Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

3.2.3 Transposition :E, F des Kev, u ∈ L(E, F ).on pose t Fu :∗ → E ∗y ∗ ↦→ t u(y ∗ ) = y ∗ ◦ u.C’est la transposée de u.Théorème 3.2.14 si u ∈ L(E, F ) alors t u ∈ L(F ∗ , E ∗ )Autre écriture de la transposée∀y ∗ ∈ F ∗ ∀x ∈ E ( t u(y ∗ ))(x) = y ∗ (u(x))ie “′′< t u(y ∗ ), x >=< y ∗ , u(x) >Théorème 3.2.15 L’applicationOn l’appelle transposition.L(E, F ) → L(F ∗ , E ∗ ) est linéaireu ↦→ t uProposition 3.2.161) Pour tous u ∈ L(E, F ) , v ∈ L(F, G) t (v ◦ u) = t u ◦ t v.2) t (Id E ) = Id E ∗3) Si u ∈ L(E, F ) est bijective alors t u est bijective et t (u −1 ) = ( t u) −14) Soit u ∈ L(E, F ) alors Ker( t u) = (Im u) ⊥Corollaire 3.2.17 Si u est surjective alors t u est injective.Théorème 3.2.18 ψ E , ψ F les applications canoniques E → E ∗∗ , F → F ∗∗ alors pourtout u ∈ L(E, F ), l’élément t ( t u) ∈ L (E ∗∗ , F ∗∗ ) vérifie t ( t u) ◦ ψ E = ψ F ◦ u3.3 Dualité en dimension finieE, F sont des Kev de dimension finie pour tout ce paragraphe.Théorème 3.3.1 dim E = dim E ∗ si E de dimension finie.3.3.1 Base duale(e 1 , . . . , e n ) base de E.On définit e ∗ i ∈ L(E, K) pare ∗ i (e j ) = δ ij .(e ∗ 1, . . . , e ∗ n) est la base duale de (e 1 , . . . , e n ).Proposition 3.3.2 Si E est de dimension finie, (E ∗ ) 0 = {0}Théorème 3.3.3 ψ : E → E ∗∗ application canoniqueSi dim E finie alors ψ est un isomorphisme.Théorème 3.3.4 E est un Kev de dimension finie. L’application qui a toute base de Eassocie sa duale est une bijection de l’ensemble des bases de E sur l’ensemble des basesde E ∗ .10