Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

5.2.3 Détermination pratique des vp et Vp5.2.4 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matriceM ∈ M n (K)Ce sont les vp et Vp de l’endomorphisme canoniquement associé à M.u : K n → K nMat u = M5.2.5 Endomorphismes diagonalisablesDéfinition 5.2.5 : P est scindé si et seulement si P est constant ou P admet des racinesdans K dont la somme des ordres de multiplicité est égale au degré de P .Théorème 5.2.6 : E de dimension n ≥ 1, u ∈ L(E). Les propriétés suivantes sontéquivalentes :1) u est diagonalisable.2) Il existe e base de E telle que Mat e u soit diagonale.3) Le polynôme caractéristique de u est scindé sur K et pour toute vp de u, la multiplicitéest égale à la dimension du sev propre associé.Corollaire 5.2.7 Tout endomorphisme de E Kev de dimension n qui admet n valeurspropres différentes est diagonisable.Définition 5.2.8 : M ∈ M n (K) M est diagonisablesi et seulement si l’endomorphisme canoniquement associé à M est diagonisable.si et seulement si il existe P ∈ M n (K) inversible, il existe D diagonalisable telle queM = P DP −1 .5.2.6 Endomorphismes trigonalisablesDéfinition 5.2.9 : E un Kev de dimension n ≥ 1, u ∈ L(E)u est trigonalisable si et seulement si il existe e base de E telle que Mat e u est triangulaire.Théorème 5.2.10 : u est trigonalisable si et seulement si χ u est scindé sur K.Définition 5.2.11 :M trigonalisable ssi l’endomorphisme de K n associé à M est trigonalisablessissiil existe P inversible telle que T = P −1 M P avec T triangulaireχ M est scindé sur K18