Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

Chapitre 5Diagonalisation -Trigonalisation5.1 Sous espaces propresE est un Kev de dimension finie ou infinie.Rappel : E un Kev, F ⊂ E, u ∈ L(E)F stable par u si et seulement si u(F ) ⊂ F .Définition 5.1.1 : E un Kev, u ∈ L(E)S’il existe λ ∈ K, x ∈ E\{0} tq u(x) = λx alors on dit que λ est une valeur propre de uet que x est un vecteur propre de u, associé à la valeur propre λ.Définition 5.1.2 : Spectre de u = Sp u = {λ ∈ K, λ vp de u}Théorème 5.1.3 u ∈ L(E) , λ ∈ K , E(λ) = Ker(u − λId E )λ vp de u ⇔ u − λ Id E non injective⇔ Ker(u − λ Id E ) ≠ {0}Définition 5.1.4 : u ∈ L(E), λ vp de u, E(λ) = Ker(u−λId E ) est le sous espace proprede u associé à λ.Théorème 5.1.5 : u ∈ L(E), λ 1 , ..., λ n des valeurs propres deux à deux distinctes de u.Alors la sommeE(λ 1 ) + ... + E(λ n ) est directe.On pose E i = E(λ i ).Généralisation∑: soit (λ i ) i∈I une famille de vp deux à deux distinctes de u. On appellex i où (x i ) i∈I parcourt l’ensemble des familles presqueM i l’ensemble des sommes ∑i∈I i∈Inulles d’élements de E tq x i ∈ M i pour tout i ∈ I.La somme des sous espaces propres associés aux λ i est directe.∑Définition 5.1.6 : u ∈ L(E), Ker(u − λId E ) est directe.Lorsque ⊕λ∈Spuλ∈SpuKer(u − λId E ) = E on dit que u est diagonalisable.16