Cours AlgÃ¨bre DeuxiÃ¨me annÃ©e de licence de MathÃ©matiques.

More documents

Recommendations

Info

⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1y 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟X = ⎝ . ⎠ Y = ⎝ . ⎠x n y nOn a f(x, y) = t XAY = t Y t AXsi de plus, A est symétrique, f(x, y) = t Y AXChangement de base :n∑n∑si x = x ′ i f i y = y i ′ fii=1i=1On poseP = Mat EF Id. On a X = P X ′si B = [f] F , B = t P APApplications associées :f ∈ B(E), si x ∈ E, on noteI :J :E → E ∗y → f(., y)E → E ∗x → f(x, .)I et J sont linéaires de E dans E ∗ .On suppose que E est de dimension finie.On a : [f] E = Mat E ∗ EI = t Mat E ∗ EJI et J sont transposées l’une de l’autre.Définition 6.1.2 : Soit E un Kev de dimension finie.f ∈ B(E)rang de f = rang de I = rang de JThéorème 6.1.3 : Le rang d’une forme bilinéaire sur un ev de dimension finie est égalau rang de la matrice de cette forme dans toute base de E.Définition 6.1.4 : E de dimension n, si rang de f = n, on dit que f est non dégénérée.Sinon f est dite dégénérée.f non dégénérée ⇔ det[f] E ≠ 0.6.2 Formes quadratiques :E un Kev de dimension finie, f ∈ B(E)f est symétrique si et seulement si ∀ E base de E, [f] E est symétrique.20
On pose Q(x) = f(x, x)On a Q(λx) = λ 2 Q(x) pour tout x ∈ E, λ ∈ Kf(x, y) = 1 2 (Q(x + y) − Q(x) − Q(y)) pour tout (x, y) ∈ E2 .Définition 6.2.1 : E de dimension finieUne forme quadratique sur E est une application Q : E → K qui s’exprime dans chaquebase de E sous la forme d’un polynôme homogène de degré 2 des variables coordonnéesou est identiquement nul.Théorème 6.2.2 : E de dimension finie, Q : E → KQ est une forme quadratique si et seulement si1)∀x ∈ E, ∀λ ∈ K Q(λx) = λ 2 Q(x)B2) L’application (x, y) ↦−→ 1 (Q(x + y) − Q(x) − Q(y)) est bilinéaire.2De plus, on a alors B(x, x) = Q(x).Théorème 6.2.3 L’application qui a toute forme bilinéaire symétrique B fait correspondrela fq associée définie par Q(x) = B(x, x) est un isomorphisme de BS(E) sur l’espacedes formes quadratiques sur EQ = fq associé à BB = fb associé à Q ou forme polaire associée à Qrang forme quadratique Q := rang B.discriminant de Q := discriminant de f.6.3 Orthogonalité6.3.1 Définitions :Définition 6.3.1 : f ∈ BS(E)x et y sont orthogonaux par rapport à f si et seulement si f(x, y) = 0.A ⊂ EA ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ A, f(x, y) = 0}Proposition 6.3.2 : E de dimension quelconque, f ∈ BS(E)1) ∀A ⊂ E , A ⊥ est un sev de E.2) {0} ⊥ = E3) (A ∪ B) ⊥ = A ⊥ ∩ B ⊥4) A → A ⊥ décroissante pour l’inclusion5) A ⊥ + B ⊥ ⊂ (A ∩ B) ⊥6) A ⊥ = (vect A) ⊥7) A ⊂ (A ⊥ ) ⊥ .Proposition 6.3.3 : E de dimension quelconque.F, G sev de E(F + G) ⊥ = F ⊥ ∩ G ⊥ .21
Page 6 and 7: 2.1.2 Formules dans un anneau Aa)(I
Page 9 and 10: Proposition 3.2.3 E un Kev, E ∗ s
Page 11 and 12: Proposition 3.3.5 E, F de dimension
Page 13 and 14: 4.1.2 Propriétésa) Soit (x 1 , .
Page 15 and 16: ∣ a 11 . . . . . . a 1n ∣∣∣
Page 17 and 18: Théorème 5.1.7 : u, v ∈ L(E). O
Page 19: Chapitre 6Formes bilinéaires symé
Page 23 and 24: Définition 6.3.10 : E de dimension
Page 25 and 26: 7.3.2 Produit d’espaces euclidien

Cours AlgÃ¨bre DeuxiÃ¨me annÃ©e de licence de MathÃ©matiques.

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?