Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

Chapitre 7Espaces Euclidiens7.1 Définition - Exemples :Un espace euclidien est défini par la donnée- d’un espace vectoriel E de dimension finie sur R- d’une forme quadratique Q définie positive sur ELa forme bilinéaire s associée à Q s’appelle le produit scolaire associé à Q7.2 Métrique associé à un espace euclidien de dim nThéorème 7.2.1 E espace euclidienQ forme quadratique définie positive.On pose N(x) = (Q(x)) 1/2N est une norme sur E appelée norme euclidienne associée à (E, Q).On peut alors définir sur E une structure métrique en posantd(x, y) = N(x − y).Théorème 7.2.2 (E, Q) espace euclidien, B la f.b. symétrique associée à Q. Pour tout(x, y) ∈ E 2 , on a (B(x, y)) 2 ≤ Q(x)Q(y)l’égalité n’étant réalisée que si x et y sont colinéaires,Inégalité de Cauchy Schwarz.7.3 Propriétés des espaces euclidiens7.3.1 Sous espace euclidien(E, Q) espace euclidien, F sev de E.Q | F est une forme quadratique définie positive qui définit sur F une structure d’espaceeuclidien. On dit que F est un sous espace euclidien de E.24