TP 1 : Introduction

TP5 : Systèmes d'équations surdéterminés et moindres carrésLe but de ce TP est d'approfondir l'évaluation par les moindres carrés et de l'appliquer à lamesure de phase.I) Systèmes surdéterminés d'équations1°) PrésentationLorsqu'un système d'équations comporte plus d'équations que d'inconnues, il est ditsurdéterminé. Sauf cas exceptionnel un tel système d'équations n'a pas de solution exacte.De tels systèmes se rencontrent souvent en métrologie, en traitement des signauxsismiques ou en traitement de la parole. Formalisons un peu. Le système est représentépar l'équation matricielle :H.b = yoù y = [y1 y2 ... yQ] t ( t désignant la transposition) et b = [b1 b2... bN] t avec Q>N. H et ysont supposés connus et b est un ensemble d'inconnues.Puisqu'il n'y a pas de solution exacte, la solution cherchée aura alors la propriété suivante :si l'on calculez = H.bil doit être le plus proche possible de y en un sens qu'il convient de déterminer. Le plusproche possible est en général pris au sens de la norme habituelle des vecteurs, autrementdit on cherchera à rendre minimale le vecteur : e = y - z ou plutôt sa norme E = (y - z) t (y –z)Théorème : On montre que la solution d'un tel système est :b = (H t .H) -1 H t .yCe théorème est très important car il nous montre la voie à suivre pour résoudre lesystème sans passer par les calculs de la dérivée que l'on annule.2°) Au-delà du théorèmeLes théorèmes sont bien gentils mais si l'on suit celui-ci, on s'aperçoit que l'on a uneinversion de matrice à réaliser. Heureusement LabWindows dispose d'un ensemble deprimitives qui permettent de résoudre ce problème (pas l'inversion de matrice maiscarrément la résolution des moindre carrés). La seule chose qu'il reste à faire est alors deposer correctement le problème.Exercice 1Résoudre le système surdéterminé suivant :2.b 1 + b 2 = 1b 2 = 1b 1 + 2.b 2 = 1Ce système peut être écrit comme :2.b 1 + 1.b 2 = 10.b1 + 1.b 2 = 1 ou encore :2 120 1 ⋅ b 12 1 1 b = 111.b 1 + 2.b 2 = 110 /18 Licence CESA 2007/2008 (IUT Troyes) S. Moutou