Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.
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Chapitre 7Espaces Euclidiens7.1 Définition - Exemples :Un espace euclidien est défini par la donnée- d’un espace vectoriel E de dimension finie sur R- d’une forme quadratique Q définie positive sur ELa forme bilinéaire s associée à Q s’appelle le produit scolaire associé à Q7.2 Métrique associé à un espace euclidien de dim nThéorème 7.2.1 E espace euclidienQ forme quadratique définie positive.On pose N(x) = (Q(x)) 1/2N est une norme sur E appelée norme euclidienne associée à (E, Q).On peut alors définir sur E une structure métrique en posantd(x, y) = N(x − y).Théorème 7.2.2 (E, Q) espace euclidien, B la f.b. symétrique associée à Q. Pour tout(x, y) ∈ E 2 , on a (B(x, y)) 2 ≤ Q(x)Q(y)l’égalité n’étant réalisée que si x et y sont colinéaires,Inégalité de Cauchy Schwarz.7.3 Propriétés des espaces euclidiens7.3.1 Sous espace euclidien(E, Q) espace euclidien, F sev de E.Q | F est une forme quadratique définie positive qui définit sur F une structure d’espaceeuclidien. On dit que F est un sous espace euclidien de E.24
7.3.2 Produit d’espaces euclidiens(E 1 , Q 1 ) espace euclidien, (E 2 , Q 2 ) espace euclidien.E = E 1 × E 2 .x = (x 1 , x 2 ) ↦→ Q(x) = Q 1 (x 1 ) + Q 2 (x 2 )Q est une forme quadratique définie positive sur E(E, Q) espace euclidien produit.B(x, y) = B(x 1 , y 1 ) + B(x 2 , y 2 )7.3.3 OrthogonalitéThéorème 7.3.1 Pour tout espace euclidien (E, Q) de dimension finie,pour tout sev F de E, on a E = F ⊕ F ⊥On dit que F ⊥ est le supplémentaire orthogonal de F .Théorème 7.3.2 (E, Q) espace euclidienF 1 , . . . , F k sev deux à deux orthogonaux tq E = ⊕ iF isi x = ∑ ion ax i est la décomposition sur les F i de xn∑Q(x) = Q(x i )i=1Relation de ParsevalQ(x) =n∑(B(x, e i )) 2i=1valable pour toute bonDéfinition 7.3.3 (E, Q) espace euclidien, e 1 , . . . , e p des vecteurs de E(e 1 , . . . , e p ) forme un système orthonormal si et seulement si ils sont deux à deux orthogonauxet leur norme égale à 1. ie B(e i , e j ) = δ ijRemarque : : Un système orthonormal est libre.Toute partie d’un système orthonormal est orthonormal.Théorème 7.3.4 Tout système orthonormal d’un espace euclidien de dimension finiepeut être complété en une base orthonormale.Théorème 7.3.5 Procédé d’orthonormalisation de Schmidt.Soit (v 1 , . . . , v n ) base quelconque de l’espace euclidien (E, Q)∃ ! (e 1 , . . . , e n ) b ◦ n de E tq∀p ∈ {1, . . . , n} B(e p , v p ) > 0 (7.1)∀p ∈ {1, . . . , n} < e 1 , . . . , e p >=< v 1 , . . . , v p > (7.2)25
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- Page 11 and 12: Proposition 3.3.5 E, F de dimension
- Page 13 and 14: 4.1.2 Propriétésa) Soit (x 1 , .
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- Page 17 and 18: Théorème 5.1.7 : u, v ∈ L(E). O
- Page 19 and 20: Chapitre 6Formes bilinéaires symé
- Page 21 and 22: On pose Q(x) = f(x, x)On a Q(λx) =
- Page 23: Définition 6.3.10 : E de dimension
7.3.2 Produit d’espaces euclidiens(E 1 , Q 1 ) espace euclidien, (E 2 , Q 2 ) espace euclidien.E = E 1 × E 2 .x = (x 1 , x 2 ) ↦→ Q(x) = Q 1 (x 1 ) + Q 2 (x 2 )Q est une forme quadratique définie positive sur E(E, Q) espace euclidien produit.B(x, y) = B(x 1 , y 1 ) + B(x 2 , y 2 )7.3.3 OrthogonalitéThéorème 7.3.1 Pour tout espace euclidien (E, Q) <strong>de</strong> dimension finie,pour tout sev F <strong>de</strong> E, on a E = F ⊕ F ⊥On dit que F ⊥ est le supplémentaire orthogonal <strong>de</strong> F .Théorème 7.3.2 (E, Q) espace euclidienF 1 , . . . , F k sev <strong>de</strong>ux à <strong>de</strong>ux orthogonaux tq E = ⊕ iF isi x = ∑ ion ax i est la décomposition sur les F i <strong>de</strong> xn∑Q(x) = Q(x i )i=1Relation <strong>de</strong> ParsevalQ(x) =n∑(B(x, e i )) 2i=1valable pour toute bonDéfinition 7.3.3 (E, Q) espace euclidien, e 1 , . . . , e p <strong>de</strong>s vecteurs <strong>de</strong> E(e 1 , . . . , e p ) forme un système orthonormal si et seulement si ils sont <strong>de</strong>ux à <strong>de</strong>ux orthogonauxet leur norme égale à 1. ie B(e i , e j ) = δ ijRemarque : : Un système orthonormal est libre.Toute partie d’un système orthonormal est orthonormal.Théorème 7.3.4 Tout système orthonormal d’un espace euclidien <strong>de</strong> dimension finiepeut être complété en une base orthonormale.Théorème 7.3.5 Procédé d’orthonormalisation <strong>de</strong> Schmidt.Soit (v 1 , . . . , v n ) base quelconque <strong>de</strong> l’espace euclidien (E, Q)∃ ! (e 1 , . . . , e n ) b ◦ n <strong>de</strong> E tq∀p ∈ {1, . . . , n} B(e p , v p ) > 0 (7.1)∀p ∈ {1, . . . , n} < e 1 , . . . , e p >=< v 1 , . . . , v p > (7.2)25
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