Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.
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3.2.3 Transposition :E, F des Kev, u ∈ L(E, F ).on pose t Fu :∗ → E ∗y ∗ ↦→ t u(y ∗ ) = y ∗ ◦ u.C’est la transposée de u.Théorème 3.2.14 si u ∈ L(E, F ) alors t u ∈ L(F ∗ , E ∗ )Autre écriture de la transposée∀y ∗ ∈ F ∗ ∀x ∈ E ( t u(y ∗ ))(x) = y ∗ (u(x))ie “′′< t u(y ∗ ), x >=< y ∗ , u(x) >Théorème 3.2.15 L’applicationOn l’appelle transposition.L(E, F ) → L(F ∗ , E ∗ ) est linéaireu ↦→ t uProposition 3.2.161) Pour tous u ∈ L(E, F ) , v ∈ L(F, G) t (v ◦ u) = t u ◦ t v.2) t (Id E ) = Id E ∗3) Si u ∈ L(E, F ) est bijective alors t u est bijective et t (u −1 ) = ( t u) −14) Soit u ∈ L(E, F ) alors Ker( t u) = (Im u) ⊥Corollaire 3.2.17 Si u est surjective alors t u est injective.Théorème 3.2.18 ψ E , ψ F les applications canoniques E → E ∗∗ , F → F ∗∗ alors pourtout u ∈ L(E, F ), l’élément t ( t u) ∈ L (E ∗∗ , F ∗∗ ) vérifie t ( t u) ◦ ψ E = ψ F ◦ u3.3 Dualité en dimension finieE, F sont des Kev de dimension finie pour tout ce paragraphe.Théorème 3.3.1 dim E = dim E ∗ si E de dimension finie.3.3.1 Base duale(e 1 , . . . , e n ) base de E.On définit e ∗ i ∈ L(E, K) pare ∗ i (e j ) = δ ij .(e ∗ 1, . . . , e ∗ n) est la base duale de (e 1 , . . . , e n ).Proposition 3.3.2 Si E est de dimension finie, (E ∗ ) 0 = {0}Théorème 3.3.3 ψ : E → E ∗∗ application canoniqueSi dim E finie alors ψ est un isomorphisme.Théorème 3.3.4 E est un Kev de dimension finie. L’application qui a toute base de Eassocie sa duale est une bijection de l’ensemble des bases de E sur l’ensemble des basesde E ∗ .10
Proposition 3.3.5 E, F de dimension finie.La transposition est un isomorphisme de L(E, F ) sur L(F ∗ , E ∗ ).Théorème 3.3.6 E un Kev de dimension finie, E ∗ son dual.Pour tout sous espace vectoriel F de E, on aPour tout sous espace G ∗ de E ∗ , on adim F + dim F ⊥ = dim E et F = (F ⊥ ) 0dim G ∗ + dim(G ∗ ) 0 = dim E et G ∗ = (G ∗0 ) ⊥Corollaire 3.3.7 E, F des Kev de dimension finie, u ∈ L(E, F )rg u = rg t u.3.4 Transposition et matricesDéfinition 3.4.1 M = (a ij ) 1≤i≤ndans M np (K)1≤j≤pOn appelle matrice transposée de M et on note t M, l’élément de M pn (K) ,t M = (b ij ) défini par1≤i≤p1≤j≤nThéorème 3.4.2∀(i, j) ∈ N p × N n , b ij = a jiE Kev de dimp > 0, F Kev de dim n > 0(e 1 , e p ) base de E (f 1 , . . . , f n ) base de Fu ∈ L(E, F )On note M = Mat (f,e) uAlors t M = Mat (e ∗ ,f ∗ ) t uoù e ∗ base duale de e et f ∗ base duale de f.Corollaire 3.4.3 1) M → t M est un isomorphisme de M np (K) dans M pn (K)2) si le produit BA existe alors le produit t A t B existe et t (BA) = t A t B3) Si A est une matrice carrée inversible alors t A est inversible et ( t A) −1 = t (A −1 )11
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Proposition 3.3.5 E, F <strong>de</strong> dimension finie.La transposition est un isomorphisme <strong>de</strong> L(E, F ) sur L(F ∗ , E ∗ ).Théorème 3.3.6 E un Kev <strong>de</strong> dimension finie, E ∗ son dual.Pour tout sous espace vectoriel F <strong>de</strong> E, on aPour tout sous espace G ∗ <strong>de</strong> E ∗ , on adim F + dim F ⊥ = dim E et F = (F ⊥ ) 0dim G ∗ + dim(G ∗ ) 0 = dim E et G ∗ = (G ∗0 ) ⊥Corollaire 3.3.7 E, F <strong>de</strong>s Kev <strong>de</strong> dimension finie, u ∈ L(E, F )rg u = rg t u.3.4 Transposition et matricesDéfinition 3.4.1 M = (a ij ) 1≤i≤ndans M np (K)1≤j≤pOn appelle matrice transposée <strong>de</strong> M et on note t M, l’élément <strong>de</strong> M pn (K) ,t M = (b ij ) défini par1≤i≤p1≤j≤nThéorème 3.4.2∀(i, j) ∈ N p × N n , b ij = a jiE Kev <strong>de</strong> dimp > 0, F Kev <strong>de</strong> dim n > 0(e 1 , e p ) base <strong>de</strong> E (f 1 , . . . , f n ) base <strong>de</strong> Fu ∈ L(E, F )On note M = Mat (f,e) uAlors t M = Mat (e ∗ ,f ∗ ) t uoù e ∗ base duale <strong>de</strong> e et f ∗ base duale <strong>de</strong> f.Corollaire 3.4.3 1) M → t M est un isomorphisme <strong>de</strong> M np (K) dans M pn (K)2) si le produit BA existe alors le produit t A t B existe et t (BA) = t A t B3) Si A est une matrice carrée inversible alors t A est inversible et ( t A) −1 = t (A −1 )11
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