Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

Proposition 3.2.3 E un Kev, E ∗ son dual.L’application E∗ × E → K est bilinéaire(y ∗ , x) ↦→< y ∗ , x >On l’appelle “crochet de dualité”.3.2.1 OrthogonalThéorème 3.2.4 Pour tout x ∈ E, l’ensemble x ⊥ = {y ∗ ∈ E ∗ , < y ∗ , x >= 0} est un sevde E ∗ appelé sous espace orthogonal de x.Plus généralement, si A ⊂ E, on poseA ⊥ = {y ∗ ∈ E ∗ , ∀a ∈ A, < y ∗ , a >= 0}A ⊥ est un sev de E ∗ , appelé sous espace orthogonal de A.Proposition 3.2.5 E ⊥ = {0}Théorème 3.2.6 Pour tout y ∗ ∈ E ∗ , on pose(y ∗ ) ◦ = {x ∈ E, < y ∗ , x >= 0}(y ∗ ) ◦ est un sev de E appelé sous espace orthogonal de y ∗si A ∗ ⊂ E ∗ ,(A ∗ ) ◦ = {x ∈ E, ∀a ∗ ∈ A ∗ , < a ∗ , x >= 0}(A ∗ ) ◦ est un sev de E, appelé sous espace orthogonal de A ∗ .Définition 3.2.7 y ∗ ∈ E ∗ et x ∈ E sont orthogonaux si et seulement si < y ∗ , x >= 0B ∗ ⊂ E ∗ et A ⊂ E sont orthogonaux si et seulement si∀y ∗ ∈ B ∗ , ∀x ∈ A, < y ∗ , x >= 0Proposition 3.2.8 B ∗ et A sont orthogonaux ssi B ∗ ⊂ A ⊥ ssi A ⊂ (B ∗ ) ◦Proposition 3.2.9 A, B parties de E, si A ⊂ B alors B ⊥ ⊂ A ⊥Proposition 3.2.10 ∀A ⊂ E ,Proposition 3.2.11 ∀A ⊂ E ,A ⊥ = (vect A) ⊥A ⊂ (A ⊥ ) ◦Remarque : A ∗ ⊂ B ∗ ⇒ (B ∗ ) ◦ ⊂ (A ∗ ) ◦ , (A ∗ ) ◦ = (vect A ∗ ) ◦ , A ∗ ⊂ ((A ∗ ) ◦ ) ⊥3.2.2 BidualDéfinition 3.2.12 On appelle bidual de l’espace vectoriel E, l’espace dual de E. On lenote E ∗∗ .E ∗∗ × E ∗ → K(x ∗∗ , y ∗ ) ↦→ x ∗∗ (y ∗ ) =< x ∗∗ , y ∗ >ESoit x ∈ E, on pose ˆx :∗ → Ky ∗ ↦→< y ∗ , x > =< ˆx, y ∗ >ˆx est linéaire.E → EThéorème 3.2.13 ψ :∗∗ est linéairex ↦→ ˆxOn l’appelle application linéaire canonique de E dans E ∗∗ .9