Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.
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Chapitre 5Diagonalisation -Trigonalisation5.1 Sous espaces propresE est un Kev de dimension finie ou infinie.Rappel : E un Kev, F ⊂ E, u ∈ L(E)F stable par u si et seulement si u(F ) ⊂ F .Définition 5.1.1 : E un Kev, u ∈ L(E)S’il existe λ ∈ K, x ∈ E\{0} tq u(x) = λx alors on dit que λ est une valeur propre de uet que x est un vecteur propre de u, associé à la valeur propre λ.Définition 5.1.2 : Spectre de u = Sp u = {λ ∈ K, λ vp de u}Théorème 5.1.3 u ∈ L(E) , λ ∈ K , E(λ) = Ker(u − λId E )λ vp de u ⇔ u − λ Id E non injective⇔ Ker(u − λ Id E ) ≠ {0}Définition 5.1.4 : u ∈ L(E), λ vp de u, E(λ) = Ker(u−λId E ) est le sous espace proprede u associé à λ.Théorème 5.1.5 : u ∈ L(E), λ 1 , ..., λ n des valeurs propres deux à deux distinctes de u.Alors la sommeE(λ 1 ) + ... + E(λ n ) est directe.On pose E i = E(λ i ).Généralisation∑: soit (λ i ) i∈I une famille de vp deux à deux distinctes de u. On appellex i où (x i ) i∈I parcourt l’ensemble des familles presqueM i l’ensemble des sommes ∑i∈I i∈Inulles d’élements de E tq x i ∈ M i pour tout i ∈ I.La somme des sous espaces propres associés aux λ i est directe.∑Définition 5.1.6 : u ∈ L(E), Ker(u − λId E ) est directe.Lorsque ⊕λ∈Spuλ∈SpuKer(u − λId E ) = E on dit que u est diagonalisable.16
Théorème 5.1.7 : u, v ∈ L(E). On suppose u ◦ v = v ◦ u1) Tout sous espace propre de u est stable par v.2) Ker u et Im u sont stables par v.5.2 Diagonalisation - TrigonalisationNotation : E un Kev de dimension finie non nulle n.u ∈ L(E), Id E : E → E, I = Matrice unité n × nx → x,M = Mat e u, e base de EM = (a ij ) 1≤i,j≤n5.2.1 Polynôme caractéristique d’une matriceλ est un vp de u ssi λId E − u est non inversiblessi λI − M non inversiblessi det(λI − M) = 0XI − M est une matrice à coef dans K(X). Son déterminant est un polynôme dont lesracines sont les vp de u.On appelle polynôme caractéristique de M, le déterminant de XI − M. On le note χ Mχ M (X) =∣∣X − a 11 −a 12 . . . −a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣−a 21 X − a 22 −a 2n.−a n1 . . . X − a nnProposition 5.2.1 M et t M ont le même polynôme caractéristique.5.2.2 Polynôme caractéristique d’un endomorphismeThéorème 5.2.2 : u ∈ L(E), dimE = n ≥ 1Le polynôme caractéristique de la matrice qui représente u dans une base de E est indépendantdu choix de cette base. On l’appelle polynôme caractéristique de u, on le note χ u . Les vp deu sont les racines de χ u , l’ordre de multiplicité d’une racine λ de χ u , est dite multiplicitéde la valeur propre λ de u.Proposition 5.2.3 : u et t u ont le même polynôme caractéristique.Théorème 5.2.4 : u ∈ L(E), E ′ sev de E stable par u de dim p ≥ 1.On a u |E ′∈ L(E ′ ). On pose u ′ = u |E ′Alors χ u ′ divise χ u .17
- Page 6 and 7: 2.1.2 Formules dans un anneau Aa)(I
- Page 9 and 10: Proposition 3.2.3 E un Kev, E ∗ s
- Page 11 and 12: Proposition 3.3.5 E, F de dimension
- Page 13 and 14: 4.1.2 Propriétésa) Soit (x 1 , .
- Page 15: ∣ a 11 . . . . . . a 1n ∣∣∣
- Page 19 and 20: Chapitre 6Formes bilinéaires symé
- Page 21 and 22: On pose Q(x) = f(x, x)On a Q(λx) =
- Page 23 and 24: Définition 6.3.10 : E de dimension
- Page 25 and 26: 7.3.2 Produit d’espaces euclidien
Théorème 5.1.7 : u, v ∈ L(E). On suppose u ◦ v = v ◦ u1) Tout sous espace propre <strong>de</strong> u est stable par v.2) Ker u et Im u sont stables par v.5.2 Diagonalisation - TrigonalisationNotation : E un Kev <strong>de</strong> dimension finie non nulle n.u ∈ L(E), Id E : E → E, I = Matrice unité n × nx → x,M = Mat e u, e base <strong>de</strong> EM = (a ij ) 1≤i,j≤n5.2.1 Polynôme caractéristique d’une matriceλ est un vp <strong>de</strong> u ssi λId E − u est non inversiblessi λI − M non inversiblessi <strong>de</strong>t(λI − M) = 0XI − M est une matrice à coef dans K(X). Son déterminant est un polynôme dont lesracines sont les vp <strong>de</strong> u.On appelle polynôme caractéristique <strong>de</strong> M, le déterminant <strong>de</strong> XI − M. On le note χ Mχ M (X) =∣∣X − a 11 −a 12 . . . −a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣−a 21 X − a 22 −a 2n.−a n1 . . . X − a nnProposition 5.2.1 M et t M ont le même polynôme caractéristique.5.2.2 Polynôme caractéristique d’un endomorphismeThéorème 5.2.2 : u ∈ L(E), dimE = n ≥ 1Le polynôme caractéristique <strong>de</strong> la matrice qui représente u dans une base <strong>de</strong> E est indépendantdu choix <strong>de</strong> cette base. On l’appelle polynôme caractéristique <strong>de</strong> u, on le note χ u . Les vp <strong>de</strong>u sont les racines <strong>de</strong> χ u , l’ordre <strong>de</strong> multiplicité d’une racine λ <strong>de</strong> χ u , est dite multiplicité<strong>de</strong> la valeur propre λ <strong>de</strong> u.Proposition 5.2.3 : u et t u ont le même polynôme caractéristique.Théorème 5.2.4 : u ∈ L(E), E ′ sev <strong>de</strong> E stable par u <strong>de</strong> dim p ≥ 1.On a u |E ′∈ L(E ′ ). On pose u ′ = u |E ′Alors χ u ′ divise χ u .17
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