Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

Chapitre 4Déterminant4.1 Applications multilinéairesK = R ou C ou Q dans tout le chapitre.4.1.1 DéfinitionsK corps commutatif, E 1 , . . . , E p , F des Kev.f : E 1 × . . . × E p → F est p linéaire si et seulement si∀j ∈ {1, . . . , p}, ∀a k ∈ E k k ∈ {1, . . . , p}\{j}l’application E j → F est linéairex ↦→ f(a 1 , . . . , a j−1 , x, a j+1 , . . . , a p )Notation : σ ∈ S n f : E p → Ff σ E:p → F(x 1 , . . . , x p ) ↦→ f(x σ(1) , . . . , x σ(p))Définition 4.1.1 f : E p → F p linéairef est symétrique si et seulement si ∀σ ∈ S n , f σ = ff est antisymétrique si et seulement si ∀σ ∈ S n , ɛ(σ)f = f σf est alternée si et seulement si pour tout (x 1 , . . . , x p ) ∈ E p ,si ∃i, j ∈ {1, . . . , p} tq i ≠ j et x i = x j alors f(x 1 , . . . , x p ) = 0Proposition 4.1.2 {f : E 1 ×. . .×E p → F p linéaires} est un sev de l’ev des applicationsde E 1 × . . . × E p → F .On le note L p (E 1 , . . . , E p ; F ) ou L p (E p , F ) si E i = EA p (E, F ) = {f ∈ L p (E p , F ) , f alternée} est un sev deL p (E p , F ).S p (E, F ) = {′′ ′′Proposition 4.1.3 f : E p → F p linéairef est alternée ⇐⇒ f est antisymétriquef symétrique} est un sev deL p (E p , F ).12