Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

6.3.2 Noyau :Remarque : si B ∈ BS(E),I = JDéfinition 6.3.4 : Le noyau de la fq Q sur E est le noyau de l’application I : E → E ∗associée à la forme polaire B de Q.N = noyau de Q= {x ∈ E, ∀y ∈ E, B(x, y) = 0}= E ⊥Proposition 6.3.5 : si dim E est finiUne fq est non dégénérée si et seulement si sa forme polaire est non dégénérée, si etseulement si son noyau est réduit à {0}.Théorème 6.3.6 E de dimension finie.Q une forme quadratique non dégénérée de forme polaire B.Pour toute forme linéaire ϕ sur E, il existe un unique y ∈ E telle que ϕ(x) = B(x, y)pour tout x ∈ E.Théorème 6.3.7 E de dimension finie.Q une fq non dégénérée.Pour tout sev H de E, on a1) dim H + dim H ⊥ = n2) (H ⊥ ) ⊥ = H.Conséquence : si A ⊂ E (A ⊥ ) ⊥ = Vect A.Remarque : M = (a ij ) 1≤1≤m(S)1≤j≤nrang de M = ordre du plus grand déterminant extrait de M non nul1 ≤ i ≤ n= dim < vect colonnes de M >n∑a ij x j = oj=irang du système (S) = rang de MSi rang de (S) est r alors l’ensemble des solutions de (S) forme un sev de K n de dimensionn − r.Définition 6.3.8 : E muni d’une forme quadratique qx ∈ E, x est isotrope si et seulement si q(x) = 0H ⊂ E, H est isotrope si et seulement si H ∩ H ⊥ ≠ {o}H est totalement istrope si et seulement si H ⊂ H ⊥Proposition 6.3.9 : E de dimension finie, H ⊂ E, q fq sur ESi H est non isotrope alors E = H ⊕ H ⊥ .22