Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.
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2.1.2 Formules dans un anneau Aa)(I, J ensembles) ( )finis, (a i ) i∈I éléments de A , (b j ) j∈J éléments de A∑ ∑a i b j = ∑a i b ji∈I j∈J(i,j)∈I×Jb) Si A est commutatif, n ∈ N ∗ , a, b ∈ A∑n−1a n − b n = (a − b) a k b n−k−1(a + b) n =k=0n∑Cna k k b n−kk=0si A n’est pas commutatif, il suffit d’avoir ab = ba.2.1.3 Morphisme d’anneauf : A → B est { un morphisme d’anneau si et seulement sif(x + y) = f(x) + f(y) et∀(x, y) ∈ A 2 f(1{A} ) = 1 Bf(xy) = f(x)f(y)Remarque : si a est inversible dans A alors f(a) est inversible dans B et f(a −1 ) = (f(a)) −12.1.4 Sous anneauxDéfinition 2.1.4 (A, +, ×) un anneau, B ⊂ AB est un sous anneau de A si et seulement si. B est un sous-groupe additif de A. B est stable pour ×. B contient l’élément neutre 1Proposition 2.1.5 f : A → A ′ morphisme d’anneaux, B ⊂ A, B ′ ⊂ A ′ . On suppose Bsous anneau de A, B ′ sous anneau de AAlors f(B) est un sous anneau de A ′ et f −1 (B ′ ) est un sous anneau de AProposition 2.1.6 Une intersection quelconque de sous anneau de A est un sous ⋂ anneaude A. On peut définir le sous anneau engendré par une partie B commeA2.2 Corps :On appelle corps tout anneau ≠ {0} dont tout élément non nul est inversible.Propriété : Soit (K, +, ×) un corps6B⊂AA anneau
K\{0} est un groupe multiplicatifK n’admet pas de diviseur 0.Définition 2.2.1 On appelle morphisme de corps tout morphisme des anneaux sous jacants.Définition 2.2.2 K un corps L ⊂ KL est un sous corps de K si et seulement si L est un sous anneau de K qui est un corpsie si et seulement si1 ∈ L, ∀(x, y) ∈ L 2 x − y ∈ L, xy ∈ L∀x ∈ L\{0} x −1 ∈ L.L’intersection d’une famille de sous corps de K est un sous corps de K.7
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K\{0} est un groupe multiplicatifK n’admet pas <strong>de</strong> diviseur 0.Définition 2.2.1 On appelle morphisme <strong>de</strong> corps tout morphisme <strong>de</strong>s anneaux sous jacants.Définition 2.2.2 K un corps L ⊂ KL est un sous corps <strong>de</strong> K si et seulement si L est un sous anneau <strong>de</strong> K qui est un corpsie si et seulement si1 ∈ L, ∀(x, y) ∈ L 2 x − y ∈ L, xy ∈ L∀x ∈ L\{0} x −1 ∈ L.L’intersection d’une famille <strong>de</strong> sous corps <strong>de</strong> K est un sous corps <strong>de</strong> K.7
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