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Etude énergétique d’un penduleConstatant que les oscillations d’un pendule sont de duréeconstante, Galilée envisagea l’année de sa mort, en 1642,d’exploiter ce phénomène dans une horloge. Toutefois,c’est le physicien et mathématicien néerlandais ChristiaanHuygens qui conçut la première horloge à pendule dont lesoscillations assurent la régulation du mouvement avec unegrande précision.Un pendule simple peut être modélisé par :Christiaan Huygens(1629-1695)Une masse ponctuelle de masse M est accroché au boutd’un fil inextensible de masse négligeable et de longueurL. On note θ l’écart angulaire entre la verticale (axe Ox) etle fil.Définition : La période T d’une oscillation du pendule estla durée entre deux passages successifs du pendule parune même position et dans le même sens.A/ Etude des paramètres influençant la période T :1) L’amplitude des oscillations a-t-elle une influence sur la période T ?a) Comment doit-on procéder afin de mesurer la période T avec une bonne précision ?" Afin d’obtenir une valeur précise de la période T, on mesure la durée Δt deplusieurs périodes, par exemple 5, puis on calcul la valeur d’une période T = Δt/5.Afin de déterminer l’influence de l’amplitude sur la période T, on a réalisé l’expériencesuivante :On écarte le pendule de sa position d’équilibre d’un angle θ0 et on mesure la période Tdes oscillations pour différentes valeurs de θ0. On a obtenu les résultats suivants :θ0 (°)10° 20° 30° 40° 50° 60°T (s)1,16 1,16 1,16 1,18 1,20 1,22b) Dans quelle condition l’amplitude des oscillations n’a-t-elle pas d’influence sur lapériode T ?" La période T est indépendante de l’amplitude pour les oscillations de petitesamplitudes (

2) La masse M a-t-elle une influence sur la période T ?a) Elaborer un protocole permettant de déterminer si la masse M a une influence sur lapériode T." Pour un fil de longueur L = 40,7 cm et des oscillations de petites amplitudes, onmesure la période T des oscillations en faisant varier la masse M.b) Mettre en oeuvre ce protocole. (Faire clairement apparaître les mesures effectuéessous la forme d’un tableau)M (g)T (s)25 50 1001,26 ± 0,02 1,24 ± 0,02 1,26 ± 0,02c) La masse M a-t-elle une influence sur la période T des oscillations ?" La valeur de la période est la même quelle que soit la masse M, donc la période estindépendante de la valeur de la masse M.3) La longueur du fil a-t-elle une influence sur la période T ?a) Mesurer la longueur L du fil et noter sa valeur avec sonincertitude.Mesurer la période T des oscillations en prenant soin d’évaluerl’incertitude sur la mesure." L = 40,7 ± 0,1 cm" " T = 1,26 ± 0,02 sb) Regrouper les mesures de L et T avec leurs incertitudes au tableau.L (cm)17,8 ± 0,1 19,7 ± 0,1 29,6 ± 0,1 33,2 ± 0,1 40,7 ± 0,1 48,0 ± 0,1T (s)0,82 ± 0,02 0,88 ± 0,02 1,08 ± 0,02 1,16 ± 0,02 1,26 ± 0,02 1,38 ± 0,02c) Avec les mesures des 6 groupes de la classe, déterminer à l’aide d’un tableur-grapheurla relation entre T 2 et L.Lycée de La Possession" TS" 2

" Il s’agit d’une relation linéaire, T 2 est proportionnelle à L :" T 2 = k x L" avec k = 3,94 ± 0,16 s 2 .m -1d) En déduire l’expression appropriée qui modélise la période T des oscillations d’unpendule simple :" " " "" " "Donnée : g = 9,8 m.s -2" On a :et 4,03 ⋲ [3,78 ; 4,10], intervalle de confiance du coefficient k. On en déduit l’expressioncorrect de la période T :B/ Etude énergétique des oscillations :1) Quelles sont les actions mécaniques qui s’exercent sur le système {masse M} ?" Les actions mécaniques qui s’exercent sur la masse M sont :- Le poids,- La tension du fil,- Les frottements.2) Représenter ces actions mécaniques sur un schéma.T Pf 3) Elaborer et mettre en oeuvre un protocole permettant de répondre aux questionssuivantes :➡ Que peut-on dire de l’énergie mécanique d’un pendule simple ?➡ Les frottements sont-ils négligeables ? Si non, évaluer le travail des forces defrottements sur une période T.Lycée de La Possession" TS" 3

•A l’aide d’une webcam, enregistrer le mouvement d’oscillation d’un pendule sur une duréede 4 ou 5 périodes. (On oubliera pas de placer un repère de longueur afin de réaliser unétalonnage des images)• A l’aide du logiciel Avimeca, réaliser l’étalonnage des images et positionner l’origine durepère sur la position d’équilibre du pendule. Réaliser le pointage des positions de lamasse M.• Transférer les données vers Regressi.• Calculer la vitesse v de la masse M.• Calculer les énergies cinétique Ec, potentielle de pesanteur Epp et mécanique Em.• Afficher sur le même graphique l’évolution temporelle des énergies cinétique, potentielleet mécanique.• Mesurer la variation d’énergie mécanique ΔEm sur plusieurs périodes et en déduire letravail des forces de frottements WT(f) sur une période T.Il y des transferts énergétiques entre énergie potentielle de pesanteur et énergie cinétique.L’énergie mécanique, somme des énergies potentielle et cinétique est décroissante, lesfrottements ne sont donc pas négligeables.On modélise l’énergie mécanique par une fonction affine :Em(t) = -0,8.10 -3 x t + 14.10 -3 JLa période T du mouvement est déterminée en modélisant la courbe x(t) :Lycée de La Possession" TS" 4

x(t) = Xm.cos (360.t/T + phi).exp(-t/τ)avecXm = 149 ± 3 mmT = 1,147 ± 0,002 sτ = 23,4 ± 4,0 sAu bout d’une période la variation d’énergie mécanique vaut :ΔEm = -0.8.10 -3 x T = -0.8.10 -3 x 1,15 = -9.10 -4 JLe travail de la force de frottements peut être estimé à -9.10 -4 J.Lycée de La Possession" TS" 5

Coup de pouce :• A l’aide d’une webcam, enregistrer le mouvement d’oscillation d’un pendule sur unedurée de 4 ou 5 périodes. (On oubliera pas de placer un repère de longueur afin deréaliser un étalonnage des images)• A l’aide du logiciel Avimeca, réaliser l’étalonnage des images et positionner l’origine durepère sur la position d’équilibre du pendule. Réaliser le pointage des positions de lamasse M.• Transférer les données vers Regressi.• Calculer la vitesse v de la masse M.• Calculer les énergies cinétique Ec, potentielle de pesanteur Epp et mécanique Em.• Afficher sur le même graphique l’évolution temporelle des énergies cinétique, potentielleet mécanique.• Mesurer la variation d’énergie mécanique ΔEm sur plusieurs périodes et en déduire letravail des forces de frottements WT(f) sur une période T.Lycée de La Possession" TS" 6