Cours AlgÃ¨bre DeuxiÃ¨me annÃ©e de licence de MathÃ©matiques.

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5.2.3 Détermination pratique des vp et Vp5.2.4 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matriceM ∈ M n (K)Ce sont les vp et Vp de l’endomorphisme canoniquement associé à M.u : K n → K nMat u = M5.2.5 Endomorphismes diagonalisablesDéfinition 5.2.5 : P est scindé si et seulement si P est constant ou P admet des racinesdans K dont la somme des ordres de multiplicité est égale au degré de P .Théorème 5.2.6 : E de dimension n ≥ 1, u ∈ L(E). Les propriétés suivantes sontéquivalentes :1) u est diagonalisable.2) Il existe e base de E telle que Mat e u soit diagonale.3) Le polynôme caractéristique de u est scindé sur K et pour toute vp de u, la multiplicitéest égale à la dimension du sev propre associé.Corollaire 5.2.7 Tout endomorphisme de E Kev de dimension n qui admet n valeurspropres différentes est diagonisable.Définition 5.2.8 : M ∈ M n (K) M est diagonisablesi et seulement si l’endomorphisme canoniquement associé à M est diagonisable.si et seulement si il existe P ∈ M n (K) inversible, il existe D diagonalisable telle queM = P DP −1 .5.2.6 Endomorphismes trigonalisablesDéfinition 5.2.9 : E un Kev de dimension n ≥ 1, u ∈ L(E)u est trigonalisable si et seulement si il existe e base de E telle que Mat e u est triangulaire.Théorème 5.2.10 : u est trigonalisable si et seulement si χ u est scindé sur K.Définition 5.2.11 :M trigonalisable ssi l’endomorphisme de K n associé à M est trigonalisablessissiil existe P inversible telle que T = P −1 M P avec T triangulaireχ M est scindé sur K18
Chapitre 6Formes bilinéaires symétriquesFormes quadratiques6.1 Formes bilinéaires symétriques :E est un Kev, E ≠ {0}, K = R, C ou Q.Notation : On noteB(E) = {formes bilinéaires sur E}.BS(E) = {formes bilinéaires symétriques sur E}Si E est de dimension finie, f ∈ B(E), on note [f] E = (f(e i , e j )) 1≤i,j≤n où E = (e i , . . . , e n )est une base de E.Théorème 6.1.1 : On suppose E de dimension finie.1)et dim B(E) = n 2B(E) → M nn (K) est un isomorphisme vectorielf ↦→ [f] E2) On note S n (K) = {matrice symétrique n × n sur K}dim BS(E) = n(n+1)2.BS(E) → S n (K)est un isomorphisme d’evf ↦→ [f] E .Remarque : si E est de dimension finie, E base de Ef ∈ B(E)A = [f] E19
Page 6 and 7: 2.1.2 Formules dans un anneau Aa)(I
Page 9 and 10: Proposition 3.2.3 E un Kev, E ∗ s
Page 11 and 12: Proposition 3.3.5 E, F de dimension
Page 13 and 14: 4.1.2 Propriétésa) Soit (x 1 , .
Page 15 and 16: ∣ a 11 . . . . . . a 1n ∣∣∣
Page 17: Théorème 5.1.7 : u, v ∈ L(E). O
Page 21 and 22: On pose Q(x) = f(x, x)On a Q(λx) =
Page 23 and 24: Définition 6.3.10 : E de dimension
Page 25 and 26: 7.3.2 Produit d’espaces euclidien

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