Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.
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Chapitre 4Déterminant4.1 Applications multilinéairesK = R ou C ou Q dans tout le chapitre.4.1.1 DéfinitionsK corps commutatif, E 1 , . . . , E p , F des Kev.f : E 1 × . . . × E p → F est p linéaire si et seulement si∀j ∈ {1, . . . , p}, ∀a k ∈ E k k ∈ {1, . . . , p}\{j}l’application E j → F est linéairex ↦→ f(a 1 , . . . , a j−1 , x, a j+1 , . . . , a p )Notation : σ ∈ S n f : E p → Ff σ E:p → F(x 1 , . . . , x p ) ↦→ f(x σ(1) , . . . , x σ(p))Définition 4.1.1 f : E p → F p linéairef est symétrique si et seulement si ∀σ ∈ S n , f σ = ff est antisymétrique si et seulement si ∀σ ∈ S n , ɛ(σ)f = f σf est alternée si et seulement si pour tout (x 1 , . . . , x p ) ∈ E p ,si ∃i, j ∈ {1, . . . , p} tq i ≠ j et x i = x j alors f(x 1 , . . . , x p ) = 0Proposition 4.1.2 {f : E 1 ×. . .×E p → F p linéaires} est un sev de l’ev des applicationsde E 1 × . . . × E p → F .On le note L p (E 1 , . . . , E p ; F ) ou L p (E p , F ) si E i = EA p (E, F ) = {f ∈ L p (E p , F ) , f alternée} est un sev deL p (E p , F ).S p (E, F ) = {′′ ′′Proposition 4.1.3 f : E p → F p linéairef est alternée ⇐⇒ f est antisymétriquef symétrique} est un sev deL p (E p , F ).12
4.1.2 Propriétésa) Soit (x 1 , . . . , x p ) ∈ E p , on suppose qu’ ∃i ∈ {1, . . . , p} tq x i = 0 alors f(x 1 , . . . , x p ) = 0b) f ∈ A p (E, F )p∑f(x 1 , . . . , x p ) = f(x 1 , . . . , x i + λ j x j , x i+1 , . . . , x p )j=1,j≠ic)f ∈ A p (E, F ) si x 1 , . . . , x p sont liésalors f(x 1 , . . . , x p ) = 0conséquence : si E est de dimension finie et dim E < palors A p (E, F ) = {0}d)Théorème : f ∈ L p (E p , F )On pose A(f) = ∑ σ∈S pɛ(σ)f σA(f) est l’antisymétrisée de fA(f) est alternée.4.2 DéterminantsE un Kev de dimension finie n.On note A n (E, K) = A n (E)E admet une base (e 1 , . . . , e n ) = eE ∗ admet la base duale (e ∗ 1, . . . , e ∗ n)4.2.1 Déterminant dans la base eProposition 4.2.1f : E n → K est une forme n linéaire(x 1 , . . . , x n ) ↦→ ∏ ni=1 < e∗ i , x i >On considère l’antisymétrisée de f, appelée déterminant dans la base e et notéedet e (x 1 , . . . , x n ) = ∑ n∏ɛ(σ) < e ∗ i , x σ(i) >σ∈S nOn a det e (e 1 , . . . , e n ) = 1i=1Théorème 4.2.2 A n (E) =< det e >Définition 4.2.3 det e (x 1 , . . . , x n ) = déterminant dans la base e du système des vecteurs(x 1 , . . . , x n ).dete (x 1, . . . , x n ) = ∑ σ∈S nɛ(σ)= ∑ σ∈S nɛ(σ)n∏< e ∗ j, x σ(j) >j=1n∏< e ∗ σ(j), x j >j=113
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- Page 11: Proposition 3.3.5 E, F de dimension
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- Page 17 and 18: Théorème 5.1.7 : u, v ∈ L(E). O
- Page 19 and 20: Chapitre 6Formes bilinéaires symé
- Page 21 and 22: On pose Q(x) = f(x, x)On a Q(λx) =
- Page 23 and 24: Définition 6.3.10 : E de dimension
- Page 25 and 26: 7.3.2 Produit d’espaces euclidien
4.1.2 Propriétésa) Soit (x 1 , . . . , x p ) ∈ E p , on suppose qu’ ∃i ∈ {1, . . . , p} tq x i = 0 alors f(x 1 , . . . , x p ) = 0b) f ∈ A p (E, F )p∑f(x 1 , . . . , x p ) = f(x 1 , . . . , x i + λ j x j , x i+1 , . . . , x p )j=1,j≠ic)f ∈ A p (E, F ) si x 1 , . . . , x p sont liésalors f(x 1 , . . . , x p ) = 0conséquence : si E est <strong>de</strong> dimension finie et dim E < palors A p (E, F ) = {0}d)Théorème : f ∈ L p (E p , F )On pose A(f) = ∑ σ∈S pɛ(σ)f σA(f) est l’antisymétrisée <strong>de</strong> fA(f) est alternée.4.2 DéterminantsE un Kev <strong>de</strong> dimension finie n.On note A n (E, K) = A n (E)E admet une base (e 1 , . . . , e n ) = eE ∗ admet la base duale (e ∗ 1, . . . , e ∗ n)4.2.1 Déterminant dans la base eProposition 4.2.1f : E n → K est une forme n linéaire(x 1 , . . . , x n ) ↦→ ∏ ni=1 < e∗ i , x i >On considère l’antisymétrisée <strong>de</strong> f, appelée déterminant dans la base e et notée<strong>de</strong>t e (x 1 , . . . , x n ) = ∑ n∏ɛ(σ) < e ∗ i , x σ(i) >σ∈S nOn a <strong>de</strong>t e (e 1 , . . . , e n ) = 1i=1Théorème 4.2.2 A n (E) =< <strong>de</strong>t e >Définition 4.2.3 <strong>de</strong>t e (x 1 , . . . , x n ) = déterminant dans la base e du système <strong>de</strong>s vecteurs(x 1 , . . . , x n ).<strong>de</strong>te (x 1, . . . , x n ) = ∑ σ∈S nɛ(σ)= ∑ σ∈S nɛ(σ)n∏< e ∗ j, x σ(j) >j=1n∏< e ∗ σ(j), x j >j=113
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