Cinematique

2 ème PartieCinématique:Déplacement, vitesse, accélérationIntroductionNotes de cours deLicence de A. Colinde VerdièreUn objet est en mouvement si sa position mesurée par rapport à un autre objet change. Si cetteposition relative ne change pas, le premier objet est au repos par rapport au second.Mouvement et repos sont des concepts relatifs : on a besoin d’une référence. Vous êtes aurepos sur votre chaise prise comme référence, elle-même au repos sur le sol de la pièce, maisil ne faudrait pas oublier que vous faites un tour en 24 heure sur la terre et cette rotation dansl’espace est votre mouvement vu du soleil pris comme corps de référence.Pour décrire le mouvement, il faut un repère c'est-à-dire un système d’axes fixes par rapport àun objet pris comme référence. Pour repérer un objet on s’aperçoit que la géométrieeuclidienne est appropriée et qu’étant donnée une règle (une unité de longueur), on peut déjàsituer un objet sur une droite. D’autre part avec une montre, on peut le situer dans le temps.Supposons que l’on observe que la position x de l’objet (fonction du temps t) obéisse à :x = A t (1)x est proportionnel à t avec A une constante. Quel est le changement de position entre deuxinstants t et t + ∆t ? (∆t est un petit accroissement que l’on fera tendre vers 0 ultérieurement).La distance parcourue ∆x :∆x = A(t + ∆t) - At = A ∆tEn divisant par ∆t on voit que ∆x/∆t = A une constante (indépendantedu temps). Ce rapportnous indique le taux de changement de x par rapport au temps.Lorsque Galilée a fait ses premières expériences de Mécanique en laissant rouler des boulessur des plans inclinés, il a obtenu que la position x de la boule sur le plan incliné obéissait àune loi de la forme :L’accroissement de x entre t et t + ∆t est cette fois :Soit en développant le carré :x = ½ A t² (2)∆x = ½ A(t + ∆t) 2 – ½ At 2∆x = At ∆t + ½ A (∆t) 2Mécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 1

et en divisant par ∆t :∆ x∆t= At + ½ A ∆tIl y a une différence par rapport au cas précédent car il reste un 2 ème terme qui dépend de ∆t.Pour se libérer de l’arbitraire du ∆t, pourquoi ne pas le faire tendre vers zéro ? Cette idéegéniale de Newton et Leibniz définit le taux d’accroissement de position « instantané » queLeibniz appelle « dérivée » et note dx/dt et que Newton appelle « fluxion » et note x& .L’appellation de Newton n’a pas été conservée (mais sa notation x& est encore en usage de parson économie). On écrit :dxx& = =lim dt∆x∆tlorsque ∆t 0 = AtCette quantité définit ce que l’on appelle la vitesse instantanée. Instantanée car elle dépend del’instant t : ici elle est nulle à t = 0 puis augmente proportionnellement au temps (mais dansl’exemple précédent elle était constante).Ayant la vitesse x& en fonction du temps, on peut recommencer l’opération et chercherl’accroissement de vitesse pour un petit intervalle de temps rendu aussi petit que l’on veut.Cette opération, la dérivée seconde de x(t), définit ce que l’on appelle l’accélération c'est-àdirela variation de la variation de position par rapport au temps.Pour l’exemple (1) on voit que l’accélération est nulle. Pour l’exemple (2) on écrira :2d x& x=2dt= A(Note : Enregistrer la notation de Leibniz pour la dérivée seconde). Ainsi les boules quiroulent sur les plans inclinés de Galilée ont une accélération constante. La grande difficultédes lois de la Mécanique, (qui fait qu’il a fallu attendre 1686, date de la parution des« Principia » de Newton,) vient de ce que les lois du mouvement relient les forces et la dérivéeseconde de la position. Absolument rien d’intuitif à cela et le calcul dit « infinitésimal » (lepassage a la limite avec le ∆t qui tend vers zéro) a été inventé pour relier les observations deposition du mouvement des corps et les lois de la Mécanique qui font intervenir les dérivéessecondes de la position. Si les lois relient accélération et force, vous voyez tout de suite quepour remonter à la position if faudra « intégrer » (2 fois) les équations du mouvement,opération dont vous savez qu’elle est en général plus compliquée que de dériver.Imaginez que vous ayez enregistré le mouvement d’une voiture qui démarre, roule puiss’arrête sur une route rectiligne, quelque chose comme :xx&& x&tttAlors voilà comment évolue respectivement la vitesse (aumilieu) et l’accélération (en bas) en fonction du temps. Notezqu’il n’y a pas de raison pour que vitesse et accélération aientle même signe.Finalement le dernier dessin vous donne les forces(horizontales si la route l’est) que subit la voiture au cours deson déplacement. La seule origine possible pour ces forcesvient des forces de contact mécanique entre route et pneus.Bon il y a aussi la résistance de l’air mais c’est très compliquéet on en parlera plus tard.Mécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 2

Déplacement, vitesse et accélération vus comme vecteursPour l’instant on a analysé déplacement, vitesse et accélération sur une droite et ces quantitéssont des scalaires avec respectivement des unités SI, m, m s -1 , m s -2 mais ce ne sont pas desvecteurs. Si on s’intéresse au mouvement dans l’espace (2D ou 3D), on va voir que l’on vaavoir besoin de les transformer en vecteurs. Même en 1D on peut transformer un scalaire envecteur de la facon suivante. On choisit un axe orienté dans la direction x et un vecteurunitaire e selon l’axe x :O e MxLe vecteur OM va caractériser la position du point M par :OM = x eoù x est l’abscisse du point M et peut donc être > 0 ou < 0 selon que x est à droite ou à gauchede O. Comme e est un vecteur indépendant du temps et donc constant, la vitesse etl’accélération s’écrivent vectoriellement comme :dxv = e dtet a =d2dtx2eOn dira que x, dx/dt et d 2 x/dt 2 sont les composantes respectivement du vecteur position OM,du vecteur vitesse v et du vecteur accélération a.Cette extension vectorielle paraît bien pesante mais elle va prendre tout son intérêt lorsquenotre objet va se déplacer en plusieurs dimensions.Imaginons que celui-ci se déplace dans un plan xy (la tablede billard par ex. et on choisit un repère xy orthogonal) etque la trajectoire de l’objet soit quelque chose comme ça.Comment déterminer la vitesse de l’objet ?y∆y1∆s2∆xs(t) : position de la particulesur la trajectoirexSa position est repérée à chaque instant par son abscisse x (distance à l’axe y) et son ordonnéey (distance à l’axe x) et on a donc une table de valeurs x(t) et y(t). On voit tout de suite quel’on peut définir la composante v x de la vitesse instantanée dans la direction x exactementcomme dans le cas 1D :dxv x = dtet idem pour v y :dyv y = dtMécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 3

(et encore idem si on avait une 3 ème dimension z perpendiculaire au plan xy. Alors x, y, zseraient les distances par rapport au plan des axes, par ex. x distance au plan yz, etc…).On a dessiné deux positions successives de l’objet séparées par un petit intervalle de temps ∆t.Alors le changement de position sur chacun des axes est :∆x ∼ v x ∆t et ∆y ∼ v y ∆toù ∼ signifie approximativement égal. La distance parcourue par l’objet de la position 1 à 2est :∆s ∼ (∆x 2 + ∆y 2 ) 1/2où s est ce qu’on appelle l’abscisse curviligne sur la trajectoire (la courbe). Si on divise par ∆tet que l’on fait tendre ∆t → 0 (comme dans l’introduction), on voit tout de suite que la vitesse.∆sv = lim∆ t →0∆t⎡⎛dx ⎞⎢⎜⎟⎢⎣⎝ dt ⎠2 2devient : v = + = ( v + v ) 1/ 222⎛ dy ⎞ ⎤⎜ ⎟ ⎥⎝ dt ⎠ ⎥⎦Et alors on voit que v est le module du vecteur v de composantes v x et v y . On peut aussiécrire ce module v comme :dsv = dt1/ 2xyMaintenant le vecteur vitesse v est bien entendu tangent à la trajectoire et si on introduit unvecteur unitaire tangent à la trajectoire e t en un point donné, on peut écrire le vecteur vitessev comme :dsv = et (3)dtNote :1) Attention dans cette dernière expression, e t est lié à la trajectoire et varie dans letemps.2) Tout ceci se généralise sans difficulté au 3D.3) On a ainsi deux moyens d’exprimer le vecteur vitesse, soit par ses composantes dx i /dtdans un système d’axes fixes choisis, soit par sa représentation (dite intrinsèque) liée àla trajectoire (3).La représentation de l’accélération par ses composantes selon 3 axes Ox, Oy,Oz est similaireà celle de la vitesse et sera donc le vecteur de composantes (d 2 x/dt 2 , d 2 y/dt 2 , d 2 z/dt 2 ). On verraplus loin la représentation intrinsèque de l’accélération (c’est plus difficile car e t dans (3) negarde pas la même direction lorsque la particule se déplace).Mécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 4

Application : Mouvement d’un projectileC’est le moment d’appliquer ces notions au cas historiquement fondamental de la chute despommes et couramment utilisée sur les stades de foot du mouvement du ballon dans le champde gravité. On est dans la situation où le corps, le ballon, a une masse faible par rapport à unautre (ici la terre). Tout se passe alors comme si le petit objet avait une accélérationessentiellement constante (égale à g) fournie par le gros objet 1 .On a donc :a = get g est un vecteur de module et de direction (supposés) constants. Le vecteur vitesse v obéità :dv = g (4)dtSachant que dv et dt représentent des variations infinitésimales de v et de t, cette expressionpeut se réécrire :et en intégrant des deux côtés :dv = g dtv∫ dv= ∫ g dt = gv0 0 ∫tt0dtoù v = v 0 à t = 0.On obtient : v – v 0 = gt (5)Note :1) On voit tout de suite que la vitesse et l’accélération n’auront les mêmes directions quesi v 0 // g ou si v 0 = 0 (le cas de la pomme à l’automne).2) Le vecteur v est dans le plan formé par les deux vecteurs v 0 et g et comme v esttangent à la trajectoire, celle-ci sera donc plane et contenue dans ce plan (v 0 , g)Pour avoir la position du ballon on écrit :dx = v (6)dtet on intègre :dx = v dt1 Le cas général sera traité dans la 7 ème partie consacrée à la gravitation universelle où vous serez content d’apprendre que la trajectoire du ballon est la même que celle des planètes autour du soleil !Mécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 5

x∫ dx = ∫ v dt + gox0t0soit : x = x 0 + v 0 t + 1/2g t 2 (7)Cette intégration vectorielle est très directe et on l’a fait pour vous montrer la puissance del’approche vectorielle mais on ne voit pas bien la trajectoire. Pour cela il faut réintroduire unsystème d’axes (2 suffisent puisque le mouvement est dans un plan) du plan (v 0 , g).y∫t0t dtLes composantes de v 0 sont :gv 0v 0 =⎛ v⎜⎝ v00cos α⎟ ⎞sin α ⎠Oαxavec v 0 module de la vitesse.⎛ 0 ⎞De même g = ⎜ ⎟ dans ce système d’axes. On peut choisir la position initiale à l’origine et⎝− g ⎠(7) s’écrit en termes des composantes :⎛ x ⎞ ⎛0⎞⎛v0cos α ⎞ 2 ⎛ 0 ⎞⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + t⎜⎟ + 1/ 2t⎜ ⎟⎝ y ⎠ ⎝0⎠⎝ v0sin α ⎠ ⎝−g ⎠⎧x= + v⎨⎩y= + v00cosαtsin α t −1/2g t2(8)(9)La trajectoire est dite alors sous forme paramétrique x(t), y(t) où t est le paramètre. On voitque le mouvement selon x conserve sa vitesse initiale (pas d’accélération selon x). Si onélimine t dans (9) on obtient l’équation d’une parabole utilisable pour jouer au foot ou se taperdessus (boulet) :1 g 2y = −x + x tan α2 22 v cos α0Le repère lié à la trajectoire, le mouvement circulaireComposantes de l’accélérationOn va s’intéresser à l’accélération d’une particule qui se déplace sur une trajectoire courbe.Si la trajectoire est rectiligne, l’accélération est nécessairement le long de la trajectoire mais sielle présente des virages, on voit tout de suite que la vitesse change de direction et donc qu’ilexiste nécessairement une composante de l’accélération dans la direction normale à latrajectoire. C’est elle que nous voulons calculer.Mécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 6

Crdφe’ tde tA’e’ t e te ne tAφdφOn introduit e t le vecteur unitaire tangent en A à la trajectoire et e n le vecteur normal unitairedirigé vers C, le centre de courbure de la trajectoire. Celle ci est toujours assimilablelocalement à un cercle de centre C et de rayon r (si la trajectoire n’est pas un cercle, C et rchangent tout le temps). Si v est le module de la vitesse, le vecteur v s’écrit :v = v e tet donc pour avoir le vecteur accélération, on dérive par rapport au temps :dv da = et + v etdt dtLe premier terme représente la variation du module de la vitesse et est une accélérationtangentielle. Le deuxième est plus délicat et correspond à un changement de direction de latrajectoire : voir sur la figure les directions de e t et e’ t à 2 instants successifs t et t’. Si t’ → t,on peut se rendre compte que e’ t – e t est dans la direction de e n (vers l’intérieur de latrajectoire) et sa longueur est celle de l’arc d’angle dφ (voir figure) et donc :de t = dφ e nsoit encore :d dφet = ⋅ endt dtOn voit qu’à chaque position s sur la trajectoire (occupée à différents t) correspond l’angle φentre e t et une direction x choisie et fixe. Ainsi φ(s) et s(t) de sorte que la dérivation d’unefonction composée donne :Mais ds est l’arc AA’ (lorsque t’ → t) et donc :dφdφds dφ= = vdt ds dt dsd vet = endt rLes composantes tangentielle et normale (on dit aussi centripète c'est-à-dire vers le centre decourbure C) de a s’en déduisent :dva t = , an = dtv 2rMécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 7

Voici démontrée la formule importante donnant l’accélération normale/centripète mais dontla difficulté de démonstration correspond bien au temps écoulé pour en attendre l’écriture parNewton. Finalement, reste à introduire la vitesse et l’accélération angulaire. La vitesseangulaire est :dφω = dtavec des unités de radians/sec. L’accélération angulaire α n’est pas autre chose que :2dωd φα = =2dt dtdvet alors a T = = r α et an =dtv 2r= ω 2 rDans un mouvement circulaire dit uniforme a T = 0 (puisque ω est constant).Notes :1) Si r → ∞, a n → 0 et la trajectoire est effectivement rectiligne.2) Vérifiez que a n a bien les dimensions d’une accélération.3) La formule est générale et le cas du mouvement circulaire n’en est qu’un casparticulier r =cste (que nous allons examiner).Mouvement circulaireCe cas particulier est important pour bien desapplications depuis la découverte de la roue, del’observation des orbites des étoiles vues par unobservateur terrestre et plus récemment de lamultiplication des rond-points dans les villes.CRφAsOxCA = R est une constante. On repère la position d’uneparticule A sur le cercle soit par l’angle φ entre Ox, unedirection arbitraire et le rayon vecteur CA, soit parl’abscisse curviligne s le long de la trajectoire. Pardéfinition :dφs = R φ et donc v = R dtdφoù est la vitesse angulaire ω (unité rad s -1 ) :dtv = Rω.On parlera de mouvement circulaire uniforme si ω = cste. Le temps mis pour faire unerévolution (2π) est alors la période T dite de révolution et donc :Mécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 8

ω = 2π/TLa fréquence ν est le nombre de tours effectué par unité de temps et donc ν = 1/T. L’unitéconsacrée pour s -1 est le Hertz (Hz) mais dans l’industrie on parle souvent en rpm le nombrede rotations par minute (exemple du compte-tour de voiture).Notes :1) On peut rendre vectorielle la définition de ω. La direction de ω est ⊥ au plan de latrajectoire avec le sens donné par le pouce lorsque les doigts de la main droite sontcourbés dans le sens de rotation de la trajectoire. Pour les mouvements plans que l’onconsidère dans cette introduction, une seule composante est donc non nulle.Application : la rotation de la terreA la latitude θ = 48° 19’, 9 N, se trouve la bouée desFillettes à l’entrée du goulet de Brest, cette bouée décritdans l’espace un cercle de rayon R = r cos θ où r est lerayon de la terre approximativement 6370 km. (Unpoint sur ce cercle Γ est repéré sur la terre par l’anglelongitude φ). Comme la terre tourne d’Ouest en Est, levecteur ω est dirigé comme sur la figure. Maintenant lavitesse de cette bouée est v = ωR. Pour l’estimer il fautconnaître ω ou la période T. Vous diriez 24 heures soit86 400 s. Vous auriez tort mais un petit peu seulement.En effet la terre tourne aussi en même temps (et dans lememe sens) autour du soleil de sorte que sa périodepropre de rotation est un peu plus faible d’environ 240s.ΓωRrθv⊗BrestxFaites le calcul et vous trouverez que comme la bouée vous effectuez tous les jours dansl’espace un cercle de 4 235 km à la vitesse de 308 m s -1 ou 1 108 km hr -1 !Notez que finalement ce v peut s’écrire :v = ω r sin αoù α = π/2 - θ est l’angle entre ω et r (le vecteur entre le centre de la terre et le point de lasurface) et vous voyez sur le dessin que le vecteur v est ⊥ au plan de la feuille repéré par ω etr (je l’ai indiqué par ⊗, une flèche qui rentre dans la feuille). Tout cela finit par ressemblerfurieusement à un produit vectoriel et effectivement on peut écrire :v = ω x rExpression que vous voudrez bien vérifier en fonction des propriétés du produit vectoriel vuesau chapitre précédent.Mécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 9

Mouvement relatif – Transformation galiléenneLa notion de position absolue n’a pas de sens en physique mais on a mis pas mal de temps às’en rendre compte. Philosophie et religion ont obscurci les débats et avaient tendance au fildes époques à identifier des points de signification particulière, centre de la terre(anthropocentrisme), centre du Soleil (héliocentrisme). Mais il n’y a jamais eu d’évidenceexpérimentale qu’un point soit à privilégier par rapport à un autre de sorte que les loisphysiques ne font intervenir que les positions relatives des corps en interactions.Considérons deux objets A et B en mouvement et un observateur situé sur un référentiel avecun repère Oxyz :zAV Ar BAV Ar ABrV BAOByV BV BxEtant donné une règle et une horloge, l’observateur O peut définir la position r a de l’objet Aen fonction du temps et donc calculer sa vitesse :dV A = rAdtdet idem pour B : v B = rBdtLa position de B par rapport à A est le vecteur AB que l’on va écrire r BA (pour faire penser àla position de B par rapport à A). D’après l’addition des vecteurs :r BA = r B – r AMais si on dérive cela par rapport à t, on obtient la vitesse de B par rapport à A, c'est-à-dire lavitesse de B mesurée par un observateur en A :V BA = V B – V A ou V B = V A + V BAet si on dérive encore encore une fois par rapport à t, l’accélération relative de B par rapport àA, soit a BA :a BA = a B – a ADans le chapitre suivant, on abordera leproblème très important du choix d’unréférentiel pour écrire les lois de la mécaniquemais on voudrait juste savoir pour l’instantcomment transformer position, vitesse etaccélération d’un objet A pour deuxobservateurs en translation uniforme (c'est-àdirevitesse constante) l’un par rapport àzyAr’rOxO’z’y’x’Mécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 10

l’autre. On a un repère xyz et un autre x’y’z’qui se déplace à la vitesse u par rapport aupremier dans la direction x (par exemple).Les axes // entre eux vont rester parallèle puisque le mouvement est une translation OO’.Supposons que O’ soit en O à t = 0 et donc que :OO’ = u tComme précédemment on voit que dans le triangle formé par les points O, O’ et A :OA = OO’ + O’Asoit : r’ = r – u t (10)où u =⎛u⎞⎜ ⎟⎜ 0⎟.⎜ ⎟⎝ 0⎠Les composantes de O’A sont reliées à celle de OA par :x’ = x – u ty’ = yz’ = zett’ = tLa transformation ci-dessus est appelée transformation galiléenne du nom du précurseur deNewton, Galilée (1564-1642). La dernière ligne t’ = t vient du fait que l’on a utiliséimplicitement le même temps pour mesurer les variations de position de A dans les deuxrepères xyz et x’y’z’. Ceci n’est pas correct comme Einstein l’a montré en 1905 et n’estqu’une approximation : la remise en cause d’un temps absolu valable dans tout lesréferentiels par Einstein a conduit à abandonner cette transformation qui reste valable lorsquela vitesse relative u est petite par rapport à la vitesse de la lumière c = 310 8 m s -1 et elle restedonc une très bonne approximation dans la plupart des applications pratiques terrestres.Maintenant si on dérive (10) par rapport au temps (les observateurs O et O’ utilisent encoreles mêmes ∆t pour calculer les variations de position ∆r et ∆r’) alors :v’ = v – u (11)soit :v’ x = v x – uv’ y = v yv’ z = v zMécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 11

et si on re-dérive (11) encore une fois :a’ = aDeux observateurs en translation rectiligne uniforme l’un par rapport à l’autre mesurent lamême accélération de l’objet A. On dira que l’accélération est un invariant lorsque l’on passed’un référentiel à un autre par une transformation Galiléenne.Note : Lorsque l’on observe le mouvement des corps à partir de la terre qui tourne, on voittout de suite que l’accélération d’un objet mesurée par un observateur terrestre va êtredifférente de celle vue par un observateur extérieur (lié à une étoile fixe par ex.). On sepenchera sur ce problème difficile dans la dernière partie de ce cours et on se borne à neconsidérer pour l’instant que des cas où les effets de la rotation de la terre sont négligeablessans trop savoir comment en juger …Mécanique Physique (S2) 2 ème partie – page 12