 0 sin α t (2)Remarque : Dans le cas particulier où α = π , on obtient les équations horaires2suivantes :x(t) = qE2m t2y(t) = v 0 t2.3 Équation de la trajectoirePour obtenir l’équation de la trajectoire, il faut isoler t dans l’équation horaire (2)puis le remplacer dans l’équation (1) :yDe (2), on a : t =v 0 sin αOn remplace dans (1) :x = qE2mOn obtient l’équation de la trajectoire suivante :x =( ) y 2 ( ) y+ v 0 cos αv 0 sin αv 0 sin αqE2mv 2 0 sin2 α y2 + ytan αOn obtient alors une parabole d’axe parallèle à l’axe Ox.Remarque : Dans le cas particulier où α = π , on a alors comme équation de la2trajectoire :x = qE2mv 2 y 20PAUL MILAN 5 PHYSIQUE-CHIMIE. TERMINALE S