Cours Algèbre Deuxième année de licence de Mathématiques.

2.1.2 Formules dans un anneau Aa)(I, J ensembles) ( )finis, (a i ) i∈I éléments de A , (b j ) j∈J éléments de A∑ ∑a i b j = ∑a i b ji∈I j∈J(i,j)∈I×Jb) Si A est commutatif, n ∈ N ∗ , a, b ∈ A∑n−1a n − b n = (a − b) a k b n−k−1(a + b) n =k=0n∑Cna k k b n−kk=0si A n’est pas commutatif, il suffit d’avoir ab = ba.2.1.3 Morphisme d’anneauf : A → B est { un morphisme d’anneau si et seulement sif(x + y) = f(x) + f(y) et∀(x, y) ∈ A 2 f(1{A} ) = 1 Bf(xy) = f(x)f(y)Remarque : si a est inversible dans A alors f(a) est inversible dans B et f(a −1 ) = (f(a)) −12.1.4 Sous anneauxDéfinition 2.1.4 (A, +, ×) un anneau, B ⊂ AB est un sous anneau de A si et seulement si. B est un sous-groupe additif de A. B est stable pour ×. B contient l’élément neutre 1Proposition 2.1.5 f : A → A ′ morphisme d’anneaux, B ⊂ A, B ′ ⊂ A ′ . On suppose Bsous anneau de A, B ′ sous anneau de AAlors f(B) est un sous anneau de A ′ et f −1 (B ′ ) est un sous anneau de AProposition 2.1.6 Une intersection quelconque de sous anneau de A est un sous ⋂ anneaude A. On peut définir le sous anneau engendré par une partie B commeA2.2 Corps :On appelle corps tout anneau ≠ {0} dont tout élément non nul est inversible.Propriété : Soit (K, +, ×) un corps6B⊂AA anneau

K\{0} est un groupe multiplicatifK n’admet pas de diviseur 0.Définition 2.2.1 On appelle morphisme de corps tout morphisme des anneaux sous jacants.Définition 2.2.2 K un corps L ⊂ KL est un sous corps de K si et seulement si L est un sous anneau de K qui est un corpsie si et seulement si1 ∈ L, ∀(x, y) ∈ L 2 x − y ∈ L, xy ∈ L∀x ∈ L\{0} x −1 ∈ L.L’intersection d’une famille de sous corps de K est un sous corps de K.7

Proposition 3.2.3 E un Kev, E ∗ son dual.L’application E∗ × E → K est bilinéaire(y ∗ , x) ↦→< y ∗ , x >On l’appelle “crochet de dualité”.3.2.1 OrthogonalThéorème 3.2.4 Pour tout x ∈ E, l’ensemble x ⊥ = {y ∗ ∈ E ∗ , < y ∗ , x >= 0} est un sevde E ∗ appelé sous espace orthogonal de x.Plus généralement, si A ⊂ E, on poseA ⊥ = {y ∗ ∈ E ∗ , ∀a ∈ A, < y ∗ , a >= 0}A ⊥ est un sev de E ∗ , appelé sous espace orthogonal de A.Proposition 3.2.5 E ⊥ = {0}Théorème 3.2.6 Pour tout y ∗ ∈ E ∗ , on pose(y ∗ ) ◦ = {x ∈ E, < y ∗ , x >= 0}(y ∗ ) ◦ est un sev de E appelé sous espace orthogonal de y ∗si A ∗ ⊂ E ∗ ,(A ∗ ) ◦ = {x ∈ E, ∀a ∗ ∈ A ∗ , < a ∗ , x >= 0}(A ∗ ) ◦ est un sev de E, appelé sous espace orthogonal de A ∗ .Définition 3.2.7 y ∗ ∈ E ∗ et x ∈ E sont orthogonaux si et seulement si < y ∗ , x >= 0B ∗ ⊂ E ∗ et A ⊂ E sont orthogonaux si et seulement si∀y ∗ ∈ B ∗ , ∀x ∈ A, < y ∗ , x >= 0Proposition 3.2.8 B ∗ et A sont orthogonaux ssi B ∗ ⊂ A ⊥ ssi A ⊂ (B ∗ ) ◦Proposition 3.2.9 A, B parties de E, si A ⊂ B alors B ⊥ ⊂ A ⊥Proposition 3.2.10 ∀A ⊂ E ,Proposition 3.2.11 ∀A ⊂ E ,A ⊥ = (vect A) ⊥A ⊂ (A ⊥ ) ◦Remarque : A ∗ ⊂ B ∗ ⇒ (B ∗ ) ◦ ⊂ (A ∗ ) ◦ , (A ∗ ) ◦ = (vect A ∗ ) ◦ , A ∗ ⊂ ((A ∗ ) ◦ ) ⊥3.2.2 BidualDéfinition 3.2.12 On appelle bidual de l’espace vectoriel E, l’espace dual de E. On lenote E ∗∗ .E ∗∗ × E ∗ → K(x ∗∗ , y ∗ ) ↦→ x ∗∗ (y ∗ ) =< x ∗∗ , y ∗ >ESoit x ∈ E, on pose ˆx :∗ → Ky ∗ ↦→< y ∗ , x > =< ˆx, y ∗ >ˆx est linéaire.E → EThéorème 3.2.13 ψ :∗∗ est linéairex ↦→ ˆxOn l’appelle application linéaire canonique de E dans E ∗∗ .9

3.2.3 Transposition :E, F des Kev, u ∈ L(E, F ).on pose t Fu :∗ → E ∗y ∗ ↦→ t u(y ∗ ) = y ∗ ◦ u.C’est la transposée de u.Théorème 3.2.14 si u ∈ L(E, F ) alors t u ∈ L(F ∗ , E ∗ )Autre écriture de la transposée∀y ∗ ∈ F ∗ ∀x ∈ E ( t u(y ∗ ))(x) = y ∗ (u(x))ie “′′< t u(y ∗ ), x >=< y ∗ , u(x) >Théorème 3.2.15 L’applicationOn l’appelle transposition.L(E, F ) → L(F ∗ , E ∗ ) est linéaireu ↦→ t uProposition 3.2.161) Pour tous u ∈ L(E, F ) , v ∈ L(F, G) t (v ◦ u) = t u ◦ t v.2) t (Id E ) = Id E ∗3) Si u ∈ L(E, F ) est bijective alors t u est bijective et t (u −1 ) = ( t u) −14) Soit u ∈ L(E, F ) alors Ker( t u) = (Im u) ⊥Corollaire 3.2.17 Si u est surjective alors t u est injective.Théorème 3.2.18 ψ E , ψ F les applications canoniques E → E ∗∗ , F → F ∗∗ alors pourtout u ∈ L(E, F ), l’élément t ( t u) ∈ L (E ∗∗ , F ∗∗ ) vérifie t ( t u) ◦ ψ E = ψ F ◦ u3.3 Dualité en dimension finieE, F sont des Kev de dimension finie pour tout ce paragraphe.Théorème 3.3.1 dim E = dim E ∗ si E de dimension finie.3.3.1 Base duale(e 1 , . . . , e n ) base de E.On définit e ∗ i ∈ L(E, K) pare ∗ i (e j ) = δ ij .(e ∗ 1, . . . , e ∗ n) est la base duale de (e 1 , . . . , e n ).Proposition 3.3.2 Si E est de dimension finie, (E ∗ ) 0 = {0}Théorème 3.3.3 ψ : E → E ∗∗ application canoniqueSi dim E finie alors ψ est un isomorphisme.Théorème 3.3.4 E est un Kev de dimension finie. L’application qui a toute base de Eassocie sa duale est une bijection de l’ensemble des bases de E sur l’ensemble des basesde E ∗ .10

Proposition 3.3.5 E, F de dimension finie.La transposition est un isomorphisme de L(E, F ) sur L(F ∗ , E ∗ ).Théorème 3.3.6 E un Kev de dimension finie, E ∗ son dual.Pour tout sous espace vectoriel F de E, on aPour tout sous espace G ∗ de E ∗ , on adim F + dim F ⊥ = dim E et F = (F ⊥ ) 0dim G ∗ + dim(G ∗ ) 0 = dim E et G ∗ = (G ∗0 ) ⊥Corollaire 3.3.7 E, F des Kev de dimension finie, u ∈ L(E, F )rg u = rg t u.3.4 Transposition et matricesDéfinition 3.4.1 M = (a ij ) 1≤i≤ndans M np (K)1≤j≤pOn appelle matrice transposée de M et on note t M, l’élément de M pn (K) ,t M = (b ij ) défini par1≤i≤p1≤j≤nThéorème 3.4.2∀(i, j) ∈ N p × N n , b ij = a jiE Kev de dimp > 0, F Kev de dim n > 0(e 1 , e p ) base de E (f 1 , . . . , f n ) base de Fu ∈ L(E, F )On note M = Mat (f,e) uAlors t M = Mat (e ∗ ,f ∗ ) t uoù e ∗ base duale de e et f ∗ base duale de f.Corollaire 3.4.3 1) M → t M est un isomorphisme de M np (K) dans M pn (K)2) si le produit BA existe alors le produit t A t B existe et t (BA) = t A t B3) Si A est une matrice carrée inversible alors t A est inversible et ( t A) −1 = t (A −1 )11

Chapitre 4Déterminant4.1 Applications multilinéairesK = R ou C ou Q dans tout le chapitre.4.1.1 DéfinitionsK corps commutatif, E 1 , . . . , E p , F des Kev.f : E 1 × . . . × E p → F est p linéaire si et seulement si∀j ∈ {1, . . . , p}, ∀a k ∈ E k k ∈ {1, . . . , p}\{j}l’application E j → F est linéairex ↦→ f(a 1 , . . . , a j−1 , x, a j+1 , . . . , a p )Notation : σ ∈ S n f : E p → Ff σ E:p → F(x 1 , . . . , x p ) ↦→ f(x σ(1) , . . . , x σ(p))Définition 4.1.1 f : E p → F p linéairef est symétrique si et seulement si ∀σ ∈ S n , f σ = ff est antisymétrique si et seulement si ∀σ ∈ S n , ɛ(σ)f = f σf est alternée si et seulement si pour tout (x 1 , . . . , x p ) ∈ E p ,si ∃i, j ∈ {1, . . . , p} tq i ≠ j et x i = x j alors f(x 1 , . . . , x p ) = 0Proposition 4.1.2 {f : E 1 ×. . .×E p → F p linéaires} est un sev de l’ev des applicationsde E 1 × . . . × E p → F .On le note L p (E 1 , . . . , E p ; F ) ou L p (E p , F ) si E i = EA p (E, F ) = {f ∈ L p (E p , F ) , f alternée} est un sev deL p (E p , F ).S p (E, F ) = {′′ ′′Proposition 4.1.3 f : E p → F p linéairef est alternée ⇐⇒ f est antisymétriquef symétrique} est un sev deL p (E p , F ).12

4.1.2 Propriétésa) Soit (x 1 , . . . , x p ) ∈ E p , on suppose qu’ ∃i ∈ {1, . . . , p} tq x i = 0 alors f(x 1 , . . . , x p ) = 0b) f ∈ A p (E, F )p∑f(x 1 , . . . , x p ) = f(x 1 , . . . , x i + λ j x j , x i+1 , . . . , x p )j=1,j≠ic)f ∈ A p (E, F ) si x 1 , . . . , x p sont liésalors f(x 1 , . . . , x p ) = 0conséquence : si E est de dimension finie et dim E < palors A p (E, F ) = {0}d)Théorème : f ∈ L p (E p , F )On pose A(f) = ∑ σ∈S pɛ(σ)f σA(f) est l’antisymétrisée de fA(f) est alternée.4.2 DéterminantsE un Kev de dimension finie n.On note A n (E, K) = A n (E)E admet une base (e 1 , . . . , e n ) = eE ∗ admet la base duale (e ∗ 1, . . . , e ∗ n)4.2.1 Déterminant dans la base eProposition 4.2.1f : E n → K est une forme n linéaire(x 1 , . . . , x n ) ↦→ ∏ ni=1 < e∗ i , x i >On considère l’antisymétrisée de f, appelée déterminant dans la base e et notéedet e (x 1 , . . . , x n ) = ∑ n∏ɛ(σ) < e ∗ i , x σ(i) >σ∈S nOn a det e (e 1 , . . . , e n ) = 1i=1Théorème 4.2.2 A n (E) =< det e >Définition 4.2.3 det e (x 1 , . . . , x n ) = déterminant dans la base e du système des vecteurs(x 1 , . . . , x n ).dete (x 1, . . . , x n ) = ∑ σ∈S nɛ(σ)= ∑ σ∈S nɛ(σ)n∏< e ∗ j, x σ(j) >j=1n∏< e ∗ σ(j), x j >j=113

4.2.2 Application aux bases d’un espace vectorielProposition 4.2.4 Soit E un Kev de dimension non nulle net a = (a 1 , . . . , a n ) une base de E.Alors pour toute base e de E, det e (a 1 , . . . , a n ) ≠ 0.Proposition 4.2.5 Soit E un Kev de dimension n ≥ 1.Tout système lié de n vecteurs de E admet un déterminant nul dans toute base de E.Corollaire 4.2.6 E un Kev de dimension n ≥ 1, e base de E. Un système de n vecteursest libre si et seulement si le déterminant de ce système dans la base e est non nul.4.2.3 Déterminant d’un endomorphismeThéorème 4.2.7 Soit E un Kev de dimension n ≥ 1u ∈ L(E) u endomorphisme de EIl existe un unique scalaire, appelé déterminant de u et noté det u, tq ∀f ∈ A n (E),∀(x 1 , . . . , x n ) ∈ E n , f(u(x 1 ), . . . , u(x n )) = (det u)f(x 1 , . . . , x n ).Remarque : det e (u(e 1 ), . . . , u(e n )) = det uProposition 4.2.8 E un Kev de dimension n ≥ 11) det Id E = 12) ∀λ ∈ K , ∀u ∈ L(E) , det(λu) = λ n det u3) ∀u ∈ L(E) , det t u = det u4)∀(u, v) ∈ L(E) e det v ◦ u = (det v)(det u)Conséquence : Soit E un Kev de dimension finie n ≥ 1u est inversible si et seulement si det u ≠ 0On a alors det u −1 = (det u) −1u ∈ L(E)4.2.4 Déterminant d’une matrice carréeDéfinition 4.2.9 Soit M = (a ij ) i,j une matrice n × n de K.déterminant de M = det Mla base canonique de K n⎛⎞a 11 a 12 . . . . . . a 1n.M =a i1 . . . a ij . . . a in⎜⎟⎝ .⎠a n1 . . . . . . . . . a nn= déterminant du système des vecteurs colonnes de M dans14

∣ a 11 . . . . . . a 1n ∣∣∣∣∣∣det M =.∣a n1 . . . . . . a nnRemarque : det M = det t M.det M = ∑ σ∈S nɛ(σ)= ∑ σ∈S nɛ(σ)n∏j=1n∏j=1a jσ(j)a σ(j)jPropriétés :1) Si on échange deux colonnes d’une matrice, son déterminant est transformé en sonopposé2)Le déterminant d’une matrice dépend linéairement de chacun de ses vecteurs colonnes3) Le déterminant d’une matrice ne change pas quand on ajoute à un de ses vecteurscolonnes une combinaison linéaire des autres vecteurs colonnes. Il est nul si l’un desvecteurs colonnes est combinaison linéaire des autres.4) idem avec les vecteurs lignes.Théorème 4.2.10 E Kev de dimension finie n ≥ 1Soit u ∈ L(E), e une base de E, M = mat e uAlors det u = det MRemarque : det u est indépendant de la base.Propriété :a) det I = 1b) ∀λ ∈ K ∀M ∈ M n (K) det λM = λ n det Mc) ∀(M, N) ∈ (M n (K)) 2 det NM = det N det Md) M est inversible si et seulement si det M ≠ 0On a alors det(M −1 ) = (det M) −1 .e) si M =( A C0 B), det M = det A det B15

Chapitre 5Diagonalisation -Trigonalisation5.1 Sous espaces propresE est un Kev de dimension finie ou infinie.Rappel : E un Kev, F ⊂ E, u ∈ L(E)F stable par u si et seulement si u(F ) ⊂ F .Définition 5.1.1 : E un Kev, u ∈ L(E)S’il existe λ ∈ K, x ∈ E\{0} tq u(x) = λx alors on dit que λ est une valeur propre de uet que x est un vecteur propre de u, associé à la valeur propre λ.Définition 5.1.2 : Spectre de u = Sp u = {λ ∈ K, λ vp de u}Théorème 5.1.3 u ∈ L(E) , λ ∈ K , E(λ) = Ker(u − λId E )λ vp de u ⇔ u − λ Id E non injective⇔ Ker(u − λ Id E ) ≠ {0}Définition 5.1.4 : u ∈ L(E), λ vp de u, E(λ) = Ker(u−λId E ) est le sous espace proprede u associé à λ.Théorème 5.1.5 : u ∈ L(E), λ 1 , ..., λ n des valeurs propres deux à deux distinctes de u.Alors la sommeE(λ 1 ) + ... + E(λ n ) est directe.On pose E i = E(λ i ).Généralisation∑: soit (λ i ) i∈I une famille de vp deux à deux distinctes de u. On appellex i où (x i ) i∈I parcourt l’ensemble des familles presqueM i l’ensemble des sommes ∑i∈I i∈Inulles d’élements de E tq x i ∈ M i pour tout i ∈ I.La somme des sous espaces propres associés aux λ i est directe.∑Définition 5.1.6 : u ∈ L(E), Ker(u − λId E ) est directe.Lorsque ⊕λ∈Spuλ∈SpuKer(u − λId E ) = E on dit que u est diagonalisable.16

Théorème 5.1.7 : u, v ∈ L(E). On suppose u ◦ v = v ◦ u1) Tout sous espace propre de u est stable par v.2) Ker u et Im u sont stables par v.5.2 Diagonalisation - TrigonalisationNotation : E un Kev de dimension finie non nulle n.u ∈ L(E), Id E : E → E, I = Matrice unité n × nx → x,M = Mat e u, e base de EM = (a ij ) 1≤i,j≤n5.2.1 Polynôme caractéristique d’une matriceλ est un vp de u ssi λId E − u est non inversiblessi λI − M non inversiblessi det(λI − M) = 0XI − M est une matrice à coef dans K(X). Son déterminant est un polynôme dont lesracines sont les vp de u.On appelle polynôme caractéristique de M, le déterminant de XI − M. On le note χ Mχ M (X) =∣∣X − a 11 −a 12 . . . −a 1n ∣∣∣∣∣∣∣∣−a 21 X − a 22 −a 2n.−a n1 . . . X − a nnProposition 5.2.1 M et t M ont le même polynôme caractéristique.5.2.2 Polynôme caractéristique d’un endomorphismeThéorème 5.2.2 : u ∈ L(E), dimE = n ≥ 1Le polynôme caractéristique de la matrice qui représente u dans une base de E est indépendantdu choix de cette base. On l’appelle polynôme caractéristique de u, on le note χ u . Les vp deu sont les racines de χ u , l’ordre de multiplicité d’une racine λ de χ u , est dite multiplicitéde la valeur propre λ de u.Proposition 5.2.3 : u et t u ont le même polynôme caractéristique.Théorème 5.2.4 : u ∈ L(E), E ′ sev de E stable par u de dim p ≥ 1.On a u |E ′∈ L(E ′ ). On pose u ′ = u |E ′Alors χ u ′ divise χ u .17

5.2.3 Détermination pratique des vp et Vp5.2.4 Valeurs propres et vecteurs propres d’une matriceM ∈ M n (K)Ce sont les vp et Vp de l’endomorphisme canoniquement associé à M.u : K n → K nMat u = M5.2.5 Endomorphismes diagonalisablesDéfinition 5.2.5 : P est scindé si et seulement si P est constant ou P admet des racinesdans K dont la somme des ordres de multiplicité est égale au degré de P .Théorème 5.2.6 : E de dimension n ≥ 1, u ∈ L(E). Les propriétés suivantes sontéquivalentes :1) u est diagonalisable.2) Il existe e base de E telle que Mat e u soit diagonale.3) Le polynôme caractéristique de u est scindé sur K et pour toute vp de u, la multiplicitéest égale à la dimension du sev propre associé.Corollaire 5.2.7 Tout endomorphisme de E Kev de dimension n qui admet n valeurspropres différentes est diagonisable.Définition 5.2.8 : M ∈ M n (K) M est diagonisablesi et seulement si l’endomorphisme canoniquement associé à M est diagonisable.si et seulement si il existe P ∈ M n (K) inversible, il existe D diagonalisable telle queM = P DP −1 .5.2.6 Endomorphismes trigonalisablesDéfinition 5.2.9 : E un Kev de dimension n ≥ 1, u ∈ L(E)u est trigonalisable si et seulement si il existe e base de E telle que Mat e u est triangulaire.Théorème 5.2.10 : u est trigonalisable si et seulement si χ u est scindé sur K.Définition 5.2.11 :M trigonalisable ssi l’endomorphisme de K n associé à M est trigonalisablessissiil existe P inversible telle que T = P −1 M P avec T triangulaireχ M est scindé sur K18

Chapitre 6Formes bilinéaires symétriquesFormes quadratiques6.1 Formes bilinéaires symétriques :E est un Kev, E ≠ {0}, K = R, C ou Q.Notation : On noteB(E) = {formes bilinéaires sur E}.BS(E) = {formes bilinéaires symétriques sur E}Si E est de dimension finie, f ∈ B(E), on note [f] E = (f(e i , e j )) 1≤i,j≤n où E = (e i , . . . , e n )est une base de E.Théorème 6.1.1 : On suppose E de dimension finie.1)et dim B(E) = n 2B(E) → M nn (K) est un isomorphisme vectorielf ↦→ [f] E2) On note S n (K) = {matrice symétrique n × n sur K}dim BS(E) = n(n+1)2.BS(E) → S n (K)est un isomorphisme d’evf ↦→ [f] E .Remarque : si E est de dimension finie, E base de Ef ∈ B(E)A = [f] E19

⎛ ⎞ ⎛ ⎞x 1y 1⎜ ⎟ ⎜ ⎟X = ⎝ . ⎠ Y = ⎝ . ⎠x n y nOn a f(x, y) = t XAY = t Y t AXsi de plus, A est symétrique, f(x, y) = t Y AXChangement de base :n∑n∑si x = x ′ i f i y = y i ′ fii=1i=1On poseP = Mat EF Id. On a X = P X ′si B = [f] F , B = t P APApplications associées :f ∈ B(E), si x ∈ E, on noteI :J :E → E ∗y → f(., y)E → E ∗x → f(x, .)I et J sont linéaires de E dans E ∗ .On suppose que E est de dimension finie.On a : [f] E = Mat E ∗ EI = t Mat E ∗ EJI et J sont transposées l’une de l’autre.Définition 6.1.2 : Soit E un Kev de dimension finie.f ∈ B(E)rang de f = rang de I = rang de JThéorème 6.1.3 : Le rang d’une forme bilinéaire sur un ev de dimension finie est égalau rang de la matrice de cette forme dans toute base de E.Définition 6.1.4 : E de dimension n, si rang de f = n, on dit que f est non dégénérée.Sinon f est dite dégénérée.f non dégénérée ⇔ det[f] E ≠ 0.6.2 Formes quadratiques :E un Kev de dimension finie, f ∈ B(E)f est symétrique si et seulement si ∀ E base de E, [f] E est symétrique.20

On pose Q(x) = f(x, x)On a Q(λx) = λ 2 Q(x) pour tout x ∈ E, λ ∈ Kf(x, y) = 1 2 (Q(x + y) − Q(x) − Q(y)) pour tout (x, y) ∈ E2 .Définition 6.2.1 : E de dimension finieUne forme quadratique sur E est une application Q : E → K qui s’exprime dans chaquebase de E sous la forme d’un polynôme homogène de degré 2 des variables coordonnéesou est identiquement nul.Théorème 6.2.2 : E de dimension finie, Q : E → KQ est une forme quadratique si et seulement si1)∀x ∈ E, ∀λ ∈ K Q(λx) = λ 2 Q(x)B2) L’application (x, y) ↦−→ 1 (Q(x + y) − Q(x) − Q(y)) est bilinéaire.2De plus, on a alors B(x, x) = Q(x).Théorème 6.2.3 L’application qui a toute forme bilinéaire symétrique B fait correspondrela fq associée définie par Q(x) = B(x, x) est un isomorphisme de BS(E) sur l’espacedes formes quadratiques sur EQ = fq associé à BB = fb associé à Q ou forme polaire associée à Qrang forme quadratique Q := rang B.discriminant de Q := discriminant de f.6.3 Orthogonalité6.3.1 Définitions :Définition 6.3.1 : f ∈ BS(E)x et y sont orthogonaux par rapport à f si et seulement si f(x, y) = 0.A ⊂ EA ⊥ = {y ∈ E, ∀x ∈ A, f(x, y) = 0}Proposition 6.3.2 : E de dimension quelconque, f ∈ BS(E)1) ∀A ⊂ E , A ⊥ est un sev de E.2) {0} ⊥ = E3) (A ∪ B) ⊥ = A ⊥ ∩ B ⊥4) A → A ⊥ décroissante pour l’inclusion5) A ⊥ + B ⊥ ⊂ (A ∩ B) ⊥6) A ⊥ = (vect A) ⊥7) A ⊂ (A ⊥ ) ⊥ .Proposition 6.3.3 : E de dimension quelconque.F, G sev de E(F + G) ⊥ = F ⊥ ∩ G ⊥ .21

6.3.2 Noyau :Remarque : si B ∈ BS(E),I = JDéfinition 6.3.4 : Le noyau de la fq Q sur E est le noyau de l’application I : E → E ∗associée à la forme polaire B de Q.N = noyau de Q= {x ∈ E, ∀y ∈ E, B(x, y) = 0}= E ⊥Proposition 6.3.5 : si dim E est finiUne fq est non dégénérée si et seulement si sa forme polaire est non dégénérée, si etseulement si son noyau est réduit à {0}.Théorème 6.3.6 E de dimension finie.Q une forme quadratique non dégénérée de forme polaire B.Pour toute forme linéaire ϕ sur E, il existe un unique y ∈ E telle que ϕ(x) = B(x, y)pour tout x ∈ E.Théorème 6.3.7 E de dimension finie.Q une fq non dégénérée.Pour tout sev H de E, on a1) dim H + dim H ⊥ = n2) (H ⊥ ) ⊥ = H.Conséquence : si A ⊂ E (A ⊥ ) ⊥ = Vect A.Remarque : M = (a ij ) 1≤1≤m(S)1≤j≤nrang de M = ordre du plus grand déterminant extrait de M non nul1 ≤ i ≤ n= dim < vect colonnes de M >n∑a ij x j = oj=irang du système (S) = rang de MSi rang de (S) est r alors l’ensemble des solutions de (S) forme un sev de K n de dimensionn − r.Définition 6.3.8 : E muni d’une forme quadratique qx ∈ E, x est isotrope si et seulement si q(x) = 0H ⊂ E, H est isotrope si et seulement si H ∩ H ⊥ ≠ {o}H est totalement istrope si et seulement si H ⊂ H ⊥Proposition 6.3.9 : E de dimension finie, H ⊂ E, q fq sur ESi H est non isotrope alors E = H ⊕ H ⊥ .22

Définition 6.3.10 : E de dimension finie, q fq sur ELa base (e 1 , . . . , e n ) est orthogonale (pour q) si et seulement si∀i ≠ j B(e i , e j ) = 0La base (e 1 , . . . , e n ) est orthonormale si et seulement si B(e i , e j ) = δ ijThéorème 6.3.11 Pour toute forme quadratique q sur un espace vectoriel de dimensionfinie, il existe une base orthogonale.Il n’existe pas forcément de base orthonormale.Proposition 6.3.12 : Soit E un Kev de dimension finie.Pour toute fq q sur E, ∃ base de E telle que la matrice de q dans cette base soit diagonalei.e telle que l’on ait dans cette baseq(x) =n∑λ i x 2 ii=16.4 Classification des formes quadratiquesDéfinition 6.4.1 2 formes quadratiques q 1 et q 2 sur E sont équivalentes si et seulementil existe ϕ automorphisme de E telle que ∀x ∈ E, q 1 (x) = q 2 (ϕ(x))Théorème 6.4.2 Toute forme quadratique de rang r sur C n est équivalente à la formex 2 1 + . . . + x 2 nPour toute fq non dégénérée sur C n , il existe une base orthonormale (r = n).Théorème 6.4.3 (Théorème de la loi d’inertie de sylvester)Soit q une fq sur R n de rang r.q est équivalente à une forme du type x 2 1 + . . . + x 2 p − x 2 p+1 . . . − x 2 r où p ne dépend que deq.(p, r − p) := signature de q.Définition 6.4.4Une fq sur R n est définie positive ssi sa signature est (n, 0)” ” négative ssi sa signature est (0, n)Une fq de rang r est dite positive ssi sa signature est (r, 0)” ” négative ssi sa signature est (0, r)au lieu de signature, on dit de type (p, q)23

Chapitre 7Espaces Euclidiens7.1 Définition - Exemples :Un espace euclidien est défini par la donnée- d’un espace vectoriel E de dimension finie sur R- d’une forme quadratique Q définie positive sur ELa forme bilinéaire s associée à Q s’appelle le produit scolaire associé à Q7.2 Métrique associé à un espace euclidien de dim nThéorème 7.2.1 E espace euclidienQ forme quadratique définie positive.On pose N(x) = (Q(x)) 1/2N est une norme sur E appelée norme euclidienne associée à (E, Q).On peut alors définir sur E une structure métrique en posantd(x, y) = N(x − y).Théorème 7.2.2 (E, Q) espace euclidien, B la f.b. symétrique associée à Q. Pour tout(x, y) ∈ E 2 , on a (B(x, y)) 2 ≤ Q(x)Q(y)l’égalité n’étant réalisée que si x et y sont colinéaires,Inégalité de Cauchy Schwarz.7.3 Propriétés des espaces euclidiens7.3.1 Sous espace euclidien(E, Q) espace euclidien, F sev de E.Q | F est une forme quadratique définie positive qui définit sur F une structure d’espaceeuclidien. On dit que F est un sous espace euclidien de E.24

7.3.2 Produit d’espaces euclidiens(E 1 , Q 1 ) espace euclidien, (E 2 , Q 2 ) espace euclidien.E = E 1 × E 2 .x = (x 1 , x 2 ) ↦→ Q(x) = Q 1 (x 1 ) + Q 2 (x 2 )Q est une forme quadratique définie positive sur E(E, Q) espace euclidien produit.B(x, y) = B(x 1 , y 1 ) + B(x 2 , y 2 )7.3.3 OrthogonalitéThéorème 7.3.1 Pour tout espace euclidien (E, Q) de dimension finie,pour tout sev F de E, on a E = F ⊕ F ⊥On dit que F ⊥ est le supplémentaire orthogonal de F .Théorème 7.3.2 (E, Q) espace euclidienF 1 , . . . , F k sev deux à deux orthogonaux tq E = ⊕ iF isi x = ∑ ion ax i est la décomposition sur les F i de xn∑Q(x) = Q(x i )i=1Relation de ParsevalQ(x) =n∑(B(x, e i )) 2i=1valable pour toute bonDéfinition 7.3.3 (E, Q) espace euclidien, e 1 , . . . , e p des vecteurs de E(e 1 , . . . , e p ) forme un système orthonormal si et seulement si ils sont deux à deux orthogonauxet leur norme égale à 1. ie B(e i , e j ) = δ ijRemarque : : Un système orthonormal est libre.Toute partie d’un système orthonormal est orthonormal.Théorème 7.3.4 Tout système orthonormal d’un espace euclidien de dimension finiepeut être complété en une base orthonormale.Théorème 7.3.5 Procédé d’orthonormalisation de Schmidt.Soit (v 1 , . . . , v n ) base quelconque de l’espace euclidien (E, Q)∃ ! (e 1 , . . . , e n ) b ◦ n de E tq∀p ∈ {1, . . . , n} B(e p , v p ) > 0 (7.1)∀p ∈ {1, . . . , n} < e 1 , . . . , e p >=< v 1 , . . . , v p > (7.2)25

7.4 Groupe orthogonal réel(E, Q) espace euclidien.G = {ϕ ∈ L(E), ϕ bijective, ∀(x, y) ∈ E 2 , B(ϕ(x), ϕ(y)) = B(x, y)}(G, ◦) est un groupe appelé groupe orthogonal de Q. On le note 0(Q).Remarque : ∀(x, y) ∈ E 2 B(ϕ(x), ϕ(y)) = B(x, y)⇔ ∀x ∈ E Q(ϕ(x)) = Q(x)ϕ conserve B ou ϕ conserve QDéfinition 7.4.1 Si M vérifie t MM = I n , on dit que M est orthogonale.On a (det M) 2 = 126