Matlab : TD 6 - La Recherche - ENAC

Matlab : TD 6Antoine Drouin3 octobre 2011Objectifs :Le but de cet exercice est la synthèse et l’étude du fonctionnement d’une loi de commandepour la stabilisation verticale d’un hélicoptère. Vous disposez d’une semaine pour rédiger undocument de 6 pages maximum, présentant vos résultats. Votre note tiendra compte nonseulement des résultats obtenus et de leur interprétation physique, mais aussi de la clartéet de la précision de la rédaction. Il est demandé de porter une attention particulière à laprésentation des graphiques (légendes, échelles, unités). Le document pourra être rendu soitsous forme papier, soit sous forme électronique au format pdf. Il serait souhaitable de présentervotre code matlab sous forme d’annexe et de s’attacher à sa lisibilité.1 IntroductionL’hélicoptère quadrirotors à pas fixe de type “Draganflyer” est une configuration trèsrépandue dans le monde des microdrones. Alors que les hélicoptères classiques utilisent unsystème mécanique complexe de pas cyclique et collectif ainsi qu’un rotor de queue lui-mêmemuni d’un pas collectif pour assurer leur contrôle, le Draganflyer quand à lui ne disposed’aucun organe mécanique et assure son contrôle en agissant uniquement sur la vitesse derotation de ses rotors. Cette simplicité permet de disposer d’un véhicule de faible coût, robusteet facile à miniaturiser.1

IENAC-T10 Matlab 2Les moteurs de chacun des axes tournant en sens opposés, pour des régimes égaux, lemoment résultant sur l’axe de lacet est nul. Le contrôle en lacet est obtenu en faisant varierdifférentiellement les régimes des 2 axes. Le contrôle en roulis et en tangage est obtenu enfaisant varier différentiellement le régime des moteurs d’un même axe. Le contrôle vertical estobtenu en faisant varier simultanément le régime des quatre moteurs.2 L’ensemble de propulsion2.1 MoteurAppliquée à un moteur électrique à courant continu, une tension V produit un couplequi est transformé en poussée T par l’hélice. D’après la littérature, un tel système peut êtreraisonnablement modélisé par le système non linéaire du premier ordre suivant˙ω = − 1 τ ω − K Qω 2 + K Vτ V (1)avec– ω régime de rotation en rad/s– V tension appliquée aux bornes du moteur en Volts– τ, K Q , K V constante propres à l’ensemble moteur/hélice/controlleur.Question 1En utilisant les valeurs numériques suivantes– τ = 0.1– K Q = 0.12– K V = 600représentez la vitesse de rotation du rotor en régime statique en fonction de la tension appliquéepour des valeurs comprises entre 0 et 20V.2.2 HéliceEn régime quasi-stationnaire, la poussée générée par l’hélice est donnée par l’équationsuivante :avec– T : poussée de l’hélice en Newton– ρ : densité de l’air en kg/m3– A : surface des pales en m2– C a : coefficient aérodynamique de poussée– r : rayon de la pale en m– ω : vitesse de rotation du rotor en radians/sT = 1 2 ρAC ar 2 ω 2 (2)ou encore, en considérant les caractéristiques de l’air et de l’hélice constantes :T = C T ω 2 (3)

IENAC-T10 Matlab 3Le fichier http://www.recherche.enac.fr/~poine/td_matlab/motor_data.txt contientdes mesures réalisées sur un groupe moto propulseur. Chaque ligne contient un enregistrementayant le format suivant :– tension appliquée en décivolts– vitesse de rotation en tours par minute– intensité en ampères– poussée de l’hélice en grammesQuestion 2En utilisant les mesures fournies, identifiez la valeur numérique de C T optimale au sensdes moindres carrés.3 Simulation du véhicule sur l’axe verticalNous allons étudier les mouvements de l’appareil sur un axe vertical en supposant que lesautres axes sont bloqués. Pour les applications numériques, nous utiliserons– m = 0.25kg– C d = 0.1Ns/mQuestion 3– En considérant que le véhicule est soumis à son poids, à la poussée de son rotor et à uneforce de frottement proportionnelle à l’opposé sa vitesse et à un coefficient C d , exhibezun système d’équations différentielles caractérisant la dynamique⎛du⎞véhicule.z– En déduire une représentation d’état non linéaire en utilisant ⎝ż⎠ comme vecteurωd’état et z comme sortie.– Étudiez l’équilibre du système.– Linéarisez la représentation d’état. Comparez la réponse à une perturbation du systèmelinéarisé avec celle du système réel.– Déterminez les modes du système, étudiez sa stabilité, commentez.– Étudiez la commandabilité du système.– Synthétisez une commande par retour d’état– Simulez la réponse de l’appareil stabilisé à une perturbation, comparer avec la réponseidéale.– Étudiez l’influence des saturations– Sur le quadrirotor réel, les moteurs sont commandés en boucle ouverte. Discutez l’impactde cette solution technique sur les résultats obtenus précédemment.