Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

4.2.2 Application aux bases d’un espace vectorielProposition 4.2.4 Soit E un Kev de dimension non nulle net a = (a 1 , . . . , a n ) une base de E.Alors pour toute base e de E, det e (a 1 , . . . , a n ) ≠ 0.Proposition 4.2.5 Soit E un Kev de dimension n ≥ 1.Tout système lié de n vecteurs de E admet un déterminant nul dans toute base de E.Corollaire 4.2.6 E un Kev de dimension n ≥ 1, e base de E. Un système de n vecteursest libre si et seulement si le déterminant de ce système dans la base e est non nul.4.2.3 Déterminant d’un endomorphismeThéorème 4.2.7 Soit E un Kev de dimension n ≥ 1u ∈ L(E) u endomorphisme de EIl existe un unique scalaire, appelé déterminant de u et noté det u, tq ∀f ∈ A n (E),∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ E n , f(u(x 1 ), . . . , u(x n )) = (det u)f(x 1 , . . . , x n ).Remarque : det e (u(e 1 ), . . . , u(e n )) = det uProposition 4.2.8 E un Kev de dimension n ≥ 11) det Id E = 12) ∀λ ∈ K , ∀u ∈ L(E) , det(λu) = λ n det u3) ∀u ∈ L(E) , det t u = det u4)∀(u, v) ∈ L(E) e det v ◦ u = (det v)(det u)Conséquence : Soit E un Kev de dimension finie n ≥ 1u est inversible si et seulement si det u ≠ 0On a alors det u −1 = (det u) −1u ∈ L(E)4.2.4 Déterminant d’une matrice carréeDéfinition 4.2.9 Soit M = (a ij ) i,j une matrice n × n de K.déterminant de M = det Mla base canonique de K n⎛⎞a 11 a 12 . . . . . . a 1n.M =a i1 . . . a ij . . . a in⎜⎟⎝ .⎠a n1 . . . . . . . . . a nn= déterminant du système des vecteurs colonnes de M dans14