Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

Définition 6.3.10 : E de dimension finie, q fq sur ELa base (e 1 , . . . , e n ) est orthogonale (pour q) si et seulement si∀i ≠ j B(e i , e j ) = 0La base (e 1 , . . . , e n ) est orthonormale si et seulement si B(e i , e j ) = δ ijThéorème 6.3.11 Pour toute forme quadratique q sur un espace vectoriel de dimensionfinie, il existe une base orthogonale.Il n’existe pas forcément de base orthonormale.Proposition 6.3.12 : Soit E un Kev de dimension finie.Pour toute fq q sur E, ∃ base de E telle que la matrice de q dans cette base soit diagonalei.e telle que l’on ait dans cette baseq(x) =n∑λ i x 2 ii=16.4 Classification des formes quadratiquesDéfinition 6.4.1 2 formes quadratiques q 1 et q 2 sur E sont équivalentes si et seulementil existe ϕ automorphisme de E telle que ∀x ∈ E, q 1 (x) = q 2 (ϕ(x))Théorème 6.4.2 Toute forme quadratique de rang r sur C n est équivalente à la formex 2 1 + . . . + x 2 nPour toute fq non dégénérée sur C n , il existe une base orthonormale (r = n).Théorème 6.4.3 (Théorème de la loi d’inertie de sylvester)Soit q une fq sur R n de rang r.q est équivalente à une forme du type x 2 1 + . . . + x 2 p − x 2 p+1 . . . − x 2 r où p ne dépend que deq.(p, r − p) := signature de q.Définition 6.4.4Une fq sur R n est définie positive ssi sa signature est (n, 0)” ” négative ssi sa signature est (0, n)Une fq de rang r est dite positive ssi sa signature est (r, 0)” ” négative ssi sa signature est (0, r)au lieu de signature, on dit de type (p, q)23