Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

∣ a 11 . . . . . . a 1n ∣∣∣∣∣∣det M =.∣a n1 . . . . . . a nnRemarque : det M = det t M.det M = ∑ σ∈S nɛ(σ)= ∑ σ∈S nɛ(σ)n∏j=1n∏j=1a jσ(j)a σ(j)jPropriétés :1) Si on échange deux colonnes d’une matrice, son déterminant est transformé en sonopposé2)Le déterminant d’une matrice dépend linéairement de chacun de ses vecteurs colonnes3) Le déterminant d’une matrice ne change pas quand on ajoute à un de ses vecteurscolonnes une combinaison linéaire des autres vecteurs colonnes. Il est nul si l’un desvecteurs colonnes est combinaison linéaire des autres.4) idem avec les vecteurs lignes.Théorème 4.2.10 E Kev de dimension finie n ≥ 1Soit u ∈ L(E), e une base de E, M = mat e uAlors det u = det MRemarque : det u est indépendant de la base.Propriété :a) det I = 1b) ∀λ ∈ K ∀M ∈ M n (K) det λM = λ n det Mc) ∀(M, N) ∈ (M n (K)) 2 det NM = det N det Md) M est inversible si et seulement si det M ≠ 0On a alors det(M −1 ) = (det M) −1 .e) si M =( A C0 B), det M = det A det B15